Fluegge-2 (1185101), страница 24
Текст из файла (страница 24)
р (178.2) Если теперь добавить к этой системе ранее удаленный К-электрон (заряд — 1), то его потенциальная энергия будет равна У (г) — Ф (г). (178.3) У (г)= —— 2 Для дальнейших расчетов воспользуемся теорией возмущений. Без учета экранировки выражение для потенциальной энергии К-электрона имело бы вид 154 Л'.
о1ноа(частичное еадачи. Б. Очень большое число часе(иа Таким образом, с учетом экранировки имеем г †! 2 вЂ У (г) = — †: (р (х) 1г, (г) + — 11 †(р (х)]. (178.4) В пренебрежении экранировкой энергия Е, н соответствующая ей волновая функция и,(г) К-электрона определяются выражениями лме Е, = — — Ле, и„- — е- в'. (178.5) Благодаря экранировке энергетический уровень в первом порядке теории возмущений сдвигается иа величину ,2 — 1 ЛЕ, = ) и', — (1 — (р) и, е!т. Последнее выражение после подстановки в него функции и„ принимает вид ЬЕ, 4Е' (Я вЂ” 1) ~ гв-~в'~! — ф (х)~ с(г. (178.6) о Теперь уже можно воспользоваться приближением Тайтца (см. задачу 176): (р(х) + ,, а 0,53625.
1 (178.7) Чтобы вычислить интеграл (178.6), перейдем к новой переменной г р (1+ах), (178.8) где ~ = 22 — = 3,3028 (Š— 1)-'г . (178.9) В результате получаем Ш рч реч ье е(е — це~ '(( — ь — — ь —,)е(. ((78.(ы Фигурирующий здесь интеграл Е,(р) е '— (178.11) представляет собой хорошо известную функцию, асимптотическое поведение которой прн больших значениях р описывается, рядом е ВГ 11 21 3( Е (Я = — ~ 1 — + — — — ' ~ ...
) . (178. 12) е р ~ р рч рз 156 гч'. Мноеочастичние задачи. Б. Очень большое число частиц то для грубой оценки квадратный корень можно заменить степенным разложением, и мы получаем аЕе АЕ ЯЖЛ 21Е,!= г Таким образом, экранировочная постоянная примерно пропорциональна 2п . Если для оценок воспользоваться грубой формулой вида з= оЛО, то с ее помощью нетрудно получить следующие пары значений: 2 =20 50 80 о = 1,03 1,12 1,15.
ов 0,847 0,880 0,897 0,910 0,92! 0,927 0,932 24,75 32,25 38,96 45,!2 50,90 56,35 61,56 2,81 3,36 3,79 4,13 4,42 4,71 4,96 52,2 95,2 !44,3 !98,0 257,3 318,6 384,0 200 450 800 1250 1800 2450 3200 20 30 40 50 60 70 80 — !7,1 — 41,7 — 86,3 — 160 — 273 3,35 3,26 2,94 2,34 1,62 Согласно релятивистской квантовой механике !см. задачу 203), невозмущенная энергия К-электрона понижается на величину Однако определять коэффициент пропорциональности а с такой большой точностью не имеет смысла.
Сравнение экспериментальных значений экранировочной постоянной з с ее теоретическими значениями показывает, что вплоть до Л = 50 согласие между теорией и экспериментам довольно хорошее, но по мере дальнейшего роста Л согласие между ними нарушается. Вместо предсказываемого теорией медленного увеличения з фактические значения экранировочной постоянной, достигнув максимума 3,7, начинают сначала медленно, а после 2=70 быстро убывать. Вполне очевидно, что отмеченное противоречие между теорией к экспериментом при больших значениях 2 следует приписать релятивистским эффектам.
Такое заключение качественно подтверждается данными, приведенными в двух последних столбцах нашей таблицы. 17а. Влияние экранировки на к-вхытроны 157 Этот сдвиг уровня надо добавить к сдвигу ЛЕ„обусловленному экранировкой, и лишь затем вычислять экранировочную постоянную. Результаты таких расчетов приведены в последнем столбце нашей таблицы. Так как суммарный сдвиг ЛЕ= ЬЕ,+ ЬЕ, по мере роста Я делается все меньше и меныпе по сравнению с первоначальным сдвигом ЛЕ„то исправленное значение экраннровочной постоянной х, характеризующее отклонение эффективного поля от неэкранированного поля ядра, также убывает все быстрее с ростом Л, что согласуется с данными эксперимента.
