Fluegge-2 (1185101), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Задача 170. Холодная эмиссия с учетом сил электростатического изображения Высота потенциального барьера, препятствующего холодной эмиссии, значительно понижается из-за сил электростатического изображения. Выяснить, как влияют эти силы на величину плотности тока холодной эмиссии. Решение. Силы электростатического изображения возникают вследствие искажения поверхностного заряда, вызванного присутствием электрона в области г) О. Если величина г значительно больше постоянной кристаллической решетки, то мы можем не принимать во внимание детали внутренней структуры металла и рассматривать его как непрерывную среду. В этом случае силы электростатического изображения рассчитываются методами классической электростатнки и мы можем написать ее еь 4г (170.
1) Для малых значений з это выражение непригодно: прн а=О оно просто расходится н, следовательно, теряет физический смысл. Однако в дальнейшем мы будем пользоваться приведенным выражением во всей области изменения г, допускаемая при этом ошибка не скажется на наших результатах, так как плотность тока холодной эмиссии зависит исключительно от ширины и высоты потенциального барьера в той области значений энергии, где высота больше энергии электрона. !гО.
Холодная эмиссия с учетом сил' электроаяатическат илоораясения 129 С учетом сказанного потенциальная энергия электрона, когда он находится вне металла, имеет вид ео 'у'(г) =1',—,— е,й'а. (! 70.2) (Используются обозначения предыдущей задачи, см. также фиг.68.) Выражение (170.2) интересует нас лишь в области между з, Ф и г. 68. Холоднее эмиссия с учетом сил ялектросгятического ияобряжеиия. и г„где е, и го — корни квадратного уравнения )г(з) =Е,.
Мы, очевидно, имеем уо — Ео I (Уо — Ео)' е ~У 4Д 4~ (170.3) Ооа корня будут действительными, если еФ. (( — ', '). , ~~ (7,— ЕоЧ~ (170. 4) н вместо радикала (170.3) взять соответствующее разложение. Таким образом, имеем е' го 4 (у Е и го = 2о зо (170.6) о) где Ео 'о- —,г (170.6) причем г,(<з,. Благодаря силам электростатического изображения вершина потенциального барьера, согласно формуле (170.2), сдвигается теперь из точки г= О в точку г=) е!44', а его вы- 5 н. итг Ваметим, что это условие выполняется даже для полей, напряженность которых имеет порядок 10' В/см.
Для больших значений напряженности высота барьера будет ниже энергии Фермиэлектронного газа в металле. В экспериментах иепользуются поля, напряженность которых не превосходит 10' В/см, поэтому можно считать, что !30 е"г'. Мноеочастичные задачи. Б. Очеиь большое число частиц сота равна теперь не ь'„ а )г,— е)с е8 Согласно условию (170.4), это приводит не столько к понижению потенциального барьера, сколько делает его вершину более пологой, и мы можем ожидать, что при прочих равных условиях коэффициент прохождения будет иметь теперь значительно большую величину.
Повторяя рассуждения предыдущей задачи, можно убедиться, что основной вклад в плотность тока холодной эмиссии будут давать те электроны, энергия которых близка к значению Е,=ь. Для таких энергий величина г,=е'/(4 ()гь — ь)~ во всяком случае не меньше постоянной кристаллической решетки, поэтому наличие расходимости при а=0 в потенциале сил электростатического изображения для дальнейшего не имеет никакого значения. Снова используя приближение ВКВ, можно написать для коэффициента прохождения выражение вида чь Т ехр — 2 — ) 1/1'(г) — Е дг Р2т Г й,) е г, Учитывая далее, что У(г) — Е, = — (г — г,) (г,— г), е~ получаем =а= ч 1п т 1~(~ ~1) (г г)с(г.
