Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Введем еще упрощающее предположение. Пренебрегая инерцией частицы, т. е. отбрасывая в уравненын Ланжевена льу, запишем уравнение (73.8) в виде (73.10) где К = -д()/дд. (73.11) + СО ди )) à — — (-1С) ехр (Сдб~бС ~ [Я[9(Х')) — (Щх д( у 2л Ф ~тп р и(хо) х 5[9 9(Хо)] ДХОТИЂ И'о (Фо) +Ю 1д1 Г ак Г ! = — — — )( е 64 ~ Я'[у(Х))х у до 2л — СО /т~! ч-и(х') х , (Хо)) бХо+ Хо (чо) 262 Фызнческы зто упрощеыые означает, что мы не рассматриваем процессы, протекающие за очень короткие промежутки времени, когда силы инерции играют решающую роль, ы огранычываемся рассмотреныем лишь вероятностей перехода за промежутки времеыы, большые по сравнению с временем релаксации системы.
Соотношенне (73.10) означает, что в подынтегральном выраженыы уравнеыня (73.3) д (Х) можно заменить на (Я'-а)/у, т. е. на [ Я [д (Х )) -гслз)/у, так как [см. (73.4)) интеграл по Хо в уравнении (73.3) пропорцнонален д': Гч — н(хс) +а ехр[ !4у (Х у[ + — —,— ~ е б~~ Е д* 1 Г Ео Г ~ Е с [ча — ч (Х )1 сХ ° о о адг2. ~ "'о (оо) (73.12) Ж вЂ” Н(Х ) Г[7(Х')) Ь[й-й(Х*)) ' Ь[й,-й(Хо)) бХ'= иойо) (к') =,т (й) )Р'й, у( йо, (о). (73.13) Следовательно, уравнение (73.12) прибретает вид ди' 1д Е дои/ — = — — — (К и')+ — —,. д( уды у до' (73.14) Полученное уравнение называется одномерным уравнением Эйнолтейла — Фоккера — Планка.
Оно играет важную роль в теории броуновского движения и применяется к самым разнообразным случайным процессам для вычисления плотности вероятности перехода, поскольку предположения о безынерционности процесса и о пропорциональности силы трения скорости, сделанные при выводе этого уравнения, справедливы для очень широкого круга физических процессов. Уравнение Эйнштейна — Фоккера — Планка легко обобщается на случай нескольких обобщенных координат. Так, например„если тремя координатамн со сь д, являются координаты центра тяжести частицы х, у, х (радиус-вектор г), то уравнение Эйнштейна— Фоккера — Планка — = у — 1г"+- '(У)Р', (73.15) поскольку [см.
(73.11)] Р= -Ч((. (73.16) 263 Во втором члене правой части под знаком второй производной по д стоит В' [см. (73.2)). В первом члене дифференцируемый по д интеграл, согласно (73.2) и (71.э), можно записать как В соответствии с выводом фуыкцыы $Г, входящая в (73.15), является плотностью вероятности перехода: д~(гв уу гв уо).
(73.17) Однако вследствие линейности уравнеыыя (73.15) любая плотность вероятности 1г'(г, г), образуемая нз (73.17), согласно (71.7), как 1Г(г, г)= ~ И~(г, ю; го!е) др(го) йо (73.18) еи' также является решением уравнеыия Эйнштейна — Фоккера— Планка. Оно имеет смысл уравнения непрерывности для плотности вероятности уг'(г, г), так как эквивалентно уравнению дн' — +б(у8=0, дг (73.19) где В= — ~РГ И+ЕРдГ у (73.20) поскольку у = блиц в соответствии с решением Стокса задачи о дви- жении шарика в вязкой жндкости. — лестность нотока вероятности.
Если вместо одной имеется К совершенно одинаковых невзаымодействующнх частиц, то нх средняя концентрация пропорциональна плотности вероятносты одной частице находиться в заданыой точке (см. Э 56) н поэтому уравнение диффузии для плотности р числа частиц не отлычается от уравнения Эйнштейна— Фоккера — Планка. Таким образом, уравнение диффузии ые взаимодействующих друг с другом частиц — =Р1( — р+-Рр .
