Fluegge-2 (1185101), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(28б) Ниже приводятся примеры часто встречающихся разложений. 1. Разложения для полиножа Лежандра Р, (сову), где у — угол между векторами, концы которых лежат на единичной сфере в точках с координатами О, ~р и 0', ер': зоз Мопимоглмчеееое ориложенме лишь полиномы Лежандра: еео' =е"'"'о= — ж )гг4п(21+1)(е!,(Ь))', е(д). ег л ю=о (25) Доказательство этой формулы было дано в процессе решения задачи 81. Обращая формулу (25), получаем полезное интеграль- ное представление сферических функций Бесселя: (26) (27) 3. Сфери еская волна, используемая в качестве фднкиии Грина волнового уравнения. Пусть г и г' †д радиус-вектора, направления которых характеризуются соответственно сферическими углами д, ер и ()', ~р' и пусть у †уг между ними, тогда не~ге~ ~ -~ /2!+! Г,(,, г') у, „(сову), (28а) е=о где Г е(г, г)= ~ оо ' ) (йг) й)о ()гг') при г < г, (286) )е(йг')ф'(яг) при г) г ° В предельном случае )е О отсюда получается хорошо известная формула 6 — ~ —,) Р, (сову) ~=о — ~~',( — ) Р, (сову) ~=о при г(г', (29) при г ) г'.
Если плоская волна распространяется в направлении, ректора й со сферическими углами 6 и Ф, то имеет место разложение общего вида 302 Математическое приложение Если с= — и, то гипергеометрический ряд не существует. В этом случае решение уравнения (3) можно получить с помо!цью предельного перехода ,Р,(а, Ь, с; е) Г(а+а+!)Г(Ь+а+!)г"+' ~(.) гййг(ь)(.+В! х,Р,(а+и+1, Ь+и+1, и+2; г). (5) Если ни один из параметров а, Ь, с не является целым отрицательным числом или нулем, то ряд (4б) сходится абсолютно и равномерно при !г) (1.
Гипергеометрический ряд можно однозначно продолжить во внешность единичной окружности )г ! ) 1 с разрезом по лучу (1, оа1. Для аналитического продолжения можно воспользоваться формулами + Г(с)Г(а+Ь вЂ” с) с-а-е Г (а) Г (Ь) (1 — г)' ' ',Р, (с — а, с — Ь, с — а — Ь+1; Т вЂ” г) (6) и Г(с)Г(Ь вЂ” а) (',, ! ! Р (а, Ь, с; г) = ( — г) ' Р, (, а, а — с+1, а — 6+1; — + -1- (') ( — )( — г)-"еР,(6, Ь вЂ” с+1, Ь вЂ” а+1; — ). (7) Г (а) Г (с в Ь! е / Применяя последнюю формулу, можно записать асимптотику функции,Р, «ри г оо. Г (с) Г (Ь вЂ” а) е Г (с) Г (а — Ь) Г(Ь)!'(с — а)( г) +Г(а)Г(с — Ь)( г) ' ( ) Общее решение гипергеометрического дифференциального уравнения при !г~ ( 1 можно представить в виде и= С,еР, (а, 6, с; г)+С,г' ',Р, (а+1 — с, 6+1 — с, 2 — с; г).
(9) Исключение составляет случай с=О, ~1, ~2... так как при этом оба частных решения, как непосредственно видно нз соотношения (5), совпадают. Второе линейно независимое решение в этом случае имеет логарифмическую особенность в точке г= О. Ниже приводится сводка формул, наиболее важных с точки зрения практических приложений гипергеометрической функции ,Р, (а, Ь, с; г) = —,),Р, (а+ 1, Ь, с+ 1; г) -)- + ',Р, (а, Ь+ 1, с+ 1; г) =:,Р, (а, Ь, с+ 1; г) + + —,Р, (а + 1, Ь, с+ 1; г) „ зоз Вироиедеииие еииерееимемриееекая функции г, Р, (а, Ь, с; г) = — (,Р, (а — 1, Ь, с — 1; г)— —,Р,(а, Ь вЂ” 1, с — 1; г))= — '(еР,(а — 1, Ь,с — 1; г)— —,Р, (а — 1, Ь вЂ” 1,с — 1; г)) = — ',Р,(а — 1, Ь, с; г)+ + е,Р, (а, Ь вЂ” 1, с; г)+,Р, (а, Ь, с; г), (1 — г),Р, (а, Ь, с; г) = †, ,Р, (а в 1, Ь вЂ” 1, с — 1; г) + + —,,Р,(а — 1, Ь, с; г).
Формулы для производных: —,Р, (а, Ь, с; г)= —,Р, (а+1, Ь+1, с+1; г), иь г(1 — г) — „,Р,(а,Ь,с; г)= 1 „),Р,(а — 1, Ь, с; г)+ Вырожденная гнпергеометрическая функция Если в гипергеометрическом дифференциальном уравнении Гаусса сделать предельный переход Ь вЂ” оо, г=х1Ь, то в результате получится дифференциальное уравнение Куммера: деи ди х — + (с — х) — — аи = О.