Строго говоря, релятивистские эффекты следовало бы учесть не только при вычислении энергии Е„но и при вычислении сдвига ЬЕ,. В этой связи наши результаты нужно рассматривать как сравнительно грубое приближение, однако допускаемая нами ошибка вряд лн выходит за рамки точности модели Томаса — Ферми, не учитывающей эффектов, обусловленных оболочечной структурой атома.
у'. Неетационарные задачи Задача 179. Двухуровневая система под действием не зависящего от времени возмущения Система обладает только двумя стационарными состояниями ~1> и )2> с энергиями гмо, и Ьго,(г1от,(гтгоа). В момент времени 1= О, когда система находилась в основйом состоянии, было включено не зависящее от времени возмущение К. Вычислить вероятность обнаружения системы в том или ином из ее возможных состояний в момент времени 1. Решение. Пусть Н означает гамильтоннан невозмущенной системы, так что два ее возможных стационарных состояния описываются уравнениями Н ! 1> = Ь го, ) 1>; Н ~ 2> = Ьот, ( 2>. (179.1) Тогда решение уравнения Шредингера при наличии возмущения — —,. лт(ф>=(Н+(Р) (ф> йл (! 79.2) можно выразить через стационарные состояния: ) тР (1)> = с, (1) е-'"' ) 1>+с, (1) е-ге*') 2>.
(179.3) Эта возможность обусловлена тем, что состояния ) 1> и ~ 2> образуют полный ортонормированный набор состояний и соотношение (179.3) представляет собой просто-напросто разложение состояния )тр> по указанному полному набору, причем коэффициенты разложения являются функциями времени и должны определяться из начальных условий с, (0) = 1, с, (0) = О. (179 ай) Если выражение (179.3) подставить в уравнение (179.2) и умножить" это уравнение почленно на <1( нли на <2(, то в результате для определения коэффициентов мы найдем два диф- и Здесь имеется в виду скалярное умножение совектора на вектор в гильоертовом пространстве состояний.
тту. Двухуровневая система нод действием возмущения 159 ференциальных уравнения первого порядка: й. Ф вЂ” —.с е " '=<1(йт(1>с е '" '+<1((о (2>с е-"'', ' (179.5) й. — — с е- '"и = <2 ! Пт ! 1> с1е-'"и + <2 ( (о ( 2> с е-""*'. Пусть для краткости <р! В')т>= В'и„ Пользуясь обозначением ~в в'в ~т (179.6) (Ьвв есть, очевидно, разность энергий двух рассматриваемых состояний), уравнения (179.5) можно переписать следующим образом: Йс, = (Рпс, + В'„е-'"'с„ (179.7) й(св = )Р „е'""'с, + В'„св.
Решение этой системы ищем в виде с, = Ае-'", с, = Ве-'~а-"Л ' (179.8) После подстановки выражений (179.8) в систему уравнений (179.7) получаем ((Рм — )звз) А+ йтмВ = О, УввА+ (%вв — Ьв+ Йвв) В = О. Определитель этой системы линейных алгебраических уравнений обращается в нуль при двух значениях частоты вп атм 1 оз1 и= + — у~ о где М = ~'вв — (Рм+ М, 47 +( (179. 10) Лалее имеем В = '" ~мА ьа= ь и аввв (179.11) тогда в силу эрмитовости оператора 97 диагональные матричные элементы К, и %'„будут действительными, а недиагональные матричные элементы будут связаны соотношением (в 1в (в ве )60 У.
