Fluegge-2 (1185101), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ниже нас главным образом будет интересовать кривая 3, соответствующая нейтральному атому. Мы назовем полученное решение стандартным н будем обозначать его через (р,(х). Числовые значения функции ~ро (х) приведены в нижеследующей таблице. Наклон касательной в начальной точке в рассматриваемом случае характеризуется значением ср,'(О) — 1,58 807, а асимптотическое поведение имеет вид ~Ро(х) — 144(хо [заметим, кстати, что указанная асимптотика является точным решением дифференциального уравнения (172.10), однако при х= 0 это решение имеет сингулярность). Для практических целей приведенное асимптотическое выражение малопригодно, так как даже пои х = 100 оно отличается от точного решения ~ро (х) примерно на 40 4. Надо, однако, иметь в виду, что истинный потенциал нейтрального атома ср, должен убывать по мере роста х значительно быстрее, во всяком случае убывание должно быть экспонеициальным.
Ошибка, свойственная модели Томаса — Ферми, как н любой другой статистической модели, быстро возрастает с уменьшением числа частиц. На больших расстояниях число частиц становится сколь угодно малым, поэтому нельзя ожидать, что там наше приближение, каким бы хорошим оно ни было во внутренних областях атома, будет оставаться пригодным.
Чтобы получить решения, близкие к стандартному, можно положить Ф (х) = <ро (х) + ло) (х), (172, 13) так что для малых отклонений йо), нз (172.10) получается линеаризованное уравнение (! 72.14) Кроме того, чтобы удовлетворить граничному условию (172.11), необходимо положить г(, (0)=0. В целях стандартизации можно также потребовать, чтобы выполнялось равенство т(,'(О) =1, а граничному условию (172.12) удовлетворить путем подходящего выбора параметра й.
Таким образом, имеем то ( ) Ч о ( ~е (172.15а) ' х (гх+ р,'(Х)), (172.15б) й = р' (0) — р,' (0). (172,15в) Соотношение (172.15а) устанавливает простую связь между па- раметром й и радиусом положительного иона Х. Значения функ- ции е(,(х) и ее производной о)о'(х) приведены в таблице. о (х( о,оо 0,02 О,О4 0,06 0,08 о,!о 0,2 о,з 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,О 1,2 1,4 1,6 1,8 2,О 2,2 2,4 2,6 2,8 з,о 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,5 5,0 5,5 б,о 6,5 7,0 7,5 В,О 8,5 О,О 9,5 !О,О 1,оооо 0,9720 0,9470 0,9238 0,9022 О,ВВ!7 0,7931 0,7206 0,6595 О,ВО7О 0,5612 0,5208 0,4849 0,4529 0,4240 0,3742 0,3329 0,2981 О,2685 0,2430 0,2210 0,2017 0,1848 0,1699 0,1566 0,1448 О,!343 О,!247 О,!162 О,!084 0,09!9 0,0788 0,0682 0,0594 0,0522 0,0461 0,0410 0,0366 0,0328 0,0296 0,0268 0,0243 1,5881 1,ЗООЗ 1,1991 1,1177 1,05!6 0,9954 0,7942 0,6618 0,5646 0,4894 0,4292 0,3798 О,ЗЗ86 0,3038 0,2740 0,2259 О,!890 О,!60! О,!370 О,!!82 0,1028 О,ОВОО 0,0793 0,0702 0,0625 0,0558 0,0501 О,О45! 0,0408 0,0369 0,0293 0,0236 0,0192 0,0159 0,0132 о,о!!! 0,0095 О,ООВ! 0,0070 О,ОООО 0,0053 0,0046 0,0000 О,О20О 0,040! 0,0604 0,0807 0,1012 0,2069 0,3186 0,4378 0,5654 0,7023 0,3494 1,0075 1,1773 1,3597 1,7650 2,2296 2,7593 3,3605 4,0396 4,8032 5,6582 6,6116 7,6708 8,8434 10,137 !1,561 13,!22 14,829 16,693 22,09 28,68 36,62 46,08 57,2? 70,39 85,64 !03 27 123,52 146,66 172,94 202,67 1,ОООО 1, 0028 1,0079 1,0!44 1,О22О 1,озоб 1,0846 1,!528 1,232! 1,3210 1,4!87 1,5246 1,6384 1,7599 1,8890 2,1696 2.4805 2,8222 3,!954 3,6012 4,0406 4,5!49 5,0253 5,5730 6,1594 6,7856 7,4538 8,1646 8,9!98 9,7208 !1,93 14,47 17,34 20,59 24,23 28,ЗО З2,6! 37,ВО 43,29 49,82 55,92 63,! 1 ыз е78.
Поараена Амальди дле нейтрального атома Задача 173. Поправка Амальди для нейтрального атома В правую часть уравнения Пуассона, лежащего в основе модели Томаса — Ферми, правильнее было бы подставить не плотность заряда всех 2 электронов, а плотность заряда, создаваемую Л вЂ” 1 электроном. Это связано с тем, что с помощью указанного уравнения определяется эффективный потенциал, в поле которого движется один отдельно взятый электрон. Выяснить, к каким изменениям приводит указанная поправка к модели Томаса— Ферми в случае нейтрального атома.