дхе дх где так называемый вырожденный гипергеометрический ряд ,Р, по определению равен и е, а(а+1) е' а(а+1)(и+2)ее 'Р'(а' с' г) 1+ 11+с(с+О г1+е(с+1)(е+г) З1+ (За) или ° е Г (е) ~'~ Г (и+и) ее Г (а) с.е Г (е-1- и) и1 е 0 (Зб) При атом особая точка г=1, имевшаяся в исходном уравнении, сместится теперь в точку х=ос. Таким образом, на комплексной плоскости х рассматриваемое уравнение имеет правильную особую точку х=О и существенно особую точку х=со, появившуюся в результате слияния особых точек г=1 и г=оо.
Общее решение уравнения (1) можно записать в виде и = С,,Р, (а, с; х) + С,х' ',Р, (а — с + 1, 2 — с; х), (2) 304 Л1 атеиста ~есиое лрииомелие Этот ряд абсолютно сходится во всей комплексной плоскости г. Определяемую вырожденным гипергеометрическим рядом функцию можно сделать однозначной, проведя разрез между точками г =- 0 и г=-сю. В нашей книге в качестве линии разреза выбрана мнимая положительная полуось.
Если с=- — и, где и =О, 1, 2, ..., то ряд (Зб) не существует. В этом случае решение уравнения (1) можно получить с помощью предельного перехода ~Р~(а, с; г) Г(а-1-л+!) е»+' Р ( -~-и-+1 и-)-2' г) (4) Г (с) Г (а) (л+ !)! ' (Выше переменная х обозначена через г.) Асимптотическое поведение вырожденной гипергеометрической функции при !г( ао описывается формулой ,Р, (а, с; г) е-' ' Г (с) Г (с) г-о+ сего-е (5) Г (с в а) Г (а) Эта формула не относится к случаю а= — и, где и =О, 1, 2, ..., так как, согласно (3), вырожденный гипергеометрический ряд в указанном случае превращается в полинам степени и. Среди таких полиномов наибольший интерес представляют полиномы Лягерра (б) и полиномы Эрмита (см. задачу 30) Н,„(г) — ( — 1) —,Р, — и, — ге) (сл)! l ! Н,„, (г) = ( — 1)" 2г,Р, ( — и, —; г* и (2л+ !)! / 3 В заключение приведем сводку наиболее важных в практическом отношении формул для вырожденной гипергеометрической функции и ее производной: ,Р, (а, с; г)= —,Р,(а+1, с+1; г)+с,Р,(а, с+1; г)= =е',Р, (с — а, с; — г), г —,,Р, (а, с; г) = а [, Р, (а + 1, с; г) —,Р, (а, с; г) ~, —,Р, (а, с; г) = —,,Р, (а 4- 1, с+ 1; г).
Некоторые функции, определяемые интегралами 305 Некоторые функции, определяемые интегралами Интеграл ошибок и связанные с ним функции. Интеграл ошибок определяют равенством ег1с 3 = ~ е " е(!. Часто используется несколько иное определение: Г' е I! 3 ЕГ1 3 = д! Е ' Е(! = З,гт, ( —, —; — Зе ) '(,2' 2 о Указанные интегралы связаны соотношением ге ! ег1сг+ег1г= (, е ' е(! = — )г ее. 2 о Функцию ег1г можно записать в виде ряда ее ее ег1з=з — + —— 1!3 215 Прн больших действительных и положительных значениях имеет место асимптотическое представление Ф е-'е ч ° „(2п)! „е-" / 1 3 ег1сг — ~ ( — 1)" — '3 '" = — (1 — — + — ).
ве л и 2епп! 2е ( 2Р 4~Р' ' ' л=о Дифференцируя тождество го(г, !1) = ~ е Зиг((= р — оз ег1с()г рз), е нетрудно показать, что — = — ( Ре-зн е(! = — — !1-"е ег1сф' рг) — — е-Р". 21! е Полагая здесь !1=1, получаем !ее ' Ж= — ег1с 3+ — е '. 2 2 Л1атемитииееное приложение Аналогичным образом путем повторного дифференцирования все интегралы вида б ~ 12пе ! е(1 г можно свести к функции ошибок. В частности, при г=О получается формула (е.
-!',(Г р „(2"-1)1 2'п (и — 1)1 ' С помощью замены переменной (е=х ее можно записать через интеграл Эйлера: 1'пЕ ' Ж = 2 ' Х'-Ч ° Е "!(Х = — Г ( П + 2 ) . -- -- —.) 2 о Интегральная показательная функция. Эту функцию определяют равенством е г е! Е1г= ~ — иг.