др Ьи Е (73.21) дг (у у Входящая в это уравнение величина ~!7=)3 (73.22) называется коэффициентом диффузии. Для броуновскых частил, которые можно рассматривать как шарики радиуса а, взвешенные в жидкости вязкости ц, коэффициент диффузии зу= —, (73.23) дтищ В простейшем случае отсутствия внешних сил ч У=О это уравнение приобретает вид — =.ор р. ар до (73.24) )Г(йч, г 4ао го)= ~ др(й~. г,71. г~) И'(41 гб Ч'о го) Ййч.
(7325) й~! Если рассматриваемый случайный процесс удовлетворяет предельным соотношениям Ач,о=)жч -ото, оо(о.о=)~!ы -о/1 ((га (О 'о' ~~1ъ)(т) О (73.2б) то, как показал А. Н. Колмогоров, плотность вероятности перехода оГ(д, г; ао, го) удовлетворяет следующему дифференциальному ура- внению: дн' д а* — + — (А И') - —, (В ге') = О. до дв дв' Чтобы убедиться в этом, рассмотрим среднее значение некоторой функции ср (а'), образующейся в нуль вместе со своей производной при оо ~ со. Согласно (73.25), ср= )" ср(а) Иг(д, г+т; у„го) ба= ) ) оз(а) И'(4, г+т; а'г) х ~О ф х И (й', О д„го) а )ад'.
(73.28) Разложим оо (а) в ряд по степеням д — а', тогда 265 Такой же вид имеет в этом случае и уравнение Эйнштейна — Фоккера — Планка для плотности вероятности одной частицы. В заключение заметим, что обычно уравнение Эйнштейна— Фоккера — Планка трактуется как частный случай более общего уравнения Колмогорова, выведенного для определенного вида марковских процессов. Если система с течением времени нроходит через носледовательность состояний, образующих вень Маркова (каждое последующее состояние полностью определяется каким-либо одним предыдущим и не зависит от предшествующей истории), то нлотность вероят-' ности перехода длл такого марковского случайного нроиесса удовлетворяет уравнению Смолуховского: Ю (О ср (с<1 ОР(<7, <+О< с)ь <О) бо= | %Г(с), <+т; с)', <) х — ~Π— \О де (д-~()1 с<ззс х 1Г(9'.
«91,<О) срЮ+Й-9') — + — + дО' 2< дс<сз + — + -. бчб9'=) В'(<(, «91,<О)+ ~) 1,<з, З< Об< 1 С+1 + ср(д')+(9 -о) — + — +... бд'. с+1 с ООс (О О) с< Ос ббс 2. ос(1 Деля правую и левую части полученного соотношения на г, полагая т-зО, принимая условие (73.26) и учитывая, что Бш нс(О, с+1< ОО, сз) — н'(О сс Оь <О) дн'(О с' Оь <О! 1 О 1 дс получаем р(9) ' ' ' ба= Вгй. «Ь <) (73.30) где — Ж'*-Ф (4'-ч'1 АО=)пп — '', 2В<1=1йп 1 О 1 О 1 (73.31) Уравнение (73.30) наэывается уравнением Колмогорова. Уравнение 2бб — Ю вЂ” Ф х А (Ч, <) — +В(я, <) 3 <1<< бд дзо1 р~ Интегрируя правую часть (73.29) по частям, учитывая вышеого- воренные свойства функции ср (<7), получаем +а | 1дв' д дз ср(<1) ~ — + — (АВг) - —, (В<д') <1<<=0, ~дс дч доз ф откуда следует (73.27) вследствие проиэвольности функции ср (<7).
