Fluegge-2 (1185101), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Перейдем теперь к обсуждению поведения волновой функции в правой части потенциальной ступеньки, т. е. вблизи точки х=О, или, другими словами, при г- +аа. Из формул (207.12) и (207.15) непосредственно следует 2 — ав ~рв- хт=е где, согласно. соотношениям (207.10) и (207.13), м= — 1 — й' й" = ( '1 ( . (207.25) — с 2 (Ь,). Теперь мы должны по отдельности разобрать три случая„указанные в условии задачи.
Если Š— Ча >тса или У,— Е >тсв (случаи а и в), то величина й' положительная (й'в > 9) и, следовательно, величина й' действительная, Если же 1Š— У, ~ < тев (случай б), то величина й' чисто мнимая, а величина т действительная, В этом последнем случае при т > 0 вид выражения 202. Гладкан потенциальная спозпенька 245 (207.24) говорит о том, что мы имеем дело с полным отраже- нием падающей волны, так что коэффициент отражения (207. 26) должен равняться единице.
В этом нетрудно убедиться, взяв для амплитуд выражения (207.18а) и (207.18б) и воспользовавшись тождеством Г (г + ! ) = гГ (г) . Имеем В т+)о+ 4оо Г (т+)г гао) Г (т+)о+ то) Г ( — 2)ь) (207 27) А н — )ь+)о~ Г (т — )о+)о ) Г (о — )о — Ьо) Г (2)о) Так как величина )о всегда чисто мнимая, )о = — (о, то третий сомножитель в (207.27) не дает никакого вклада в абсолютную величину отношения ) В)А ~. Если величина т действительная (случай б), то второй сомножитель также является отношением двух комплексно сопряженных величин и, следовательно, не дает вклада в'абсолютную величину рассматриваемого отношения. Таким образом, имеем ! ~'-'.
"-. -- ° В (о ог+ (оо — а)о 2ао (о — а) Š— ср А ! но+(по+а)г 2а,(е+а) Е+ср' /ар ) ср' (Е' — ср') /ооя ! А ~г ср(Š— ср) (207.29) поэтому иа (207.26) действительно следует, что Я 1. В случаях а и в (т — мнимая величина) в области далеко справа существует бегущая волна, поскольку вм'г н, кроме того, согласно уравнению (207.6), а ~ х пня !,псо В этих выражениях р' =Ы вЂ” импульс прошедших частиц, а Е' = Š— ог,. Плотность электрического тока прошедших частиц в силу соотношения (207.20) имеет вид — — — (207.2о) Отсюда с учетом выражения (207.22) для коэффициента прохождения получаем формулу 246 У).
Релятивистское уравнение Дираки Чтобы теперь вычислить величину (А(з, мы, кроме тождества Г (г + 1) = гГ (г), воспользуемся общей формулой (Г(+4у))з = ' , у †действительн число. у зв лу ' Учитывая, что р,= — 1а, о= — (а', с помощью (207.18а) получаем +а ' зн2 Ь2ла', . О .30 ) А )' о' а+а'+ос зьл(о+а'+ос) зЬ ссре+о' — ое) ' При подстановке последнего выражения в формулу (207.29) в ней появляется множитель ср'(Е' — ср') а о+а' — о, (Е' — ср')(ср+ср' — У,) ср (Š— ср) а' о+а'+ ос (Š— ср) (ср+ ср'+ Не) который, как легко показать, равен единице. Действительно, заменяя здесь )е, на Š— Е' и учитывая, что Е" — (ср')з = Е' — (ср)з = (тсз)з, получаем (Е' — ср') (ср+ср' — У,) (Е' — ср') (Е'+ср') — (Е' — ср') (Š— ср) (Š— ср) (ср+ср'-)-У,) (Š— ср) (Е-(-ср) — (Š— ср) (Е' — ср') Таким образом, выражение для коэффициента прохождения принимает вид Т— зи 2ла зь 2ла' (207.
31) зь л(а+а'+о,) з)1 л(а+о' — о,) ' В знаменателе этого выражения удобно выделить характеристическую величину о„, пропорциональную произведению высоты ступеньки па ее ширину и не зависящую от энергии частицы: Т— зл2 ь2 ' . (207.32 звз л (а+о') сняло,— с(зз л (а+а') зн'лое ' В случае а мы имеем а+а' — и,> 0 или У,< с(р+р ). Этот случай можно назвать нормальным; он имеет место и в нерелятивистской теории. С другой стороны, о+а' — ов < 0 в случае в и, следовательно, Т ( О. Волна проникает в область отрицательных энергии (см.
фиг. 72), где положительному импульсу сопутствует отрицательный электрический ток. В пределе лов)~ ) пли 2лйс У )~— с 247 205. Наклонное падение плавкой волны выражение (207.32) упрощается и принимает вид ги1, Т = — 4зй — 5Ь вЂ” е и(р Ыр' )е й Ь Отсюда видно, что проницаемость потенциальной ступеньки при переходах от положительных энергий к отрицательным быстро падает по мере роста „эффективного размера" ступеньки 1',1. Так как )7, > тс' в случае в, то экспонента в выражении для коэффициента прохождения Т дает вклад, который заведомо меньше Е " = Е-ппх, где Х =- Ь(тпс — комптоновская длина волны. Литература К1ееп О., ха. Рвуа., 53, 157 (1929).
