Fluegge-2 (1185101), страница 43
Текст из файла (страница 43)
21) (и„'м г)') — (и7' ьт) = д' з!и б' з! и ф'. Чтобы произвести суммирование по )ь, необходимо возвести эти выражения в квадрат и сложить. Наконец, резерфордовский знаменатель в формуле (219.19) в том же приближении можно записать в виде (е) — еу' — й)' ж (е) — е)')е = (уе+ е)" — 2е)9' соз д')е. (219.22) Собирая рассмотренные множители вместе, легко заметить, что углы б и ф' фигурируют только в сумме, содержащей квадраты выражений (2!9.21). Интеграл по указанным угловым переменным вычисляется элементарно, и мы находим ео фА)„~ е(ф' "ь ~1(и)м ц) — (и~м д)!' = — (ь)о+ ь)" — 2е)9' сов 9').
о х (219.23) УХ!. Теория излучения 284 Согласно (219.22), точно такое же выражение, но только возведенное в квадрат, имеется у нас н в знаменателе, поэтому е! /ее'хе 16 д' дд 1' 0(сов о') ) Ес! 3 д д „1 д*+д' — 2дд'созе' ' -! где через г(о (й) обозначено сечение тормозного излучения фотонов с энергиями в интервале с(й безотносительно к направлению их вылета и поляризации н безотносительно к направлению вылета электронов. Последний интеграл вычисляется элементарно, е! 0х ! д+д' = — !п —,„ о'+д' — 2дд'х д д д д так что окончательно имеем г(о(Й) — Ла ( — „с) ( —,1п ) -хт) у.
(219.24) Из этой формулы с помощью соотношения (219.14) можно исключить импульсы, выразив величину г)' через энергию Е падающего электрона и энергию Ед =Ы тормозного фотона: д+д 1 (д+д')' 1 ) (~ Е+ )у Š— Ел~а ~ 1п ° и, . и„ Ед Описываемый полученной формулой энергетический спектр тормозных фотонов показан на фнг. 78. Мы видим, что в области очень 42 04 00 02 50 Едггк Ф и г. 78. Распределение интенсивности тормозного излучения. учет акраннроакн кулонааского поля устраняет логернемнческую расходнмасть прн ад=в малых энергий фотона имеется сннгулярность, которую обычно называют инфракрасной расходимостью.
Замечание. Последовательное релятивистское решение задачи, а Танисе вопросы, связанные с зкраннровкой, см. в книге Гайглера: НМ11ег )Р.,ГЕоап1пш Тйеогу о1 ))ай!а1)оп, Згй ед., Ох!оси, 1954, рр. 242 †2. (Имеется перевод; Гайльгер В., Квантовая теория излучения, ИЛ, !956, стр. 275 †296.— Прим. иерее.) Математическое приложение Криволинейные координаты 1!иже приводятся формулы, связывающие прямоугольные декартовы координаты х, у, г с наиболее часто встречающимися криволинейными координатами, а также выражения для расстояния между точкой и началом координат « =)«х'+у'+ г' и для оператора Лапласа д' д' д' у= †.+ †+ †. д' дд' дг'' а.
Сферические координаты. Если полярная ось сферической системы координат совпадает с осью г, и угол между радиус- вектором «и этой осью обозначен через О, а азимутальный угол — через <р. то (см. фиг. ЗЗ стр. 154, том 1) х = «з!п б соз ~р, у =- «з!и б з!п !р, г =- «соз б, д'и 2 ди ! ! ! д « . ди '! ! д'и ! Ри= —.+ — — + —.1 —.— ! з(пб — )+ —, д~~ г д~ ~' 1з!и ддд (, дд,) з!«и д дт'~ ' б. Цилиндрические координаты. Пусть ось г является общей осью коаксиальных цилиндрических поверхностен о=сапа!, а ~р — снова азимутальный угол, и пусть координаты точки характеризуются тройкой чисел р, !р, г, тогда х = р соз !р, у = р з!и !р, г =- г, « = 1~ р'+ г', д'и ! ди ! д'-'и д'-и 7'и- — — — + — — + — —.,+ —. др' р др р'йр'-* дг' ' в.