Решение. Вместо уравнения (172,1) теперь имеем Ч*Ф = 4яе — и (е), (173.1) где Ф означает потенциал, создаваемый ядром и Я вЂ” 1 электроном и действующий на не включенный а правую часть уравнения (173.1) электрон номер У. При таком упрощенном подходе безразлично, какой именно электрон мы рассматриваем в качестве пробного заряда, что, впрочем, вполне соответствует точности, свойственной статистической картине. Граничное условие при е — О определяется зарядом ядра н, следовательно, остается прежним: Ф(е) = —, при е- О, (173.2) на границе же нейтрального атома теперь должно быть Ф(Я) =— е т йев ~ е (173.3) так как один положительный ядерный заряд е в данном случае остается незаэкранированным 2 — ! электроном и продолжает действовать на электрон, рассматриваемый нами в качестве пробного.
Другое основное уравнение, следующее из квантовой статистики, имеет прежний вид, так что снова можно написать и (е) = — (2епе [Ф (е) — Ф (Я)1)'/ ° . (173.4) Исключая из уравнений (173.1) и (173.4) функцию и(е) и вновь вводя безразмерную функцию (173.5) 144 14е. Мноеонастичные вадачи. Б. Очень Военное чисео частиц получаем прежнее универсальное дифференциальное уравнение Э/ (173. 6) в котором безразмерная независимая переменная определяется теперь соотношением х=г/а, причем ы а4 ц(1 — — ) (! 73.7) ф(Х)=0 н Хф (Х) = — —. (173.8) Эги условия могут удовлетворяться лишь при конечных значениях радиуса атома, что с лихвой компенсирует эффект расплывания атома, связанный с величиной а.
Задача 174. Энергия атома в модели Томаса — Ферми Пользуясь моделью Томаса — Ферми, вычислить полную энергию нейтрального атома. Кроме того, с помощью вариационной процедуры, минимизирующей полную энергию атома, вывести дифференциальное уравнение для плотности электронов п(г), или соответствующее уравнение для электростатического потенциала Ф(г). решение. Полную энергию атома можно представить как сумму кинетичесиой энергии электронов, потенциальной энергии взаимодействия электронов с ядром Е~„" ,„ и, наконец, потенциальной энергии взаимодействия электронов между собой Е„'" „.
Выражение для кинетической энергии можно написать, вспомяни, основные результаты задачи 167. Если и (г) — плотность электронов, то средняя кинетическая энергия электрона, нахо- и а — характерная длина, значение которой дается равенством (172.9). Так как а > а, то на первый взгляд рассматриваемая поправка увеличивает размеры атома, хотя из физических соображений ясно, что эта поправка должна уменьшить отталкивание электронов, в результате они сильнее будут притягиваться ядром и размеры атома должны уменьшиться. На самом деле здесь нет никакого противоречия, поскольку теперь мы имеем дело с измененными граничными условиями. Для функции ф(х) условия (173.3) записываются в виде <74. Энергия атома в модели Томаса — Ферми 145 дящегося на расстоянии г ат ядра, определяется выражением Е= — Г = хпч» 5 (! 74.1) где х = — (Зпе)'г». зЬ !агл Отсюда для суммарной кинетической энергии всех электронов находим Е„е„=- ~ п(г) Е (г) е(т, или Е„„„= х') п'г <(т.
(174.2) Выражения для Еи„„„и к~и„„„получаются непосредственно из соответствующих формул электрастатики: <т) , Г »<т Епотеп = 2в ) и (г) г <т) 1, Г Г л (г) а (г') Епотеи ее ) ) , <(т <(т 2 ',),) ).-г( (174. 4) (г) ( = г, (174.б) означающее, что полное число электронов равно 2. Для решения поставленной вариационной проблемы необходимо рассмотреть уравнение б ~ (т)+).п)<(т=О, (174. 7) где Х вЂ” неопределенный множитель Лагранжа. После подстановки выражения (174.5) в уравнение (174.7) находим <(тбп(г) ° — хпп — — +е'~, <(т'+).~=О. (!74.8) ( 5» сее Г л(г') '(3 г 3 1г — г') Выше при написании последнега члена мы учли, что варьирование функций п(г) и п(г') в двойном интеграле дважды приводит Таким образам, для полной энергии, т.
е. для суммы выражений (174.2) — (174.4) можно написать Е = ) <(т (хп )» — — и+ — е'и ~, <(т ) = ') Ч <(т. (174.5) сее 1 Г л (г') 2 д )г — г") Теперь с помощью подходящего выбора функции п (г) мы должны минимизировать полную энергию, учитывая при этом уравнение связи !46 1!с. Многочастичные еадачи. и. Очень большое число частиц к одному и тому же результату. Энергия Е будет экстремальна, если выражение, стоящее в фигурных скобках в (174.8), обращается в нуль. Учитывая далее, что плотность электронов и (г) зависит только от г и не зависит от угловых переменных, третий член в фигурных скобках с помощью разложения подынтегрального выражения по сферическим гармоникам можно представить в виде ч с(т' = — ~ г"и (г') с(г'+ 4и ~ г'п (г') е(г'. о 7 Таким образом, в силу (174.8) имеем г 60 — нпч — — + — ) г"и(г') г(г'+ 4ие' ( г'п(г')е(г'+А=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