Баи!ег Р., Ев. Рпуа., 69, 742; 73, 547 (193!), (См. также Зоммерфельд А., Строение атома и спектры, т. 2, М., стр. 270 — 282. — Лрим, ред.) Задача 208. Наклонное падение плоской волны на прямоугольную потенциальную ступеньку Частица, описываемая дираковской плоской волной с произвольной поляризацией, наклонно падает на потенциальную ступеньку, высота которой меньше кинетической энергии частицы. Получить законы отражения и преломления, а также вычислить поляризацию прошедшей волны. Решение. Обозначим посредством ф, ф' и тРг соответственно падающую, отраженную и прошедшую волны.
Пусть далее 7к, й' и й" — волновые векторы этих волн, направления которых характеризуются (а Р соответственно сферическими углами О, р, 0', гр' и 0", гр". Мы будем считать, что преломляющая плоскость совпадает с плоскостью 3=0 и что волны ф и тр' распространяются в области г < О, а волна трв в области г > 0 и (см. фиг. 73). В плоскости г = 0 для всех зна- чений х и у должно выполняться со- Фиг 73 Наклонное паде- отношение ние плоской волны на по- тенциальную ступеньку.
Ф+Ф'=Ф', (208.1) П. Релятивистское уравнение Дирака А сов — + В ь)и— 6 . Гт 2 2 Ф Ь А в(и — — В савв 2 2 гт . 6 "1 т) (А сов — — В в)и — ) 2 т) (А ь(п — + В сов — ) ох 2 2,) Сяп — +Всовт) !) 2 2 б . о Ссов — — Вв)и— 2 2 () т) '( С яп — — О сов — ! 2 2/ о, д~ т! (С сов — + Е) яи — ) 2 2 ) е' . 6" Е соь — + Р в)и— 2 2 д" дл Еяп — — Рсов— 2 2 о" . е" ~ т! (Е сов — Р я'и — ) 2 2) АЯ. е Ур ()+ч') сея' е е Ур ()+ч') (208.5) р" (Е яп — +Рсоа — ) 2 2/ в силу которого все три волновых вектора )г имеют равные проекции на оси х и у: Йв!пдсовф=йв)пб'совф'=й в)пд" совф"„ йв)п Ояпф= йыпре'в)пф'=й" яп д" ь!пф".
ййы сможем удовлетворить этим соотношениям, положив ф=ф =ф (208.2) 6' = и — О, (208.3) й в)и 6 = й" ып 6". (208.4) Равенство (208.2) показывает, что все три волновых вектора )г лежат в одной меридиональной плоскости, которую мы можем выбрать в качестве плоскости хг. При таком выборе у-компоненты волновых векторов обращаются в нуль (ф = О, ф' = О, ф" = 0), Равенство (208.3) в этом случае выражает закон. отражения, а равенство (208.4) — закон преломления, причем показатель преломления, очевидно, определяется соотношением п=й"/й, Оба закона совпадают с соответствующими законами дли нерелятивистских шредингеровских волн (см.
задачу 45). Дополнительные эффекты в релятивистской теории связаны с поляризацией волн. Полагая ф=О и д'=и — О, запишем три рассматриваемые волновые функции в стандартном представлении: 20В. Наклонное падение плоеной волны 249 А+ РВ+ РС+ 0 = г (Е+ РР), РА — В+С вЂ” р0 = г (е(Š— Р), А — РВ+ РС вЂ” 0 = гЛ (Š— г(Р), РА+В+С+р0 гЛ(г)Е гР), (208.6) где (208.7) о' — еов— / 1-(-Чв сов Т Комбинируя равенства (208.6), получаем А + РС = — г [(1+ Л) Е+ (1 — Л) дГ~, 1 РА+С= 2 г[(1+Л)ЧЕ (! — Л)Р! (208.8а) В+ р0 =- — г [ — (1 — Л) цЕ+(1+Л) Р) (208.
86) РВ-,-0 — — г [(1 — Л) Е+(1+Л) дР). Из первой пары уравнений исключим амплитуду С, а из второй пары — амплитуду 0. В результате у нас получатся соотношения, связывающие амплитуды прошедшей волны Е и Р с амплитудами падающей волны А и В: (1 — Р ) А = 2 г [(1+ Л) (1 — р у) Е+ (1 — Л) (р + д) Р), 1 (208.9) (! — р') В =-и-г [ — (1 — Л) (р+д) Е+(1+Л) (1 — рг!) Р), Среднее значение спиральности (или, иначе, продольная поляри- зация) падающей волны определяется выражением А' — Ве 1 — (В/А)в (208.10) Ав+Вв 1+(В!А)е Выше первые части спиноров, пропорциональные постоянным А, С и Е, характеризуют состояния с положительной спиральностью +1, а вторые части, пропорциональные постоянным В, 0 и Р,— состояния с отрицательной спиральностью — 1.
Граничное условие (208.1) применительно к амплитудам дает П. Релвтивистское уравнение Дирана Аналогичным выражением определяется и продольная поляризация прошедшей волны: Ее — Г' 1 — (Р)Е)е Ее+ Ре 1-1- (Р)Е)' (208.11) Из соотношений (208.9) находим  — (1 — Л> (р+ д>+Н+ Л> 0 — рд> (Р)Е> А (1+Л) (1 — рд)+(1 — Л) (р+д) (Р)Е) (208.!2) Последнее выражение можно значительно упростить, введя параметр и: Л р+д Ч Ч 1"+1> и= — = — „1п 1+Л 1 — рд Ч+Ч" 2 (208.13) С учетом (208.13) выражение (208.12) принимает вид В (Р!Е) — и А 1+и (Р/Е) ' (208.14) Когда падающая волна полностью продольно поляризована (й=~ 1), имеем 1 — и" й"= ~— 1+ив ' т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