Параболические координаты. Пусть ось г является общей осью двух систем параболоидов вращения с =сонэ! и п==сопз1, фокусы которых расположены в начале координат (г=О), а раструбы направлены соответственно в положительную и отрицательную стороны оси г. Азимутальный угол радиус-вектора г снова обозначим через !р. Чаше всего используются две следующие системы координат $, !1, ~р. Математитеское приложевие Первая система х = г' ст) соз ф, у = р' ст) з)п ф, г = — (ь — т!); ! г= — (С+т!), 5=с+а, т!т г — г, р=г $т); Вторая система г (Ст т) )1 1 2 х=-$т~созф, у=ст)з!пф, с =- — (Ст+т)т), $т = с-)-г, 1 т)' = г — г, р = $т); Область изменения переменных: 1<~< оо, — 1<т) +1, О~ф<2п. !д т ди д т да $т — Чт д'и'! сто' — чт) (дс (~ ) дть+дч( т) ) дч+(1 чт) Ят 1) дфт) Г-функция Г-функция представляет собой обобщение функции п1 = 1 2 3 ...
а. (1) Эта функция определена лишь для целых положительных чисел и удовлетворяет равенству (и + 1) 1 = (и + 1) л! (2) г. Эллипсоидальные координаты. Две точки, лежащие на оси г!г=~с), выбираются в качестве общих фокусов Вытянутых элли псоидов вращения, которые описываются уравнением с =- сопз1. Пусть далее уравнение т) =сонэ! описывает систему двуполостных гиперболоидов вращения, фокусы которых расположены в тех же точках. Как известно, эти две системы поверхностей ортогональиы между собой. Обозначим через ф азимутальный угол радиус- вектора г, а через г, и с, †расстоян от точки соответственно до фокусов г= — с и г=+с, тогда к=с1/(ст — 1)(1 — Ч')созф, у=сРс(ст — 1)(1 — т!')з!пф, г=-ссЧ, с,=с(ч+т)), г,=с($ — т)), Ь= ("т+Е~) т)=2 (Гт Гт) 1 1 с =- с ~/ ст + т)т — 1, р = с г'(ст — 1) (1 — Ч').
Математическое арилоасекие 288 где С= ~е '1п — й1= 0,577215 ..., о (11г) — так называемая постоянная Эйлера. В частном случае, когда к= 1, имеем 5*=)Г(!+!у) ~ =,— „""„. (12) Асимпп!отическое поведение. При (г!)) 1 и )агяг( ч и (тем самым исключаются точки г, лежащие на действительной отрицательной полуоси, где расположены полюсы Г-функции) можно воспользоваться формулой Сп!ирлинги! ! т 1пГ(г)=(г — ) 1пг — г+-е.!п2п — , '0( — ), 2) ~ ) (13) или Г(г) 1г — ' ееппе-е! г г Для точных вычислений часто используется формула г! !. (г+ !! г!'(г) ~/~~~венке-ч! (1+ ! + ) (!5) Фигурирующий здесь ряд является асимптотическим.' О точности агой формулы позволяет судить приводимая ниже таблица (при расчетах ряд в скобках был заменен 1). — кок п-П ! папе Функции Бесселя Решение дифференциального уравнения 1, г и" + — и'+ (! — 1-) и = 0 е ~ г ) 1 1 2 6 2ч 120 О, 0,925 1,920 5,836 23,506 118,01 Функции Бесселя 289 можно записать либо в виде и = А/, (г) + В)Ч я (г), и= С,Н'," (г)+С,Н!, !(г).
