Fluegge-2 (1185101), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Если длина волны излучаемого атомом света велика по сравнению с его размерами, то эффектами запаздывания можно пренебречь, так как в этом случае множитель е-'»' в подынтегральном выражении с хорошей степенью точности можно заменить единицей. Интегрируя далее второй член по частям, получаем /= 2 ~ и„уи„л(ьх. / е состоянии и/. В то же самое время происходит рождение фотона в состоянии (й, Х). Указанный процесс описывается тем членом в энергии взаимодействия, который содержит произведение опе- раторов 'е'//. Теория и»яр»ения С помощью уравнений Шредингера для функций и„, и и'„не/ трудно вывести тождество (см. задачу 187) 7=-~-(Е/ — Е/) ~и„гия,е(»х. Если теперь еще учесть закон сохранения энергии Е; — Е/ —— йео, то матричный элемент (213.6б) можно записать в виде </ ( Н' ) (> = — ', ( — "', ео <7' ( (а»' г) ) ~>, (213.9) где <) !(а»а ' г) ! 1> = ) и„ (а»~'.
г) и.,е(»х. (213. 10) После подстановки выражений (213.8) и (213.9) в формулу (213.7) окончательно получаем Р»,х- а — — !</!(а»' г))1>)». яп дс с' Последнее выражение можно представить в более привычной форме, введя вместо ео частоту ч ео(2п Р»,х= —, сИ»'!</'!(а»а' г)11>!». (213.11б) Фигурирующий здесь матричный элемент удобно записать в виде произведения </ ! (а» ' г) !1> (а» ' ге/), (2 13.12) в котором первый сомножитель зависит только от направления вылета н поляризации излучаемого фотона, а второй полностью определяется внутренними параметрами излучающего атома.
Задача 214. Угловое распределение излучения Пользуясь формулами предыдущей задачи, проанализировать угловое распределение фотонов, испускаемых при переходе электрона из Р-состояния в 5-состояние. Рещение. Обозначим через то и Ф сферические углы вектора й. Определим далее два состояния поляризации, в(»брав вектор а~»" в меридиональной плоскости, а вектор а»~" — перпендикулярно к ней. Эти единичные векторы имеют следующие 214. Углаеае раенределение иэлеленил 265 компоненты: ио' =сов асов Ф, и'„" =соз9 яп Ф, ио' = — яп6 (214.1а) и„'"= — яп Ф, и„"'=сов Ф, и'," =О.
(2!4.!б) Чтобы получить компоненты вектора г,г, мы прежде всего выразим компоненты радиус-вектора г через сферические гармоники: !г — ()'ь, + )',,), -/2я / 2И у юг ()г !' ), / 4л г=г )/ — !' У з (214.2) Замечая далее, что )',, = (4п)-'и есть попросту постоянная, получаем = — Д(б., + б„,), !' 6 ! р„= — — )( (б„,, — б„,,). е 1 гг — — =ЯЬ г — и,е (214.4) где через Я обозначен радиальный интеграл: Ю )~ = ~ рл (г) о (г) г'г(г = )/ 3 ~ гы!.
о (214. 5) Согласно формуле (213.11а), вероятность излучения фотона с поляризацией Х в телесный угол е((е» имеет вид е'еее и11е ~., Рю = — — ~ (мл ' гег) Р. аел 2н С учетом выражений (214.!а) и (214.!6) для векторов «,',м и выражения (214.4) для вектора го скалярное произведение (пл г,т) (м Запишем теперь матричные элементы этих компонент для перехода между двумя электронными состояниями 1!>е в(г)У'ь (д, ф) и (~>=и(г))', е(6, ф). (2!4.3) 'г7!. Теории излучения в случае 1 = 1 записывается в виде — соз бе-еи', й 1' 6 — = 5!П'сг г — соз Ое'ч'.
й ~е при т=+1: (214.7) при еп=О: при т — 1: Если же 1=2, то мы имеем е-еФ )е 6 О, 1 ! ееФ й )г 6 при т=+1: (214.8) !п=О: т= — 1 при при и, следовательно, еаага Ра х= — — еааИл0лх(6, Ф). Ьсл 6и (214.9) Значения, диаграммы направленности" Р,л приводятся в таблице. днаграмма яанрааланнасгн Р аля '!а еоа' ая нша 0 '/, соа'6 а!а о 1! +1 о — ! В случае Х = 2 излучение фотона в любом направлении равновероятно, но из начального состояния с т = 0 фотоны такой поляризации не излучаются вообще.
Таким образом, распад Р-состояния с т = О происходит только путем излучения фотона с поляризацией Х= 1, причем угловое распределение фотонов характеризуется в этом случае множителем з!па 9, и, следовательно, для и = 0 они в основном испускаются в экваториальной плоскости (9 = 90'). Если же Х= 1 и еп = ~1, то угловое распределение характеризуется множителем созе() и фотоны в основном испускаются в направлениях 0=-0' и О = 180'.
в1о. Полная вероятность нереяода 2бт Задача 215. Полная вероятность перехода Электрон переходит с верхнего р-уровня на нижний з-уровень, испуская при этом один фотон. Выяснить, какова вероятность указанного перехода безотносительно к направлению испускания фотона и его поляризации, В качестве примера рассчитать среднее время жизни атома водорода в возбужденном 2р-состоянии. Решение. В предыдущей задаче была рассчитана дифференциальная вероятность излучения фотона в элемент телесного угла с(ься в направлении О, Ф для случаев пс=+1, О, — 1 и обоих состояний поляризации. С помощью этих формул после суммирования по состояниям поляризации получаем еввоз рв Рвь= ~-,; — с1ьвь з1пв во для т = О, (215.1а) Х4,- бл весов всв 1 Рях = — — сйь — (1+ сов' ()) для сп = ~-1.
