Fluegge-2 (1185101), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Согласно формуле (167.7б), энергия Ферми Ь зависит от отношения дт =-У/(г и, следовательно, от объема )г: и Выгае предполагается, что сжатие газа производится адяабатичесдя.— Прим. ред. Эта энергия значительно больше энергии теплового движения (/гТ = 0,026 эВ при 300 К), поэтому тепловое возбуждение может лишь очень незначительно изменить распределение электронов по энергиям. Зтот эффект, называемый вырождением электронного газа (ферми-газ), физически обусловлен малостью массы электрона, входящей в знаменатель выражения (167.7б), В общем случае максимальную энергию ь называют энергией Ферми электронного газа.
122 Лг. Многочасоьичньье годачи. Б. Очень большое число частиц Огсюда для давления получаем Ю 2 У 2 р = — = — — = — К~. й'ч' 3 'ч' 5 (167.11) Подставляя в эту формулу значения М' н ь, определенные выше, находим р = 2,06 1О" дин/смь„ что составляет примерно 200 000 атм. Это чудовищное давление уравновешивается кулоновскими силами притяжения между электронами проводимости и ионами, находящимися в узлах кристаллической решетки. Задача 168. Парамагнитная восприимчивость металла Для нулевой температуры определить парамагнитную восприимчивость металла, рассматривая электроны проводимости как ферми-газ.
Полярнзуемость ионов кристаллической решетки ие учитывать. Решение. Согласно результатам предыдущей задачи, электроны проводимости образуют ферми-газ, причем предельная энергия электронов (энергия Ферми) определяется выражением йь ь = — (ЗпьоУ')Чч 2т где )(à — число электронов проводимости в единице объема. Разность энергий ЛЕ двух соседних электронных уровней находится из соотношения 4прьйр =4п)г 2тЕтбьЕ= —. (2нй)ь (168.2) Отсюда для уровней, расположенных вблизи энергии Ферми, получаем бЕ.= з — ',.
(168,3) Действительно, можно написать бЕа ь 1 а вместо ь'ч подставить выражение (168.1). При нулевой темпе- ратуре все уровни, для которых Е ( ь, заняты парами электро- нов с противоположно ориентированными спинами, а все уровни, для которых Е ) ь, свободны. год. Парамагяитяая еоеариамоиооеть метаяяа !23 Разделение электронной пары, разумеется, возможно только в том случае, если хотя бы один из принадлежащих ей электронов переводится на незанятый уровень, лежащий выше уровня Е = ь. е " к Но это означает, что выигрыш в энергии (168.4) тратится на увеличение кинетической энергии электронов.
~ ллко Обратившись к фнг. 66, видим, что иа разделение первой пары, т. е. на перевод одного электрона с самого верхнего занятого уровня на самый пеа полю с паяем нижний незанятый уровень, требуется Фнг. 66. Спнн-флнп вблнзн энергия ЬЕ„на разделение втором поверхности ферма вызван- пары — энергия ЗЛЕ„на разделение нйй магннтным полем. третьей пары — энергия 5ХЕо и т. д. В общем случае на разделение о пар требуется затратить энергию [1+3+5+...
+(2ч — !)1ЬЕо= тоЛЕо (168 5) Состояние равновесия достигается при условии, что полное изменение энергии Иг, вызванное магнитным полем, Яг = — 2чр,ть' -1- чадЕо, (168.6) имеет минимум, т. е. оно' — = — 2)оЯ~+ 2чйЕо = О.
ае Таким образом, при равновесии ч= — ' 1оль аЕо ' (168.7) причем В' (р,Ж)' мое = аЕо (168.8) Если производится разделение большего числа пар, то полная энергия электронного газа вновь возрастает. При равновесии Если теперь поместить металл в магнитное поле, то можно добиться выигрыша в энергии, разделяя электронные пары и ориентируя спины каждой пары электронов параллельно магнитному полю ев". Если разделены ч таких электронных пар, то выигрыш в энергии, очевидно, составит 2т )ь,У, где р= —.
ей (168.4) 124 !У. Многочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц суммарный магнитный момент куска металла будет равен 2рп;тб" Ф=2т р= — ' 5Еп н, вспоминая определение парамагнитной восприимчивости, можно написать Х=. м!5 2р' ,губ"У УМЕ (168.9) Учитывая теперь соотношения (168.3) н (168.1), находим Х= — п(ЗФГГ (168 1О) Для получения числовых значений плотность электронов проводимости следует выразить через плотность металла р, массу одного его атома тнА(А — атомный вес) и его валентность г.
Мы, очевидно, имеем эгг =— ар тмй и, следовательно, Х„,, = 1,86. 1О ' ( — ~) *. (168. 11) При сравнении этого результата с экспериментальными данными из последних необходимо вычесть диамагнитную восприимчивость ионов кристаллической решетки. Замечание. В задаче !60 была вычислена диамагнитная восприимчивость неона, практически она должна совпадать с диамагнитной восприимчивостью ионов !чал. Как было найдено. Хпп,— — — 5,61.!О-' смп!моль. Учитывая, что плотность металлического натрия составляет примерно 1 ггсмп = 1(23 моль!смп, в принятых нами единицах получаем Хлп,— — — 0,25.10-п.
Хпп ра = +О,бб 10 Мы видим, что обе величины имеют один и тот же порядок, поэтому некого. рые металлы (например, цезий) лпогут оказаться даже диамагнетинеми. Литература Френкель Я. И., Рж Раут, 49, 3! (1928). [См. также Френкель Я. И., Введение в теорию металлов, Фнзматгиз, М.,!958, стр. 106 и далее.— Прин. рлд.] С другой стороны, согласно (168.11), вклад электронов проводимости в этом случае равен убу, Холодная эмиссия беэ учета сил электростатического иэображения 1го Вадача 169.