В случае нескольких переменных у„..., д„, определяющих состояние, это уравнение легко обобщается и принимает вид ди' Л 1 д1 — + Х вЂ” (А~дд") — Х Е вЂ” (В Щ=О дс „, дои , до<доз 1ди Е А»= -- —. В»= — йа. уд (73.32) Следует, однако, заметить, что последний вывод уравнений Эйнштейна — Фоккера — Планка опирается на гипотезы марковости процесса движения броуновской частицы, априори не очевидное допущение, хотя и весьма наглядное. Проведенный в этом параграфе вывод, использующий гиббсонские представления, вообще не нуждается в априорном допущении марковости процесса. В этом выводе требуется постулировать лишь уравнение Ланжевена (73.10).
Марковость же процесса оказывается следствием этого постулата и общих законов статистической механики. 73.1. Вывести уравнение Эйнштейна — Фоккера — Плавка, предстаелак броуновскве частвцы кек идеальный газ, подчиняющийся уравнениям гидродивамики идеальной изотермической иидкости, который двииетск сквозь веподмпквую среду. Возввкающак при двииевви сила трения пропорцвональна скорости. Жидкость находится под действием сил © внешнего силового поля У 1г). Селами внерцви пренебречь.
В вандой точке плотность силы трения и внешней силы долина ураевоеешиватьск гралиеатом давлевна: р( — ут — 910 чр. Возьмем дааергевцию от обеих частей уравнения, учитывал уравнение состо лип к наваль ного газа р рЭ и уравнение вепрерыввоств йт (ру) = — др/да 73.1. Оценить среднее расстояние, на которое за ерема с продиффувдврует газ, состоппий из большвх молекул, выпущенных ю точечного источвика е иидкость с коэффициентом внутреннего тревик Ч при температуре Т. Радаус молекул равен а. 7ХЗ. Исхода вз уравнения Эйпптвйва — Фоккера — Плавка, определвть средней квадрат смещении броувовской частицы, ваходвщейск в поле силы тквести.
74. Исследование некоторых решений уравнения Эйнштейна — Фоккера — Планка В случае равновесного, т. е. не изменяюшегося со временем распределения, ди' — =О, дг (74.1) откуда 1см. (73.19)1 Б = сопа1. (74.2) же Эйнштейна — Фоккера — Планка получается из уравнения (73.30), если Полное равновесие возможно в том случае, если поток Б вообще отсутствует 8 =0. Согласно (73.20), это требование означает, что (74.3) ЖЧ(+ОЧИ~=О. Уравнение (73.3) легко преобразуется к виду Ч (и др'+- =О, (74.4) откуда дГ=Ае (74.5) где А — нормировочная константа.
Таким образом, мы получили уже известное нам распределение Больцмана. Если о(=сопзГ, то (см. (73.15)] — =РЧ 6'. ди' до (74.6) Если в начальный момент го задана координата ги то общее реше- ние этого уравнения 1 Г (-о)*1 7~(г~ г( го го) ехр ~— -щ ~ 4Р(о — ц) ) (74.7) по всем го. Особый интерес при отсутствии внешних сил представляет средний квадрат смещения броуновской частицы за время (г — го) из точки г,. Рассмотрим лишь смещение в направлении оси х: (х — хо)з=Щ (х -хо)о дд'(х, У, г, Г; х„Уо, г„(о) бхбУоЬ.
й Возьмем производную этой величины по времени и а +а з дн — (х-хо)з=щ (х-хо)з — йх йу сйг= ао до . + <О =Р Ш (х — х,) Ч дРбхбубх; (74.8) (74.9) но 268 Любые другие решения можно найти, умножая (74.7) на начальную плотность вероятности ог;(г,) и интегрируя полученное выражение +м + В , дги г дв' +м ди' (х-х )г — бх=(х — х )г — — 2 (х-хе) — бх= дхг дх 1-а дх +в гдв чм +Ф =(х — хе)* — ~ -2(х — хе) И~~ +2 В'ох( дх -а ф (О +м + В а — — — т — (х-хе)2=2г3. 61 (74.10) Интегрируя (74.10), находим (х-хе) ее2г) (г ге) (74Л1) т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
