Fluegge-2 (1185101), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Обычно вводят функции четырех стандартных типов "': й (г) = )/ 2 А + о (г), (15) / тг „., /пг рс 2 д1'+ч'(г) ( 1) у' 2 е "(1+мы(г)' гг'," (г) =1,(г)+сне(г), й)м (г) =1,(г) — т,(г). 292 Математическое лриложеиие н обладают очень простым асимптотическим поведением: 1и '( / 1лт 1',(г) — 3!п(г — — ) п,(г) — соз(!г — — ), 2 2 й(((,1-(1+((Е(ч /!(М (г) 11+'Е 1* (19) Для справок приведем значения наиболее часто встречающихся вронскианов: 1',и,'— п 11 = 1, ((1("111(г' — й(("Ц" = — 21'. (20) При ~г(((1+1/, имеют место приближенные формулы 21 П,+, (21) ! 11 (г) г "1 (г) (21+ !) 1 211 ( (21) Рекуррентные сооп(ношения. Для каждого из четырех типов функций, определенных равенствами (15) — (17), справедливы соотношения 21+! 1+! п(+1 ', и( — 111-1 и,+! —, и, — и,'.
(22) Первое из указанных соотношений можно также использовать для определения сферических функций Бесселя при отрицательных значениях 1. Сферические функции Бесселя являются элементарными функциями. Несколько первых функций приводятся ниже: и,= — созг, сог г п = — — 3!пг, 13 ! 3 п,= — (! —.— 1) соя г — — 3!пг '!г' ) г /3 ! . 3 1 =( — — 1 (51пг — сояг, г Я(п =(е 1*, Яп) (е(г Функции Лежандра Дифференциальное уравнение (1 — г') и" — 2ги'+ и(т+!) и = О принадлежит к уравнениям гипергеометрического типа с тремя особыми точками: г=~) и г=оо. Общее решение уравнения 1, =3!пг, Миг 1 = — — созг, г й'," = ( — — — 1) е", (.(1( 31 3 Ь =(! — — — — +1) е 1( гг г й(т ( ' 1) е-1( й =! — — — — 1)е- 13( 3 =(гг г ) Функции Лежандра 293 (1) можно записать в виде и„=А,Р,( — т, т+1, 1; )+ 2 1 3 11 +Вг "-' Р ( — +1, — + — ч+ —, 1(,2т 2 2' 2' гг)' (2) имеют простой геометрический смысл.
Свойства е1плиномов Лежандра. Эти полиномы образуют ортогональную систему; 41 Р,(х) Ре (х) йх= —,би . ! 1+— -1 2 Первые пять полиномов имеют вид Р„(х) = 1, Р, (х) =х, Р,(х) = — х' — —, 3 2 2 ' 5 3 35 15 г 3 Р (х) = — х' — х, Р (х) = — х' — — х'+ —. г =2 2 ' ' а 4 8' Все они либо четные, либо нечетные функции переменной х. Четность полиномов Лежандра определяется четностью индекса 1: Р, ( — х) = ( — 1)' Р, (х) . (б) Полииомы с 1: 2 можно получить с помощью рекуррентного соотношения (1+ 1) Р, 4, (х) + 1Р,, (х) = (21 + 1) хР, (х).
(7) Полиномы Лежандра и их производные связаны простым соотношением к ) ' е =1(Ре-1 хРе) =(1+ 1) (хР,— Ре+г), (8а) из которого, в частности, следует (21 + 1) Р, = Р~„— Р;,. (8б) где первое и второе слагаемые представляют со"ой, если отвлечься от нормировочных множителей, так называемыефункции Лежандра первого и второго родов, которые обычно обозначают соответственно через Р,(г) и (1,(г). Если ч — целое число (ч=1; 1=0, 1, 2, ...), то функция Лежандра первого рода вырождается в полинам. Когда г=х, где х — действительное число и ~х(! или х=.соз О, полиномы Лежандра, будучи связаны со сферическими гармониками У, соотношением Математическое ирилохсение 2я4 При х= ~-1 имеем (9а) Р, (~1) =( — 1)' йн Р, (м 1) ч+ „(1+ и) ! ахо ' ) 2"а! (1 — а) ! (9б) Если ввести новую переменную х=сояд, то определение (2) полиномов Лежандра можно представить в иной форме: Р, (соя д) =,Р, ~ 1+ 1, — 1, 1; я1п ' — ) = от 2,) =~,( — 1)" (1+а) ! .