(170 7) 2 г' 2ои~ Г г 1 (г,— гг)чь ') '~/ ~, дх, ь г1 с гч — г, ' Положим далее г,— гь г, (170,8) Зтот интеграл относится к интегралам эллиптического типа, и его можно выразить через табличные интегралы. Введем вместо г новую переменную х=(г — г,)~(гч — г,), в результате наш интеграл преобразуется к виду /рд. Холодная эмиссия с учетом сил элентрастантчесноео иэображения !3! (! — /ев) Мпв ф х= ! — яв в!пв ф тогда вместо интеграля, стоящего в правой части равенства (170.7), можно написать и/а 2/е»»/, (' в)пвфсоввф (170.9) )/Т вЂ” яв,) (! — /ее в!ивф) / ° » В свою очередь этот последний интеграл можно представить в виде линейной комбинации двух полных эллиптических интегралов Е(/в) и К(й): и/в /6Р= 3 ' ~! ьв е(й) 2К (й)1' (170'1О) В справедливости равенства,(170.10) можно убедиться следующим образом.
Если ввести обозначение 1 — й' з)ивф = ов, то полные эллиптические интегралы запишутся в виде и/в и/в Далее путем дифференцирования нетрудно проверить справедливость тождества тпв ф сов' ф 2 — Ьв „2 /вв) рЭвл Г + — „~з! п ф соз ф( — — (,, „) ~ .
Если теперь проинтегрировать это тождество почленно по ф, то в результате получим соотношение н/в в из которого сразу следует равенство (170.10). Суммируя наши результаты, можно записать формулы (170.7) и (170.10) в виде — 1и Т = — г,/' ((2 — /гв) Е (й) — 2 (1 — йв) К (Уг) ).
(170.! 1) 2 1/ 2нтОо 3 5» 132 17. Мнаеочастичные задачи. Б. Очень большое число частиц Эта формула допускает дальнейшие упрощения. Действительно, г, с~ г„следовательио, яа ж 1 и параметр Йа можно заменить параметром а'а=! — й' =- — '<' 1, (170. 12) Е(й)=1+-' (Л вЂ” —,') й"+... причем выше Л= 1п(41й'). Подставляя эти ряды в правую часть (170.1!), находим 2 .1Г! (3 3, 4)~ — гоч [! — — ',й (,+1. „,)1 Если бы А' О, то у иас получилось бы для коэрфициеита прохождения Т прежнее значение (!69.9), найденное без учета сил электростатического изображения. Обозначим это значение через Т„тогда Т=Т,' (170.13) (170.!4) гда Л- Х й" !' — + )п, ).
'й '1~2 «,). Нам осталось, используя новое значение коэффициента прохождения Т, оценить интеграл, фигурирующий в формуле для плотности тока (169.6). Как и в предыдущея задаче, основной вклад в плотность тока холодной эмиссии дают электроны, для которых значения Е, лежат вблизи точки Е,=ь, по этой причине мы можем разложить величину Х в ряд в окрестности точки Е, Ь", т. е.
в окрестности точки в=О, и ограничиться в дальнейшем членом, линейно зависящим от в. Практически это означает, что мы полагаем (ф),, = „~',р, (170.15) а интегрирование выполняем так же, как и в задаче 169. В ре- " См. справочник: ./аЛдйе Е., Етде Р, 2 сб., 1933, р. 14о. (Имсетси пссвох: Янке Е., Эмбе Ф., Леш Ф., Специальные функции, иад-во „Наука", ., 1968, стр. 114, — Прим. дерев.) а затем разложить правую часть формулы (170.11) в быстро сходящийся ряд по степеням этого нового параметра. Мы имеем '! К (й) = А+ — (А — 1) йм +..., 77д Белий карлик !Зз зультате вместо выражения (169.11), которое мы обозначим через 1„ у иас получится выражение вида 1=!.е (170.16) где Х(~ 1. При более точном расчете в формуле (170.16) появился бы дополнительный множитель (! )+й ) Разумеется, основную роль в формуле (170.16) играет экспонента.
