Fluegge-2 (1185101), страница 23
Текст из файла (страница 23)
3 о Г" Чтобы исключить Х, продифференцируем полученное уравнение по г: с 10, ап Ееь 4ие' Р— ни-н — +-т- — —" ~ г'и (г') с(г' = О. 9 бг г гь о рьФ= 4иеп, и вводя для краткости обозначение С= — — $' 2те, Зи й.е находим уравнение рьФ = СФм, (174.11) () 74.12) и Для нейтрального атома й= ос, а ФЯ)=О.— Прим. ред. (Вклады от дифференцирования интегралов по переменным пределам взаимно уничтожаются.) Умножая последнее уравнение на г' и снова дифференцируя по г, мы избавляемся от интегрального члена и получаем дифференциальное уравнение вида — н — ( г'и-П вЂ” ) = 4пе'г'и.
10 а /, Мат 9 бг(, бг) (174.9) Для дальнейшего удобно перейти от плотности электронов и(г) к электростатическому потенциалу Ф (г); согласно задаче 172, они связаны соотношением" ! /2амф'~'/ь (174. 1О) Учитывая теперь, что потенциал Ф удовлетворяет уравнению Пуассона !47 совпадает с уравнением, выведенным в задаче 172 другим способом. Соотношения (174.10) и (!74.11) позволяют избавиться от дробных степеней функции л в формулах (174.2) †(174.4), где в зависимости от обстоятельств следует положить либо и = — реФ, либо и = — Фпс (174.13) ! С 4ле 4ле Эти интегралы можно значительно упростить, приняв во внимание сферическую симметрию и вводя вместо Ф (г) функцию ф (г) = — Ф (г) (174.15) Так как Ч'Ф = —, ере (г), и ( и е„.— — ) — е — 'е' 'е = — 2~( — <ее),,— ) е" е ~.
Ол!6 ) о о Аналогично с помощью (174.146) получаем Е„'~,„= — 4 ) е ~рп с(т = Я'е'~р' (О). (174.166) Чтобы вычислить интеграл, входящий в формулу (174.14в), прежде всего заметим, что Я ! Г тееа( ! О Г и Хе = — Г г,ер' (,) е(г, + яе Г р" (г ) с!г, = — ( М вЂ” лр ),, — р (г) ). о е 174, Энергии атома в модели Томаса — Ферми которое, если принять во внимание равенство ! де т еФ = — „—, (гФ), Таким образом, имеем Е„„„= — „~ Фр'Фг)т, 3 Р Е = — — ) — Ж, ,о уе ГтеФ потоп = 4 ,ееп,е<~, ""'е" зиле,Ц (г — г,( то из формулы (174.14а) теперь следует (174.14а) (174.146) (174.14в) 148 71г, Многочастичньее задачи.
Б Очень большое число частиц Таким образом, вместо (174.14в) теперь имеем (174.16в) Вместо переменной г удобно использовать безразмерную переменную х, определив ее соотношениями (см. задачу 172). Так как при малых г, или, что то же самое, при малых х имеет место разложение ~р(х) =1 — р.х+ .. „ то в формулах (174.16а) — (174.16в) можно положить — 0рер')„ь= ~, ( — ) = — ~", ')г( — т) ~ =О. Отсюда окончательно получаем 3 лчеь кьь 8 а (Р )~ <и Е'е~ <ь1 ! ььеь ььчьи — 2 (174.18) где (174.!9) Выше и производная р и интеграл 7 не зависятот 2, поскольку они определяются исключительно универсальной функцией ер(х). Таблица значений функции у(х) приведена а задаче 172.
С помощью этой таблицы находим р = — р' (0) = 1,688, у = 0,464. (174.20) Отсюда для полной энергии атома, т. е. для суммы трех выражений (174.18), получаем гель Г 2 ~ ч гьеь Е = — — ( — р+ — У ~ = — 0,680 †. (174.21) а (5 10 7 ' а Так как и 2-ч», то полная энергия пропорциональна л*ьн Е = — 0,76872ч ридберг = — 20,932вь эВ.