Холодная эмиссия без учета сил электростатического изображения Определить плотность тока электронов, эмиттируемых металлической поверхностью под действием сильного электрического поля 8. Температуру считать низкой, структуру кристаллической решетки, а также силы электростатического изображения не учитывать. Решение. Пусть эмиттирующая поверхность совпадает с плоскостью д=-О. Внутри металла (а < О) электроны проводимости имеют постоянную потенциальную энергию у'==О, вне металла (а > О) их потенциальная энергия в отсутствие электрического Ф и г. 67. Холодная эмиссия.
Слева: электронные уровнн внутри металла заполнены вплоть до внвргнн Фермн В влаава: код потенциала внв металла. поля равна Ры Внутри металла электроны проводимости в совокупности образуют ферми-газ в основном состоянии и занимают все энергетические уровни вплоть до уровня, соответствующего энергии Ферми ь. При наличии электрического поля потенциальная энергия электронов вне металла описывается выражением )г (д) = )г,— е8а. (169.1) Обращаясь к фиг. 67, мы видим, что при наличии поля вне металла образуется потенциальный барьер. Пусть Е, означает ту часть энергии электрона, которая соответствует я-компоненте его скорости, тогда для коэффициента прохождения Т, рассчитанного в приближении ВКБ, можно написать Т=ехр( — 2 — ~ )г 'у'(и) — Е,с)г), (169.2) ( Й где и'(г) определяется формулол (169.1), а (169.3) Выражение (!69.2) быстро убывает при убывании Е„а фнгури- !26 Ф.
Мноеочастичние эадачи, Б. Очень больтое число часншЧ руюший в нем интеграл легко вычисляется и мы получаем Т =ехр ( — — (Р— Е )' ° ~. 4 1'2т 3 йе 8 (169.4) Плотность тока электронов можно определить по формуле ! = е ~ веТ с(л, (169.5) где да†число электронов проводимости в элементе импульсного пространства абрис(рее(р„ отнесенное к !ем'. Для ферми-газа внутри ферми-сферы, т.
е. при условии Р, '+ Рее + Р, 'а-. 2т Ь, (169.6) получаем вне ферми-сферы имеем ! = — „,' 2п ~ с!р, ~ р (~— ')~Тс(р, причем выше интегрирование распространяется на все электроны, для которых о, ) О. С помошью введения новой переменной Ее (169. 7) последний интеграл упрошается, и мы получаем 4иет Р = — ! 6Т (е) с(е, (169.8) где Т(е) =ехр ( — — — ()е,— Ь+е)ч ° ~ .
(169 9) 4 )е2т 3 аео. Для оценки интеграла (169.8) воспользуемся тем обстоятельством, что коэффициент прохождения Т(е) имеет максимальное значение при е = О (это соответствует максимуму энергии электронов Е,=ь), а затем по мере роста е быстро убывает. По Если в импульсном пространстве ввести цилиндрические координаты р, у, р, и принять во внимание, что рн = р соз ер, ре = р з)п ер, рь + ре' = 2тЬ, то интеграл (169.5) можно записать в виде — У амбр. Холодная омиссия бее учета сил електроститического ичображения Шт этой причине основной вклад в интеграл (169.8) дают электроны с малыми значениями е, и мы можем воспользоваться разложением (р.— 1+ )'" =(р.— у~ +-'е(р.— 1)ч +" ..
2 Вводя теперь обозначение 2 ~ ((л,— ь)ч = 4, о (169. 10) находим Т=е е еехр ( — че ) е (=~ — "„, е ' е ~еехр( — о' ) 1, е 4лет (ре 1)е е е е ое (169.! 1) Числовой пример. Согласно формулам (169.10) и (169.11), плотность тока электронов быстро падает с ростом работы выхода Го — ь и с уменьшением напряженности электрического поля кг. Если напряженность поля измерять в вольтах на сантиметр, работу выхода — в электронвольтах, а плотность тока— в амперах на квадратный сантиметр, то формулы (169.10) и (169.11) примут вид д= 1,047 ° 1О'( ' ег 1= 1,59 1О" — 'ь) е (169.12) Если величина с) имеет порядок 1, то для плотности тока еле. дует ожидать значение порядка 1О" А/сме.
Это значит, что почти каждый электрон, ударяющийся о поверхность, покидает металл. Разумеется, в этом случае ни сама модель, ни приближенный метод расчета совершенно непригодны. С увеличением значений д плотность тока быстро падает, поэтому разумно спросить, для каких значений напряженности поля при разных значениях работы выхода мы можем ожидать плотность тока 1А/смее При- Здесь снова подынтегральное выражение быстро убывает с ростом е, поэтому, не внося заметной ошибки, интегрирование можно распространить до бесконечности, так что окончательно !28 Ге'. Многочостичние задачи. Б.
Очень болонии число частиц веденная ниже таблица дает ответ на поставленный вопрос: 1',— ь=0,083эВ 0,43 2,19 8 = 10' В1см 1О' 10в Так как для металлов работа выхода )г„— ь всегда имеет порядок нескольких электронвольт, то для полей, напряженность которых меньше 10' В/см, холодная эмиссия должна отсутствовать. Эксперименты же показывают, что пороговое значение напряженности поля имеет порядок 10' В(см. Такое сильное расхождение, разумеется, нельзя объяснить тепловыми возбуждениями ферми-газа: учет их позволяет понизить работу выхода на величину порядка '1и,— 11100эВ (йТ 1130эВ при обычных температурах), Как показано в следующей задаче, полученнпв противоречие удается устранить, приняв во внимание силы электростатического изображения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