Ф Особый интерес представляет случай г = — х, где х — действительное положительное число. В этом случае полагают !' е-' Е, (х) = — Е)( — х) = ~ — е(1. х Функцию Е, можно записать в виде ряда 1 хе хе Ел (х) = — С+ 1п — + х — 2!2 + 3!3 где О С = ~ е ' 1п — е(( = 0,577 215... 1 1 о — так называемая постоянная Эйлера. При х>) 1 имеет место асимптотическое представление е-* I !! 2! Е (х) = — ~1 — — + —,— и ~ х хе Некоторые Функции, оиреоелаемые интегралами 307 обобщенную интегральную показательную Можно ввести функцию: ое-' Е„(х) = ) — „Ж.
Фигурирующий здесь интеграл можно свести к функции Е,(х), если принять во внимание соотношение Е„(х)= — (хк 'е "— Е„, (х)), ! получающееся интегрированием по частям. Предметный указатель к 1-му и 2-му томам Цифры указывают номера задач, а не страниц. Задачи 1 — 128 составляют содержание 1.го тома, задачи 129 — 2!9 — 2-го точа, Буква П относится к ма. тематическому приложению, помещенному в конце 2.го точа. Борновскнй интеграл, расходимость 105, 108 Брейта — Вигиера форч1ла 1!4 Бриллюэна зоны 29 Барьер потенциальный 19, 21 — 23 Бегущая волна !6 Белый карлик 171 Бесконечно малые вращения 47 Бесселя фуннции, основные формуды П Бете — Пайерлса формула 90 Блоха теорема 28 Бозе статистика 210, 213 Бора магнезии 127 Бориа †Оппенгейме приближение 44, 161, 163 Бориа приближение 94, 96-98, 102, !05 — 107, 183, 184, 2! 1 Аксиальный вектор, см.
Псевдовектор Аиальди поправка к модели атома томаса — ферми 173 Амплитуда волновой функции, ее изменение 26, 27 — рассеяния вперед 21, 22,см, также Рассеяние — — назад 21, 22 Ангарчонический осциллятор 35, 69, 70 Аномальное рассеяние 85, 112 — — протонов на протонах 165 Антикоммутационные свойства лгатриц Лирака !89 — — — Паули 131 Антисимметризованное произведение 152 Атома радиус 1?3 Атомы щелочных метал.чов, рассеяние иеупругое на иих 166 — — — электрическая воспрвимчи. вость 159 Ван.дер-Ваальса силы 161 Вариационный принцип Швингсра 95 — — Шредингера 2 Вектор в теории Лирака 192 Векторная частица 52 Векторный потенциал 125 — — разложение его по плоским волнам 212 Вентцеля — Крамерса — Бриллюзна метод, см.
Метод ВКБ Вершина 219 Вигнера — Эккарта теорема 133 Вириала теорема в случае кулоновских сил 151, 175 — — для возбужденных состояний гелия 155 Виртуальный уровень 26, 27 Вместимость потенциальной ямы 25, 63, 68, 106 Водорода атом 67 — — время жизни возбужденных состояний 215 — — интенсивность спектральных линий 217 — — как задача двух тел 150 — — релятивистская теория 202, 203 — — собственные функции в импульс.
ном представлении 78 — — таблица собственных.йункций 67 молекула, ион 44 309 Прадлепнып указатель Водорода молекула нейтральная, основное состояние 163 — — рассеяние медленных нейтронов на ней 147 Водородная звезда 171 Возмущение, см. Периодическое возмущение — световой волной 186 Волновой пакет 17 Восприимчивость диамагнитная и парамагнитная 128, 160, 168 — электрическая 159 Вращательные уровни дну хатомной молекулы 69 — 71 Вращений группа 46, 52 Времени обращение !6 Время жизни возбужденных состояний 2!5 Вроискиан 24, 28, П Вуда †Саксо потенциал 64 Вырождение газа электронов 167 — при наличии возбуждения 162 — собственных значений 42, 46 Вырождекная гипергеометрическая функция ЗО, 42, 65~ 70, 110, 1 П, 202 †2 — — — формулы П Газ атомных электронов, см.
Модель атома Томаса — Ферми — электронов в белом карлике !71 — — проводимости в металле 167, 168 Гайтлера †Лондо приближение 163 Гамильтониан, зависящий от времени 11 — при наличии спин-орбитального взаимодействия 136 Гармонические колебания линейной молекулы 149 Гармонический осциллятор в абстрактном гильбертовом пространстве 31, 33 — — — представлении импульсном 34 — — — — координатном ЗΠ— — — приближении ВКБ 1Г8 — — таблица собственных функций 30 Геизенберга картина 1Π— соотношение неопределенности 17, 40 Гелий, возбужденные состояния 155, 15о — основное состояние 154 Генераторы группы вращений 52 Гильбертово пространство для гармо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