(174.22) С помощью метода, развитого в задаче 151, доказать теорему вириала для модели атома Томаса — Ферми. В качестве следствия этой теоремы получить связь между величинами р и о, определенными в предыдущей задаче (см. (174.20)), и выяснить, каков относительный вклад составных частей энергии атома в его полную энергию. Решение. Пользуясь масштабным преобразованием, заменим функцию и (г) набором функций пх (г) = Лнп (Лг), каждая из которых удовлетворяет условию нормировки ~п,(г) ( =г. В результате отдельные части энергии электронов (выражения (174.2) — (174.4)] преобразуются к виду: Е,„, (Л) = ЛтЕ„„„, Ейотен (Л) ЛЕйоттн Таким образом, получаем Е(Л) = ЛеЕ„„„+ЛЕ„„,„. Так же как и в задаче 151, мы должны потребовать, чтобы дЕ(Л)1дЛ=О при Л= 1.
Из этого требования сразу же следует теорема вириала 2Еннн+ Епотм (175. 1) Подставляя в последнее равенство выражения (174.18), получаем р= —.1 7 2 (175.2) в полном согласии с числовыми значениями (174.20). Различные части энергии электрона (174.18) теперь можно выразить через величину l. Мы имеем 3 Еннн ' где отел и= — у. о (175.4) 1Тд. Теорема оириала длл модели атома Томаса — Ферми Г49 Задача 175.
Теорема нарвала для модели атома Томаса — Ферми 150 1е'. Мнагсчастичньее еадачи. Б. Очень большое шсла частиц Отсюда для полной энергии атома получаем Е= — —,(е, 3 (175.5) что опять-таки находится в согласии с числовым результатом, найденным в конце предыдущей задачи. Как и должно быть, сравнение выражений (175.5) и (175.3) вновь приводит к теореме вириала.
Задача 176. Приближение Тайтца для модели атома Томаса †фер В случае нейтрального атома вместо универсальной функции Томаса — Ферми ф,(х) можно воспользоваться очень хорошим приближенным выражением 1 ф(~) 11 связаны соотношением ! п(г)= — ( — 2 ) Бч (176.3) Отсюда следует, что условие нормировки ь 4я ~ ген(г) е(г =Л а (176.4) можно записать в виде — „(22) н ~ гн ф,п (х) Ь = Я.
о (176. 5) Вто равенство является для функции ф,(х) точным, если х = — и а = 0,885342 ч» а (176.6) выбрав фигурирующий в нем параметр сс надлежащим образом. Предполагая, что функция ф удовлетворяет точному условию нормировки и что се не зависит от Я, найти числовое значение этого параметра, а также сравнить числовые значения функций е Решение.
В задаче 172 было показано, что плотность электронов п(г) и потенциал атома (в атомных единицах) 'е'(г)= — —, р,(г) г (176.2) 175. 7)риближениа Тоатца длл модели атома Томаса — Ферми 151 Теперь мы заменим функцию фе приближенной функцией ф, определяемой выражением (176.1), но будем считать, что условие нормировки по-прежнему остается в силе.
После замены переменных у сзх=(а/а) г получаем 8 1' 2 ) .— ( а )»П ~ )» у»(у о (176.7) Последний интеграл можно вычислить с помощью подстановки и = у'. Действительно, нетрудно проверить, что )" ~=2( ( 1 + р ) з 2 ~ ( и а ~ 1 ) з = 4 ь ( и + 1 ), + а ' С 1 К Подстановка пределов интегрирования у=О и у=оо дает зна- чение зз)8, и в силу (176.7) получаем а = ( — ) а = 0,60570лч а.