Нестационарние задачи и, следовательно„ с, (() = А,е '" ' + Апе ! и', с, (() = — е!""((йв! — йг!!) А,е '"! +(йвп — Ю'„) Апе '"'). в Постоянные А, и Аи можно исключить, воспользовавци!сь начальными условиями (179.4). Несложные вычисления приводят к следующему результату: с,(!) =ехр ~ — Е( — „"+ — у) !1 (созо!+(~з з!по!), (1?9.!2а) с (1) = — ( — '* ехр ) — ! ( — "+ — у — в ) (1 з! и о(. (! 79.126) Отсюда для вероятности обнаружить систему в возбужденном состоянии получаем Последнее выражение с учетом (179.10) принимает вид (Йт) ' 4 ! 5'!, ! Вероятность обнаружить систему в исходном основном состоянии определяется выражением (с, (() /'=сов'о(+® з1п'о(, 4 ! )У ! с, (() ! ' = 1 — " з)п' о! .
(Бт)!+4 ( %'и ( ! Заметим, что сумма выражений (179,13) и (179.14) равна единице. Таким образом, рассматриваемая система осциллирует между двумя стационарными состояниями с периодом и/о. Задача 180. Действие периодического возмущения на двухуровневую систему Имеется та же самая двухуровневая система, что и в предыдущей задаче. В момент времени т 0 включается периодическое возмущение В'савв( (например, световая волна), частота которого почти совпадает с частотой в, =в, — в„ соответствующей разности энергий двух рассматриваемых уровней. Определить вероятность обнаружения системы в том или ином из ее возможных состояний в момент времени ! после включения периодического возмущения.
.!ВО, деаствив периодическою воэмущвния на двукуровнюую систему !З! Решение. Решение уравнения Шредингера — —,. —, ! ф> = [Н + %' соз ь!1 ! ф> А а (180.1) ишем в виде / Ф (1)> = с, (1) е- " ' ( 1>+ с, (1) е-'"и ) 2>, (180,2) где коэффициенты разложения должны определяться из начального условия ~ ф(0)> = (1>, или с, (О) = 1, с,(0) = О.
(1803) Выше !1> и 12> — решения уравнения Шредингера для стационарных состояний: Н ! 1> = Ьсо, ) 1>, Н ! 2> = ссо!, (2>, причем указанные стационарные решения можно считать ортонормированными. Подставляя выражение (180.2) в уравнение (180.!) и умножая затем это уравнение на <1! или <2), получаем два дифференциальных уравнения для определения величин с, [1) и с,(!): $ — —,се-"ь'=спасо((<1)(Р )1>се-с и+<1()Р (2>се-сис), (180.5) — —. с е- 'ии = соз ю( «<2 ! (Р / 1> с1е-'ин + <2 ! 17 ) 2> осе-'ин).
Введем обозначение и, кроме того, положим (180.6) со — со = Лсо. о Ниже будем считать, что 1 бю(<аю.. (180.7) Система уравнений (!80.5) теперь принимает вид сс, = — 1<1) Ч7!1>(е' '+е-'"") с, +<1)(й )2>(е'ои'+е- и '" >')с,), ! Ес, =- — (<2 ! (Р ) 1> (е' '"+""' ' + е- ы"" ) с, + <2 ! Ю ! 2> (е"" + е-'"') с ) . ! 2й 1 в При такой записи отчетливо выявляется наличие членов двух типов: высокочастотных — с частотами порядка со и 2!о и низкочастотных — с частотой бсо.
Усреднение по временнбму интер. валу 2п/со позволяет избавиться от высокочастотных членов, 6 и!!п У. Неемацаонарные вадача 162 поэтому, заменив коэффициенты с, и с, усредненными величинами ~+в Са (1) 2т ! са (1 ) Н1 где получим для этих усредненных величин значительно более простую систему уравнений, если при усреднении будем считать медленно меняющиеся множители ехр (~ ЫМ) постоянными: 1С,= — <1!)Уе (2>е'ааасм 2й 1С, = — <2!%' (1>е-'аа'С,. 2Й где и* = ! <1~(р'! 2> <2~)у'~ !> = ! ~<2~)р'~!>~'. (!80 АО) ье $е Если теперь ввести обозначение )т' = Уи*+ (Леа)', (180.11) то решение последней системы, удовлетворяющее начальным условиям (180.3), можно записать в виде е — '( И . И~ . Ьы С г а ' (соз — +Агйп — ~! е Ья Сг а ' Вз!и —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
