Fluegge-2 (1185101), страница 34
Текст из файла (страница 34)
13) Пользуясь далее общей формулой (.—.- ." г — + а ),Р, (а, с; г) = а,г, (а+ 1, с; г), д из соотношений (202.1!) получаем ео= — — '~,Р,(з+р+1, 2з+1; 2 — ). (202.!4) Подставляя зти выражения в формулы (202.8), находим функ- ции 6 и г", а затем с помощью формул (202.6) и радиальные функции д и !': д= — Сг'-'е-а' Р з-(-р, 2з-1- 1; 2 — ~— 1 ! г 2 а,) — — гРР,Р,(з+р+1, 2з+1; 2 — ) ~ „ в+4 о (202.15) 1 = — — '- Сг'- 'е-'т ~,Р, (з + р, 2з + 1; 2 — ') -1- -1- — +,Р, (з+р+ 1, 2з+ 1; 2 — )~. 224 у!.
Релятивистское уравнение дарана Обе фигурирующие здесь вырожденные гипергеометрическне функции асимптотически пропорциональны е'згга, н, следовательно, полученные решения будут ненормируемыми до тех пор, пока первые аргументы вырожденных гипергеометрических функций не равны нулю нлн же целому отрицательному числу: э+р= — п„п„=О, 1, 2, 3, .... (202.16) Когда з+ Р = О, первый аргумент второй вырожденной гипергеометрической функции а+р+1 равен +1, однако прн этой функции имеется множитель д+ р, так что в рассматриваемом частном случае асимптотическн расходящиеся члены из выражений (202.16) попросту выпадут.
Таким образом, искомые собственные значения полностью определяются условием (202.16). Подставляя в это условие вместо Р и р соответственно выражения (202.10) и (202.3), получаем для определения допустимых значений энергии Е уравнение Отсюда для уровней энергии водородоподобного атома находим формулу Е= (202.
17) у' ра +(и + в)з До сих пор мы еще пе рассматривали вторую систему уравнений (201.96) для определения радиальных волновых функций. Нетрудно убедиться, что в этом случае вместо системы (202.4) у нас получилась бы система уравнений, отличающаяся от (202.4) заменой )ь на — 1/)ь. В результате величины а и Р, фигурировавшие выше, заменились бы соответственно на — с) и — Р, а условие для определения собственных значений (202.16) приняло бы вид Все эти изменения, однако, ничего не меняют в формуле для энергетических уровней, поэтому каждый уровень оказывается двукратно вырожденным.
Если р ) ! (я > (37), то определенный соотношением (202.5) показатель и в случае основного состояния оказывается чисто мнимой величиной и наше решение перестает удовлетворять граничному условию при г =О. сцля очень больших значений 2 потенциальная яма становится настолько глубокой, что энергия основного состояния Е оказывается меньше — тсз. В силу соотношения (202.3) величина а прн этом становится чисто мнимой н функции у н ) [см. (202,6)! не будут больше экспоненциально убывать ка больших расстоя- 203. Тонкая структура энергетических уровнеа атома водорода 2эо пнях г, что физически обусловлено проникновением электронной волны в область отрицательных энергий (парадокс Клейна).
Более подробно мы обсудям это явление для случая потенциальной ступеньки в задаче 207 (случай в)гп Задача 203. Тонкая структура энергетических уровней атома водорода Для атома водорода фигурировавший в предыдущей задаче параметр () совпадает с зоммерфельдовской постоянной тонкой структуры е' 1 а= — = —. ас 137 11 а' я = (1+ — 71 — — + О (а'). 2 7' 2)+1 (203.1) Подставляя это разложение в формулу для энергетических уровней (202.17) и вводя главное квантовое число 1 П=пе+1+ —, (203.2) находим Е= тсз~1+ (аз((п=~) ~ ) илн Е тсз'(1 — —,~1+ з ( г 4 )] +0(а') ~. (203.3) Так как те' тсзаз =— лз ' то формула для уровней энергии водорода с учетом первой ре- лятивистской поправки приобретает вид (203.4) м Согласно квантовой электродннамике, при 2 > 137 точечный заряд спонтанно рождает позитроны.
Более подробно с этим кругом вопросов можно ознакомиться в обзорной статье: Зельдович Я. В., Попов В. С., УФН, 188, 404 (1971).— Прим. ред. 8 ж 11!я Этот параметр достаточно мал, и для анализа полученных выше результатов можно пользоваться степенными разложениями. С помощью указанных разложений подтвердить нерелятивистскую теорию и найти первые релятивистские поправки к ней. Решение. Раскладывая по степеням а показатель з, определяемый соотношением (202.5), получаем И, Релятивистское уравнение Дарана 226 Здесь первый член представляет собой энергию покоя, второй совпадает с нерелятивистской бальмеровской энергией (см.
задачу 57) и, наконец, последний член дает первую релятивистскую поправку, пропорциональную а' = 0,532х 1О ', т. е. состав- лающУю пРимеРно 'Г' о% энеРгии свЯзи. Так как эта попРавка зависит от обоих квантовых чисел л и /, то каждый нерелятивистский уровень энергии расщепляется на несколько близко расположенных подуровней, о совокупности которых говорят как о тонкой структуре уровней атома водорода. Рассмотрим теперь степенное разложение параметра а, который определяется соотношением (202.3) и имеет размерность длины. Это разложение записывается в виде е'п11 — 2 з( е — 1)1+0(х') (203.5) ле Г а'/ л Если в выражении, заключенном в квадратные скобки, пренебречь релятивистской поправкой, то в результате получится боровский радиус и-й электронной орбиты атома водорода.