»' 2Етц» (,9) (176.8) Отсюда с учетом соотношения (176.6) находим а = 0,53625, (!76.9) Используя полученное значение параметра сз, можно сравнить числовые значения функций ф, и ф. Соответствующие данные приведены в нижеследующей таблице. Замечание. В оригинальных работах Тайтца (Т»е!з Т., Лопгп. Оьепт. РЬуз., 25, 787 (1956); 2з. Ме!иг1огзс)»., 23а, 191 (!968)! вместо наи»его нормироеочного множителя 0,60570 !рааенстио (176.8)) использован множитель 0,64309. Таким образом, приближение Тайтца не удовлетворяет точному условию нормироики. Однако и его приближении разности»р — »р» и наиболее существенной области 0 < х < 0,5 несколько меньше наших, хотя при х > 1 наше приближение лучше.
о О,) 0,2 0,5 ),О 2,0 5,0 !0,0 1 О,9ОО8 О,8156 0,6219 0,4237 0,2328 0,0738 0,0247 ! 0,88!7 0,7931 0,6070 0,4240 0,2430 0,0788 0,0243 о -1-0,0!9! +0,0225 +0,0!49 — о,оооз — 0,0! 02 — О,ОО5О +0,0004 !52 Я. Многочастичиые оодочи, Б. Очень большое число частиц Задача 177, Вариационный метод для модели атома Томаса — Ферми В вариационной задаче, эквивалентной дифференциальному уравнению Томаса †Фер, использовать в качестве пробных функций функции Тайтца ! сь(х) =(1 / Р1 считая а параметром Ритца. Решение. Дифференциальное уравнение ч Ч Н (177.2) эквивалентно вариационной задаче об экстремуме- интеграла и 7= ') ( — ~р" + — х- ьф ь /с/х 71, 2 (,2 5 о (177.3) прн фиксированныс граничных условиях ср(0)=1 и !р(оо) =О.
Подставляя удовлетворяющую граничным условиям пробную функцию (177.1) в интеграл (!77.3), получаем Ю 2ич 2, 1 ,) 1(1+ах)е+ 5 (!+ах)ь) + — х-Не 1 с/х. о Для вычисления этого интеграла положим во втором слагаемом ах=/е и воспользуемся формулой Ж ! / ! 7 1 35 (1+)е)ь 8 1(1-!-)е)т+ б (1+(е)о+24(1+)е)е+ 35 1 35 + — — + — агс1п /), 18! +)е 16 справедливость которой нетрудно проверить. В результате на- ходим 5 ( +128 )' (177.4) Таким образом, условие экстремума с/.//с/а=О дает а=(255 ) =0,570. (177. 5) Это значение а лишь слегка отличается от значения а=0,535, которое, как было показано в предыдущей задаче, удовлетворяет 178.
Влияние экранировки на к-мектроры 133 точному условию нормировки О ~Ухр' (х=1. о (177. 6) В нашем же случае значение интеграла равно з в 32 ч 8 33' т. е, приближенная функция, минимизирующая значение интег- рала у, соответствует наличию в атоме "/„Е электронов, Задача 178. Влияние экранировки иа К-электроны Найти поправку к энергии связи К-электрона, обусловленную экранировкой. При расчетах использовать приближение Тайтца для модели атома Томаса †Фер. Решение. Предположим, что из атома с зарядом ядра Е удалены единичный ядерный заряд и один из двух К-электронов.
В результате такой операции у нас получился бы нейтральный атом с зарядом ядра Я вЂ” 1. Если теперь вернуть ядру удаленный ранее положительный заряд, но пренебречь его влиянием на движение оставшихся г. — 1 электронов, то полученная таким образом система зарядов будет создавать в пространстве электростатический потенциал, описываемый формулой (ниже используются атомные единицы) Ф (г) = —, + —,!р(х), ! Я вЂ” ! (178.1) где !р(х) — функция Томаса — Ферми от переменной х= — ', а=0,88534(7 — 1)-ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
