Fluegge-2 (1185101), страница 30
Текст из файла (страница 30)
емуьу'+ ~Ч" ему„у,. (192.7б) 4 ! А Из двух последних соотношений получаем $+$! ~з~е„улу . (192.8) Подставляя теперь выражение (192.8) в формулу (192.6), находим угру< $ (192.9) Последний результат позволяет записать „преобразованный оператор" Г', определенный равенством (192.5), в виде Г' Г + (Гз — $Г).
Теперь нетрудно применить это простое соотношение к выводу трансформационных свойств каждой из пяти групп величин (192.2). 1. Для Г= 1 из соотношения (192.10) сразу же получаем, что Г'=1, поэтому 6= И-6 =фф; 6 =6 (192.!1) и, следовательно, величина 6 в данном случае ведет себя как скаляр.
2. Для Г=у„соотношения (192.10) и (192.4б) дают Г' = у„+~ е„, у„ поэтому закон преобразования теперь имеет вид 6и=фуэф-"6э=6. +Хзич6, (!92. 12) и, следовательно, величины 6 преобразуются как компоненты вектора. !98 !//. Релнаьивисаьснае уравнение Дирана Первая часть последнего выражения сводится к дельта-функции Кронекера би„т. е. представляет собой скаляр (192.11), умноженный на единичныя тензор. Новые трансформационные свойства могут оказаться лишь у второй антисимметричной части, поэтому ниже мы ограничимся рассмотрением выражения ! ои»= 9 (7и7» 7»уи) (192.13) Согласно соотношению (192.4б), имеем 97и7» = (7из — Х е„,ур ~! 7, — 7, (7»9 — ~ е,рур ~! — ~ еиауа7» 4 а / ( а / а или 7и7.9 — 97.7.
= Х (а.иЬуи + з.и7.7.), и поэтому закон преобразования теперь гласит: би»=феи»ф- би»=би»+Х(е~цЛа»+е»аКа) (19214) и т. е. величины 6и, ведут себя при бесконечно малых вращениях как компоненты леензора второго ранга. 4. Произведения трех величин 7 можно записать в более удобном виде, если ввести клиффордово число 7„ определив его равенством (192.15) 72 71727374' Мы имеем 727374 = 7172 737471 = 7272 747172 = 7374 717273 = 7474. Так как величина 72 антикоммУтиРУет со всеми четыРьмЯ величинами 7„, уи73 + 727и = О (192.16) то она должна коммутировать с величиной $, поэтому, применяя соотношение (192.10) к выражению Г=уиу„получаем Г = 7и7ь+ (72749 97иуь) = !7и + (7ич 57и)! 7ь. Таким образом, мы вновь возвращаемся к случаю 2, так что 3.
При рассмотрении третьей группы величин удобно сначала разбить каждое произведение 7„7, на симметричную и анти- симметричную части: ! ! Ь7» = 9 (7и7» + 7»уи) + 9 (7и7» 7» Ь). 199 193. Лрсстранснменная инверсия и теперь величины 6„преобразуются как компоненты вектора: 6и = ~~уиуеер — 6и —— 6 и + х.е еин6н ° (192. 17) Точнее говоря, рассматриваемая величина представляет собой не вектор (полярный), а псевдовектор. Смотрите в этой связи следующую задачу. 5. В этом случае яз соотношений (192.15) и (192.16) следует 6=вру,ер 6'=6, (192.!8) и мы заключаем, что величина 6 преобразуется как скаляр.
В следующей задаче будет показано, что величину 6 точнее было бы назвать псевдоскаляром. Задача !93. Пространственная инверсия Выяснить, как ведут себя лоренц-ковариантные величины, рассмотренные в предыдущей задаче, при инверсии пространственных координат (преобразование четности).
Решение. Прежде всего выясним, как ведет себя при пространственной инверсии спннор ер. По определению при пространственной инверсии„ (193. 1) х,'=х„ уравнение Дирака Ху ье Ф+х$ =0 (193. 2) и переходит в уравнение ~~Р~ УиТ) 4>' + хф' = О. (193.2а) Операторы ди так же преобразуются по закону (193.1). Более подробный айализ требуется в случае, когда имеется электромагнитное поле. Компоненты напряженности электрического поля вт» связаны с компонентами 4-вектора потенциала Аи соотношениями 4 я —— — — А„— деФ = — 1(де Ая — д, А,). 1 с Так как напряженность электрического поля представляет собой полярный З-вектор, то она при рассматриваемом преобразовании координат хя меняет свой знак.
Отсюда следует Ая= — Ая, А;= А,. (193.3) Таким образом, величины Аи преобразуются так же, как операторы д . По этой причине по тому же самому закону преоб- у!. Релятивистское уравНение лирика разуются и операторы Р„. Следовательно, уравнение (193.2а) можно переписать в виде —,"ел7 Реей'+уеРф -(-ива = О. Если теперь положить Ф'=7вР (193.4) то легко видеть, что последнее уравнение переходит в уравнение (193.2), поэтому равенство (193.4) представляет собой искомый закон преобразования спинора яр при пространственной инверсии. Что касается любой из величин 6 = ярГер = яр~7,Гер, то их закон преобразования гласит; 6 - р 7,гр'= реГ7,р= ру,гу,р, и, следовательно, можно написать 6 = ~РГяР 6 = еРГ еР, Г = 74Г7л. (193.5) Г=1, Г'=1, 6' Г= ~„Г =7,7,7,= — 7, Обе рассматриваемые величины одинаковым образом ведут себя при пространственных вращениях, но при пространственной инверсии их поведение различно.