(2) либо в виде (3) Функция /, называется функцией Бесселя, а функция М,— функцией Неймана. Если т не является целым числом, то можно пользоваться определением Л',(г)=- „. (созпИ,(г) — р я(г)) . ! (4) В противном случае (т. е, при т=-п, где а=О, ~1, 3-2, ...) функции /„и о' „не являются линейно независимыми и связаны соотношением l „ (г) = ( — 1)" ./„ (г). (5) Функцию й!„(г) можно определить и в зтом случае, исходя из ее асимптотнческого поведения (см.
ниже). Функцию Бесселя l, можно также определить посредством ряда (6) Н!,'!(г) = /, (г) + !У, (г), Н'," (г) = о', (г) — !Ж, (г). (7) Функции, образующие фундаментальную систему решений (2), принимают действительные значения при действительных значениях г, а их вронскиан равен 2/(пг). Вронскиан фундаментальной системы решений (3) равен — 4!У(лг). Если т не есть целое число, то функции У, и о', образуют третью фундаментальную систему решений с вронскианом, равным — 2з)ппч/(лг). Рекуррентные соотношения. Для каждого из четырех типов функций, определенных равенствами (2) и (3), имеют место рекуррентные соотношения: 2.я и,, -)-и„„,= — и,, и,,— и,я,=2и„ г (йа) !О н !!72 который сходится на всей комплексной плоскости г с разрезом вдоль действительной отрицательной полуоси (точка г =-О является в общем случае точкой ветвления).
Функции Н!," и Н!'! называются функциями Ханкеля соответственно первого и второго рода. Эти функции определяются соотношениями Математическое приложение 290 или ч 2ч (гче! „, ич ичч ичч-т е ич ич-т' (8б) Асилептотическре поведение. Для дальнейшего удобно ввести обозначение (9а) Если 1г~)) 1+(ч! и (агдг( < и (т. е. для больших значений ~г) в комплексной плоскости г с разрезом вдоль действительной отрицательной полуоси), то можно пользоваться асимптотическими формулами Г 2 l, (г) — зу — соз ц, Г 2 )ч', (г) "зл — з)п г.; (9б) Н 7 (г) 1~ — е -лс 1 пг Г (х) =(-ч.У (гх) (10) Кч (х) 2 1 Нч ((х) (11а) или (если т не равно целому числу) К, (х) — . (е', (х) — ), (х)] (11б) принимают действительные значения, когда х действительная и положительная величина.
Функция К, представляет особый ин- терес благодаря ее асимптотическому поведению при больших значениях х: К,(.)- 1à — ".—.. г 2х (!2) Большое число формул для функция Ке и К, имеется в задаче 195. В задаче 99 было показано, что решением днфференцйального уравнения и" — гех — "и = О (1За) является функция и= $'хК, (гдх "), зь (1Зб) Функции вида г-"* Н" ,"(г) при действительных положительных г описывают соответственно расходящиеся и сходящиеся волны.
Модифицированные фрикции Бесселя, Функции Функции Бесселя где Л=— л — 2 2 В некоторых дифракционных задачах оптики большую роль играет функция Эйри А((Х)= — 1г — К., ( — хн ). ° У з ° (,з (14а) Аналиуическое продолжение в область отрицательных значений х приводит к соотношению ( х) з Р х ~l'т'(з хч )+У и( — хч )1.
(14б) В втой книге функция Эйри использовалась в задаче 40, там же на фиг. 28 приведен ее график. Функцию Эйри можно было бы использовать и а задаче 117, по мы предпоч.чн вернуться непосредственно к функциям Бесселя е и ! с т= штка. (16) (17) Эти функции являются решениями дифференциального уравнения и" + 1 —, и=О (18) " В литературе наши функции й и т.
д. часто обозначают через )с и т. д. и, кроме того, вводят функции ! -. гс = — й. Прйимущество такой системы обозначений состоит в том, что теперь функции Й1~ы з1(г)=-Ц'з1 (г) г имеют смысл расходящихся и сходящихся сферических волн. 10* Сферические функции Бесселя. функция Бесселя с индексом т=1+т)„где 1=-0, 1, 2, ..., играют в физике большую роль, так как они появляются при решении волнового уравнения методом разделения переменных в сферических координатах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