„Ь я1иеи (и!)' (1 — )! о=0 =1 —:я)п' — -1- ' я)п' —... (10) 1(1+1) . д (1 — 1)81+1)(1+2) ., б 110е 2 12!)' 2 Когда 1>) 1, а модуль ~ я(п 612~ по порядку величины равен !)1, последний ряд упрощается и мы получаем Р! (соз д) ж Уе((21+ 1) Я!и — ), (!!) е!п пч,ен ( — !)" (2и+1) , х = „~~ „„„(х).
о=о Ряд (12) †частн случай разложения функции 1(х) = ~'(2п+ 1) )„Р„(х) (12) (1За) и=а с коэффициентами (13б) причем ошибка этого приближения имеет порядок 1/(е. Что же касается корней полиномов Р„то и при ббльших значениях угла д они довольно хорошо описываются приближенной формулой (11).
Для случая 1=!О полинам Лежандра и соответствующая ему аппроксимирующая функция Бесселя показаны на фиг. 55 (том 1, стр. 284). О соотношениях, связанных с геометрической интерпретацией, см. раздел, посвященный сферическим гармоникам. Функции Лежандра первого рода. Когда т не является целым числом, ряд (10) уже не обрывается на конечном члене, и Р,(х) становится трансцендентной функцией с особенностями в точках х= ~1.
Эту функцию можно разложить в ряд по полиномам Лежандра: Функции Лежандра 295 Так как полиномы Лежандра образуют полную ортогональную систему, то такое разложение возможно для широкого класса функций. Приведем примеры часто используемых разложений: е"е= — ~~у' (21+1) Р/,(у) Р,(х) для (х~ < 1, ех ь«о = ~,(21+ 1)!) (у) Ре(х). (16) В физических приложениях обычно у=йг и х=соз6, так что у ~ 2 (1 — х) = 2йг з(п 2 . о Ряды (14) и (16) сходятся прн всех действительных значениях переменной у, Другой важный пример: = ~~' у" Р„(х) при (у ( < 1. 2ху+ уе (16) — = ~~',(2п+!) 1~„(г) Р„(х), «=о (1ба) где г — произвольное комплексное число, не принадлежащее отрезку действительной оси 1+1, — 1).
Функция Я„(г), определенная соотношением ! (' Р„(х) дх 2,) х — х -1 (166) называется функцией Лежандра второго рода. В силу симметрии разложения (16а) по отношению к переменным г и х зти функции должны удовлетворять тому же самому дифференциальному уравнению (1), которому удовлетворяют полиномы Лежандра Р„(х). Функции Лежандра второго рода имеют при г= ~1 логарифмические точки ветвления. Приведем явные выражения для трех Последнее разложение можно также использовать в качестве определения поли помов Лежандра.
Функции Лежандра второго рода. Рассмотрим разложение Математическое приложение первых функций Лежандра второго рода: ('„1, (г) = Р, (г) Я е (г) — 1, 9, (~) = Р, (~) Я, (~) — — ~. (17) где К„,— полипом (и — 1)-й степени. Этот полипом является четным, если четен индекс п, и нечетным в противном случае. Сферические гармоники Если при разделении переменных в волновом уравнении используются сферические координаты Х=Г51пбсо51р, Д=Г51П051П1р, з=гсозб (!) (ось г выбрана в качестве полярной оси), то угловая часть решения должна удовлетворять дифференциальному уравнению ! дГ. дит 1 ди — — 1хз(п Π— ~+ —. —, +1(1+ 1) и = О, Мп 6 дв ~ дйУ 51пебд~Ге (2) где 1=-О, 1, 2, .... Производя дальнейшее разделение перемен- ных и=6(0) осто, (За) где т = О, .+1, ~2, ..., получаем — — ~51пб — )+ ~1(1+ 1) — ., 16 — -О.
(Зб) 1 д иге те Последнее уравнение с помощью замены переменной 1= — =соей г Г приводится к виду ден дО Г те (1 — !') — „,— 2! — „+ ~1(1+1) — —...1Е=О, (Зв) Уравнение (Зв) является обобщением уравнения для полиномов Лежандра Р, (!) и переходит в него прн и! = О. Однако прн т ~ 0 Выражения для функций более высокого порядка можно получить с помощью рекуррентного соотношения (7), которое справедливо для функций Я„(г), так же как и для полииомов Р„(г). В общем случае функция Я„(г) имеет вид ()п (г) = Рн (.) Ое (.) — ~ и с (з), (18) 297 Сферические гармоники где т) О.