(215.15) весов йв бл 44евсов Р = — — — = — Яв. йсв бл 3 9$св (215.2) Выражение для радиального интеграла )с было определено в предыдущей задаче, поэтому теперь можно приступить непосредственно к рассмотрению примера. Атом водорода, находящийся в возбужденном 2р-состоянии, может перейти лишь в основное !з-состояние. В атомных единицах (Ь/тев является единицей длины) волновые функции этих двух состояний запи. сываются в виде 1с> = — 'г' 6 ы-'т)',, (215.3а) и 11> = 2е-'У„,, (215.
Зб) Таким образом, с учетом выражения (214.5) получаем К вЂ” — — 2 ~ се-и' е егвс(г= — — ) 24; все= —,, о После интегрирования по направлениям вылета фотонов для вероятности перехода из р-состояния в з-состояиие независимо от значений квантового числа сл получается одно и то же выражение: 'е'е д Теория яелаченил или, если вернуться к обычным единицам, 2ге Ь Яе— 3' и'ел ' (2! 5.4) Частоту излучаемого света еэ можно определить из формулы энергетических уровней атома водорода: 3 елее "=в Ь (215.5) '=л)'(От (215.6) Величина, обратная этой вероятности перехода, имеет смысл среднего времени жизни т возбужденного 2р-состояния атома водорода. Имеем =(И'~Ф)'=": (215.7) Множитель — =2,4187 к!0 "с эе те' (215.8) можно рассматривать в качестве удобной единицы времени, коль скоро дело касается времен жизни возбужденных состояний атома.
Множитель -г- 137,0373 й ее представляет собой величину, обратную постоянной тонкой структуры. Таким образом, числовое значение среднего времени жизни 2р-состояния атома водорода оказывается равным т=!,5953х!0 'с. Задача 216. Правила отбора для дипольного излучения Если длина волны излучаемого света велика по сравнению с размерами атома, то вероятность перехода между двумя однозлектронными состояниями, как было показано в задаче 213, зависит от матричного элемента электрического дипольного момента.
Получить отсюда правила отбора для дипольного' излучения и рассмотреть вытекающие из этих правил следствия в случае нормального эффекта Зеемана. Подставляя теперь выражения (215.4) и (215.5) для )се и е» в формулу (215.2), после некоторой перегруппировки множителей находим 2)б. Правила отбора длл диаолоиого иолучеиил 2ва и и„'" = — з1п Ф, и'„а = соз Ф, и!и = О.
(216.2б) Состояния атома описываются волновыми функциями ~ !> = т! (г) Уц (б, т), <Й = !рг(г) У!и ° (б, М, так что для матричного элемента радиус-вектора г можно написать <) ~ х ~ !у ~ (> = ~ Ь г~р!!ргф У!", тУ, „з1п бе~ !МЯ, о <) ~ г ~ !> = 1 !( '4~р!!ргф У!и,У, „сов б!((). о (216.3) Интегралы по угловым переменным легко вычисляются, если принять во внимание соотношения з(п бе*'оУ~ = ~А!„, .„„У... ~А! т У.
(216. 4) созбУ,.=В„„аУ„, .+В, .У..., где А =' (+ )(+т У (2)+!)(2! — !) В э/ ()+т)(! — ) ' "' У (2! + Ц (2! — !) . (216.5) В результате имеем <" ~х~!у~!>=И!г( ~А! ц+ +~ба,!+!б .т*!~ ~А! т б...б, а,), (216.6а) <) ! г ) !> = )<,! (В,~, „бг „ , + В, „би , ,) б„, „, (216,6б) где через Л!г обозначен радиальный интеграл О Й!! -— — ~ гоар! (г) <рг(г) г(г. о (216.
7) Решение. Согласно (213.11б), в дипольном приближении вероятность излучения фотона с поляризацией ) в элемент телесного угла !(Ы» в направлении вектора й имеет вид Р, = — „' — "' о(а (<й(пЬи' «)(!>~'. (216.1) Здесь ии — единичный вектор, характеризуюший поляризацию.
бд Если обозначить сферические углы вектора й через 6 и Ф, то в соответствии с формулами (214.1а) и (214.!б) и„"> = сов 6) соз Ф, и„'" = сов В з1п Ф, иа' = — зйп !З (216.2а) П1. Теория изяаееиия 2то р=е+1 г ю-~ — '/е сае 8е иэиетАе - иь /ве Я;ТАЬ,„ — ь!и ий;ТВе 1 -иэ !е сае Ое й;ТАе„,,„+, — бее иайетА+, — е~п Ой;тне+, — е1е сае сее~~гсетА, +, — !ее Д'еТАе+ь -и~-~ еф с~с сае 8е ЙууАе ~1,е~~ИеТАе„.
Если излучающий атом не имеет определенной ориентации в пространстве, то на опыте мы наблюдаем излучение, усредненное по начальной ориентации атома. Если же атом ориентирован вполне определенным образом, как прн эффекте Зеемана, то можно получить более детальную информацию. В этом случае направление полярной оси сферической системы координат (6 = 0) совпадает с направлением магнитного поля. Если мы наблюдаем непускание света в направлении поля, то матричные элементы для перехода еп' =т равны нулю и наблюдаются лишь спектральные линии, соответствующие переходам, для которых т' = я+1 и т'=т — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