Так как отношение 2г/а входит в качестве аргумента в вырожденные гипергеометрические функции и так как в выражения (202.15) для радиальных волновых функций входит множитель е-ао, то размеры атома водорода определяются величиной параметра а точно таким же образом, как и в нерелятивистской теории. Чтобы от релятивистских волновых функций (202.15) перейти к волновым функциям нерелятивистской теории Шредингера, необходимо рассмотреть степенные разложения параметров р и д, определенных соответственно соотношениями (202.3) и (202.10). Мы имеем (203.6) (203.7) В нерелятивистском приближении множитель, стоящий при второй гипергеометрической функции в формулах (202.15), принимает вид в+р ле ле 1.1 с/ +л ле+(2!+)) и, следовательно, по порядку величины равен единице (исключением является случай а, О, когда указанный множитель также равен нулю).
Так как параметр р в рассматриваемсии приближении в силу (203.5) по порядку величины равен а, то функция Г примерно в 100 раз больше функции д. Поэтому в нерелятивистском приближении радиальные волновые функции (нор- УОЗ. Тонкая структура энергетическая уровней атома водорода е27 мировка произвольная) определяются соотношениями д=о, ) = г!-М е-по ~,Р ( — п„21+ 2 2 — )— — + ',,Р, ( — и,+1, 2!+2; 2 — ')~. (203.9) Если теперь в выражении для функции 1 положить 1=!+ "/„ то оно действительно перейдет в выражение для шредингеровской волновой функции [см. соотношение (67.12)1 1,в=г'е-",Р,(!+1 — л, 21-1-2; 2уг), (203.9а) где 7=1!а.
В этом можно убедиться следующим образом. С учетом Равенства 1=!+'/е из опРеделеииЯ главного квантового числа (203.2) следует, что и = л,+1+ 1, поэтому л„=п — 1 — 1 и (=г'е-те~,Р,(!+1 — и, 2!+3; 2уг)— —,Р,(1+2 — и, 21+3; 2уг)~.
Воспользуемся теперь общей формулой а,Р„(а-к!, с+1; г) =(а — с),Р,(и, с+1; г)+с,Р,(а, с; г) и, учтя равенства а=!+1 — п, с=21+2, г 2уг, преобразуем с помощью этой формулы выражение, стоящее в фигурных скобках: ,Р,(а, с+1; г)+о —,Р,(а+1, с+1; г), к виду — аеРе(а„с; г) = ! ~ еР,(!+1 — п, 2!+2; 2уг) Так как в рассматриваемом случае 1=1 — '/„то теперь имеем у = г' 'е-т („Р ( — п, 21+ 1; 2уг) —,Р (1 — и, 21+ 1', 2уг)).
Таким образом, выражение (203,9) действительно переходит в выражение (203.9а). Чтобы получить нерелятивистское приближение для решений второго типа, требуется специальное рассмотрение. В результате замены величины р величиной — 1/р функция !становится малой, а функция д — большой, поэтому в нерелятивистском приближении (нормировка опять произвольная) мы должны положить у=ге-мее-т'(,Р, ( — п„2!+2; 2уг) —,Р, (1 — п„21+2; 2уг)).
й/. Ренятиаисинное уравнении Ди рани Чтобы убедиться, что последнее выражение совпадает с (203.9а), воспользуемся общими формулами а(,Р,(а+1, с — 1; г) —,Е,(а, с — 1; г)) =ги-.,/',(а, с — 1; г) (с — 1) — „,Р, (а, с — 1; г) =а,Р,(а+1, с; г). С их помощью нетрудно показать, что с точностью до постоянного множителя 2у/(21+1) для функции а получается выражение р= г'е-т',Е, (1 — и, 2/+2; 2уг). Так как, согласно (203.2), 1 — и„=/+'/,— и и, кроме того, 1 — 1 1/ то первый аргумент вырожденной гипергеометрической функции опять оказывается равным 1+1 — и и, следовательно, получен- ное выше выражение совпадает с (203.9а), До сих пор мы рассматривали величину 1 просто в качестве удобного параметра, не интересуясь его физическим смыслом. Чтобы восполнить этот пробел, вычислим для обоих типов ре- шений среднее значение оператора 1.'.
Пользуясь соотношением Е'У, „лр1 (1+ 1) 1', „, нетрудно показать, что в обоих случаях интересующее нас сред- нее значение описывается формулой Ю 1 1(1 ~/%1(!+1/и)Мэ+(1+1/а)(!+и/ЗЦа г1 Гзиг <Е'>=пи ' (203.11) Для решений первого типа функция )й !' в а ' раз меньше функции ~ ! ~' и ее можно не учитывать, следовательно, в этом случае <Е'> =(! — '/,) (!+'/,) Й' (203.12а) и мы имеем 1 — '/,— 1. Для решений второго типа можно пренебречь ~ !)* по сравнению с )д ~' и получить Ж> = (1+'/,) (1+'/,) Ь, (Я03.12б) и, следовательно, в этом случае ! + '/, = 1. Именно такими подстановками мы и пользовались в приведенных выше расчетах. 203.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