Как оказывается, функции 6, не являются новыми функциями и их можно выразить через функции О, . Так как полипом Р, имеет отличные от нуля производные лишь в том случае, если их порядок не превышает 1, то при данном значении 1 существует всего 21+1 регулярных решений, для которых !гп)(1 (напомним, что здесь гп — целое число). Перейдем теперь к вопросу о нормировке. Мы будем придерживаться наиболее употребительного соглашения, которое лучше всего отражает геометрический смысл этих решений, всюду регулярных на поверхности единичной сферы: У, (О, гр) = --,У)" (б) е' 'г (4) (5) илн ~ ~ ~," (д) ~' зш д гЮ = !. о (6) Таким образом, для нормированных функций (Зг) имеем (7) Чтобы включить отрицательные значения т, по определению положим ,Ур" (б) = ( — !)" Л" (О). (8) Явнь:е выражения для сферических гармоник с 1=0, ), 2, 3 приведены в томе ! на стр.
!83,)84. При ос=О имеют место по- лезные соотношения )= У1+-,Р, ° Уь.= 17' + Р, (О) Рекуррентные соотношения. Существует целый ряд важных соотношений, связывающих сферические гармоники с соседними это уравнение принадлежит к общим уравнениям гипергеометрического типа. Его единственное произвольно нормированное регулярное решение можно представить в форме (! 1,) ы о"рг(~) им= шш Матеитиичеекое ариложение значениями индексов ! и т: Яшде!тУ, =а, „У,э, т+,— а,, „,)т,, „+„(1Оа) я)п де-гчУ, = — а У +,, + а...У,, м (10б) соя д~ ь т = дь т) ~+и и+о!-т т) !-и т (11) где (!+т+1) (!+т+2) ок (2! В (2! з) (12) (! + т+ 1) (1 — т+ 1) (2!+1) (2!+3) Ь, =1»» Повторное применение соотношений (10) и (1!) позволяет преобразовывать выражения, содержащие произведения более высоких степеней я!пд и сояд и функции У,; разумеется, при этом появляются сферические гармоники с индексами, отличающимися более чем на ~! от индексов ! и и.
Производные. Действуя на сферическую гармонику операторами д ! д 1 г ( — ~-1 — ) = еь !ч ! я!пд» вЂ” + соя д — ~ (,дх ду,) ! дг дд а!пд де) д д . д г — =соядг — — я!пд— дх дг дд ' (13) гюлуч аем /д .ду г (д — ~1д — ) Уст= г !рс етУгтьт+г =г- (!+ 1) аю, тт, У! (,дх ду) г,— ',У, „= — Ь, „У„, „+(!+ 1)д,, „У.. т, (14) . д !. = — ! —. е Действуя на сферическую гармонику, операторы Е+ и 7 соответственно повышают и понижают индекс и на 1: е +Унт ) 1(!+ 1) !и (!и+ 1) Уо +г Ь У, „= — 'у»! (! + 1) — ш (!и — 1) У, (17а) (17б) где а, и Ь, „определяются выражениями (12).
В теории момента количества движения большую роль играют эрмитовы операторы Ех, 1.„, Ет где й =- — !(х — — у — ) и т.д. д д~ 1 ду дх,) (15) В сферических координатах имеем Е„= 7.х ~ !Ео — — !е+'т (~ 1 — + с!ад — »1 (16а) д д Х Сферические гармоники 299 Что же касается оператора Л„то для него У, „является собственной функцией, причем ЕмУи = тУи „. (18) Сферические гармоники, кроме того, являются собственными функциями оператора "+ "+ г 2( + + +)+ (19) и удовлетворяют уравнению Ь'Уи = 1(1+ 1) Уи „. Отметим также полезные соотношения 1 й, У, = (1(1+ 1) — т (т+!)~ У, Е,.Е У, =11(1+1) — т(т — 1)] У, „. (20) (21а) (21б) Введенные здесь операторы Сс отличаются от операторов проекций момента количества движения, использованных в этой книге, множителем й. Ортогональность и часто встречающиеся разложения.
Для сферических гармоник выполняются условия ортонормированности фУ~* У~ „да=ба 6 „.. (22) Так как, далее, сферические гармоники образуют полную систему, то любую регулярную на единичной сфере функцию ) (О, ~р) можно представить в виде Ф т! 1(д, т)=Д Х,1г, Уо (0 й') (23а) 4п Р,(сову)= — ~ч' У~*,„(б', ~р') У, (б, ~р). (24) м=-г Эта формула известна как теорема сложения. 2. Разложение плоской волны. Если плоская волна распространяется вдоль полярной оси, то в разложении участвуют где коэффициенты разложения )', определяются формулой ),.=фУ;,„(й, р))(б, р)йа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