Наш анализ закончим разбором числового примера. Если, как и в предыдущей задаче, напряженность поля 8 измеряется в вольтах на сантиметр, а работа выхода )7, — ~ — в электрон- вольтах, то наряду с соотношениями (169.12) мы имеем теперь соотношение й"=3,58.10 ' ("о ь) Предположим, что работа выхода )7,— ь=3эВ, а напряженность поля й' 10' В/см, тогда гг = 54,5, йм = 0,0397, Х = 0,208, е з =-1860, )е=0,9 10 'А!см', ]=1,7 10 'А,'см'. Задача 171.
Белый карлик Предположим, что температура белого карлика достаточно высока и поэтому все атомы практически полностью ионизовапы. Кроме того, будем считать, что эта температура все еше настолько маля, что можно пренебречь давлением газа и давлением излучения по сравнению с давлением вырожденного электронного газа при абсолютном нуле температур (это второе предположение не является вполне удовлетворительным).
Считая, что давление, соответствуюшее абсолютному нулю температур, уравновешивается силами гравитационного притяжения, найти распределение плотности вещества по объему звезды. Масса звезды предполагается заданной. Решение. В сферически симметричной массе газа градиент давления в направлении радиуса должен равняться плотности гравитационных сил (барометрическая формула): ~1г (171.1) 134 !У. Д4нагоиасгличные задачи. Б. Очень босыаое число частиц Здесь С вЂ” гравитационная постоянная, М,— масса вещества, заключенная внутри сферы радиуса г, т. е.
г М, = 4п ~ г "р (г') Ь', е (171.2) и, наконец, р(г) — плотность вещества, т. е. масса всех ионов и всех свободных электронов, находящихся в 1 см' звездного вещества. При полной иоинзации в 1см' наряду с чйГ электронами содержится ЩЕ ионов (ядер), поэтому р= — т А, а!Г (171.3) почти не зависит от химического состава: величина сс меняется от 1,0 до 1,3 при переходе от легких элементов к тяжелым, и лишь водород, для которого се='/„представляет в этом отношении исключение. Таким образом, плотность вещества р = от„ФГ (17! .4) практически зависит лишь от плотности электронов.
Согласно результатам задачи 167, давление электронного газа при абсолютном нуле определяется формулой 2 $е Рс= б пà — (Зп* йГ)*~ . 2% (171.5) Что касается давления газа ионов, р,, то при абсолютном нуле оно (бУдУчи пРопоРциональным чК,нз/т;) значительно меньше давления Р;. — "=(' (у'"! ' — =г- г —. Даже в случае водорода (д=1, А=1) мы имеем р,)р,=1/1838; для других элементов отношение р;/р, еще меньше.
По этой причине мы пренебрежем величиной рг и отождествим давление электронного газа р„фигурирующее в формуле (171.5) с полным давлением р. Обойтись беэ рассмотренна температурных эффектов далеко не так просто. Гаэ можно считать сильно вырожденным только в том случае, когда ~)) ЛГ. где тнА — масса нейтрального атома.
Если вещество звезды содержит различные элементы, то фигурирующие здесь А и Я надо понимать как некие средние значения. В этой связи необходимо отметить, что отношение 135 171. Белий карлпа При этом условии давление газа практически не отличается от давления при абсолютном нуле. Для электронов энергия Ферми определяется формулой Вычисленные с помощью этой формулы значения ь надо сравнить со значениями тепловой энергии. Прн температуре 1О' К мы имеем йТ щ 1ОО эВ, и даже для плотности р = 1Оз обе величины оказываются одного порядка.
При этом газ ионов вообще будет невырожденным, а его вклад в полное давление будет сравним с вкладам электронного газа. Что же касается радиационного давления, то для него справедлива формула рр=2,52 1О-та Тл дин)смз. С другой стороны, согласно (!71.5) в (171.4), имеем р 3,16 1Отз ( — ) дин)см'. (,а) При Т= 10' К радиационное давление по порядку величины равно 1О'днн/смз, и для плотностей вещества, с которыми мы сталкиваемся в белых карликах, его действительно можно не учитывать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