В этой связи величину 1 на- зывают скалярам, а величину 5 — псевдоскаляром. Далее мы имеем 2. 6и=еР7ияР, Г=7 Ге = 7в7еуе = — 7е, 6;= — 6,, Гл 7 6е +6 4 6и = еР7иувеР Г = 7иув 1 е = 7вув7в7л = + 7е7в~ 6» = +6ы (193.9) Г;-7,7, = — 7,7„6; = — 6,. Эти две величины также ведут себя при пространственных вращениях совершенно одинаково, но при пространственной инверсии их поведение различно, по этой причине величину 2 назы- Применим полученные результаты к каждой из пяти лоренцковариантных величин, введенных в предыдущей задаче. Мы имеем 1. 6=е(пр, 5. 6=яйу,яР, 201 !94. Зарядовое сопряжение вают (полярным) вектором, а величину 4 — аксиальным вектором, нли псевдовектвром, 1 3.
оие=фоиеЯР Г= 2 (7иуе 7 7и)~ Г', Го С',=С„ Гы = — Гы, бее = — бее Так как в рассматриваемой теории имеется всего один тензор, то необходимость в дальнейшей классификации отпадает. Задача 194. Зарядовое сопряжение Зная спинор яр, являющийся решением уравнения Дирака для частицы с зарядом е, построить зарядово сопряженный спинор вр„ описывающий поведение частицы с зарядом противоположного знака — е.
Решение. В этой задаче ради краткости мы будем пользоваться обозначением е пи —— — Аю йс где Аи — компоненты 4-потенциала электромагнитного поля. В этих обозначениях уравнение Дирака для частицы с зарядом е имеет вид ~ 7„(д„— ври) ф+ нф = О. (194.1) и Спинор ф„описывающий поведение частицы с зарядом противоположного знака, должен удовлетворять уравнению Хуп(да+ Ми) Фе+ кЯР.
=О. и Наша задача — установить связь между решением ф, уравнения (194.2) и решением яр уравнения (194.1). Прежде всего заметим, что оператор ди+(а„, фигурирующий в уравнении (194.2), появляется также и в уравнении ~ (да+ (аи) ф7„— нЯР = О, вР = ф" 7„(194.3) и которое представляет собой уравнение, сопряженное исходному уравнению (194.1). Производя в этом уравнении операцию транспонирования, находим ~ 7п (ди р (а„) пр — кяр = О, и у!. Реентиеиетекае ураенение дирака 202 где (194. 4) последнее уравнение на некоторое клиффордово Умножим число С: ~ Су„(да + 1аи) шеф' — хСуееР е = О.
и Полученное таким образом уравнение будет тождественно уравнению (194.2), если клиффордово число С одновременно удовлетворяет двум соотношениям — Суиуеф*=уаф„Суеф*=фе. (194.5) Чтобы найти величину С, исключим из этих соотношений спинор ф,: — Су, ул" = у,су.ф". у„с= — Су„; (194.6) из них и определяется величина С. Поскольку мы имеем дело с однородными уравнениями, то в спиноре ф, всегда содержится произвольный постоянный множитель. Разумно зафиксировать этот множитель, постулируя, что зарядовое сопряжение не приводит к изменению нормировки: $1Ф $ъф (ф~ф) (194.7) Теперь в силу соотношений (194.5) имеем ф,=фу,с Ф и, следовательно, ф1ф, = фу,'С'Суф* = И*)' (у,"С'Су,) (ф').
Последнее соотношение идентично соотношению (194.7), если у,С Су,=1 илн (посколькУ Те = У„У, =- У,') соотношению С~С = 1. (194.8) Таким образом, С вЂ” унитарный оператор. Так как далее спинор у,ф* следует считать произвольным, то должны выполняться соотно|пения Гэй. Состоянии со смешанной спирапзностью (194.9) поэтому из соотношений (194.6) следует, что С коммутирует с 7, и 7, и антнкоммутирует с 7, н 7,. Такими свойствами обладает клнффордово число С=узу„ (194. 10) которое и является единственным элементом из всех 16 базисных элементов клиффордовой алгебры, удовлетворяющим четырем соотношениям (194.6). Как следует из (194.10) С~= — С, С'= — 1, (194.11) поэтому, согласно (194.5), зарядово сопряженная волновая функция в стандартном представлении имеет вид зр.=М' (194.12) Задача 195.
Состояния со смешанной спиральностью Дана дираковская плоская волна, распространяющаяся вдоль оси г. Показать, что спинорную амплитуду невозможно выбрать таким образом, чтобы волновая функция зР была одновременно собственной функцией оператора о„. Решение а. Как следует из уравнения Дирака, в случае плоской волны ф = Сеызз- '>, 1195. 1) должно выполняться алгебраическое соотношение з)С =— (Иуз — — 7,+х) С =О, с (195.
2) где С вЂ” спинорная амплитуда. Оператор з1, определенный соотношением (195.2), не коммутнрует с оператором и„= — с7,7„ (195.3) так как о„зе =- йу, +1 — 7,7,7„— (нуз7„ по .ю !со„= — пуз + с — 7зуз74 — Риузуз. Заметим, что в стандартном 71 = 71з 7з = 7з~ представлении 7з = 7з 74 74 П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
