Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Положим, что величина и, входящая в (68.5), имеет смысл некоторой скорости, т. е. и = ф. Тогда, согласно (67.3) и (68.1), имеем Га п1 (ф — ф> (9-9>= — О ~ — — — ~. (68.9) ~ да да ~ Однако средняя скорость любой величины .Г, взятая по равновесному распределению, всегда равна нулю, поскольку Но, согласно (35.4), ~Н, в1= 0 и, следовательно, т Г= О. (68.11) Такам образом, замечая, что 1см.
(68.11)) Й Ф=О,— (р, Ч)=Ф9+ РФ=О, 4~ (68.12) из (68.9) получаем — дф чф= ~Э да (68.13) Из формулы (68.13) следует, например, соотношение (66.9). Действительно, полагая <р = ф и учитывая, что тф = — а, имеем у*=Э/щ (68.14) т. е. соотношение (66.9). 69. Приложение общего метода Гиббса к конкретным системам дР 1'г'-Р) =-чав др (69.1) Если газ идеальный, то р г =ФЭ; следовательно, з чм р' (у о)з 2 ч (69.2) откуда аж,~~=г=З:,~=* Р д,/р Отсюда можно оценить относительную погрешность в определении температуры ЬТ1Т: 1 Г р~~ аг а(~) т т~ яр к (69.4) 244 Флуктуации объема газа при фиксированном давлении.
Рассмотрим газ, сжатый в сосуде поршнем с заданной нагрузкой (рис. 60). Конкретной системой такого типа является газовый термометр, в котором температура определяется посредством измерения расширения газа, сдавливаемого фиксированным давлением р. Согласно (68З), Эта погрешность чрезвычайно мала, таге как )ч = 6 10зз и,,/Каи8 10г' для одного моля. Флуктуации плотности в газе п ладности. Выведем общую формулу для квадратичных корреляций плотности числа частиц в фиксированных элементах среды с заданнымн массами или числами частиц.
Плотность числа частиц и удельный объем для элемента среды с заданным числом частиц связаны соотношением М ! р=,= ° (69.5) Если плотность выбрать в качестве обобщенной координаты, характеризующей состояние определенного элемента газа или жидкости с фиксированным числом частиц л, то роль дополнительной внепшей силы, действующей на эту координату, будет играть величина а=рК/рз, (69.6) поскольку дополнительный член ад, появляющийся в гнмильтони- ане системы в результате включения дополнительной силы, для рассматриваемой системы, очевидно, равен рМ рК р)'= — = —, р.
(69.7) Применяя для обобщенной координаты р формулу (68.3), имеем г др 1'Р— И = — Π—. да (69.8) др дР др др да др др да (69.9) получаем (р — р)з Э др (69.10) рз Мдр Согласно (69.5), эту формулу можно записать также в виде еСтрого гоаорл, зто прелполопение спрааеллиао линь а том случае, легла флуатчании малы. Вообще ие, из (69.5) имеем р=ч/рХ(а=р, чем опраалаиа замена и иа р. 245 Полагая далее, что (69.6) выражает также связь между макроскопи- ческими параметрамие, которую можно записать в виде и(- ) -г ьг 0 и замечая, что по правилам дифференцирования неявных функций, (69.11) ;,г )т ч* др Аналогично, рассматривая два элемеыта среды, содержащие У, ы )г(г частнц н имеющие удельные объемы ч, ы ч1 ы плотности р, = = 1/ч, = Ж,/Р, ы р,=1/чг = г)(г/Рг, применяя формулы (68.5), получаем (Р~ — Рг) (Рг — Рг) гчРг дрг чгРг дрг (69.12) Угрг дрг Кгрг др~ Ргрг илы, выражая плотыостн через удельные объемы, ЬРг дгрг Э дчг О дчг (69.13) Р(гч~чг дрг М~чгчг др1 Применяя эты формулы к идеальному газу, для которого рч=е и объем в точке 1 не зависит от давления в удаленной точке 2, получаем Ь(р) 1 — ==, др,дрг=б.
,/)г' Вторая из формул (69.14) озыачает, что отсутствует статыстыческая зависимость отклонений плотности в разобщенных точках газа. Из первой формулы можно также заключить, что относительное отклоыеные чысла частиц в фиксированном объеме Р равно Ь(Ф) 1 (69.15) )ч' /)ч поскольку р=Ф/Р, и, следовательно, флуктуацыонные изменения плотности можно рассматривать как обусловленыые изменением числа частиц в фиксированном пространственном объеме Р; а не изменением данного элемента жидкости. Таким образом, нами получена формула для относительных флуктуаций числа частиц, практически совпадающая с получеыыой иным методом формулой (55.17), если считать, что последняя была выведена ые для числа частиц в элементе фазового объема, а для числа частиц в элементе пространственного объема.
Иные результаты получаются пры применении формулы (69.11) к реальному газу. В критической областы, согласно диаграмме состояний, (69.16) дч/др-+ со. Следовательно, в этой области Ь(р)/р о, (69.17) т. е. происходит сильное увеличение флуктуаций плотности. Поэтому вблизи критической области увеличивается рассеяние света (свет рассеивается на неоднородностях среды, диэлектрическая проницаемость которой пропорциональна плотности). Это приводит к критической опалесценции (см. 8 32). Следует заметить, что на самом деле относительное отклонение возрастает, но не до бесконечности. Дело в том, что и истинное значение дк/др сильно увеличивается, но не становится равным бесконечности для малых объемов. К бесконечности стремится д177др для достаточно больших объемов (см., например, ураьнение Ван-дер-Ваальса).
Для малых объемов в критической области вследствие неалдитивности энергий уравнение состояния уже не совпадает с уравнением состояния для больших объемов. При этом оказывается, что дч 1др — = — — хотя и велико, но не стремится к бесконечности ни при др У др каких значениях р и Т и поэтому относительное уклонение плотности конечно. Вообще говоря, формулы (68.3), (68.5), как и все другие, выведенные при помощи них, являются точными соотношениями статистической механики Гиббса, однако их применение как точных соотношений практически ограничено областью малых относительных флуктуаций.
Действительно, для того чтобы вычислить при помощи этих формул соответствующие квадратичные моменты, необходимо иметь эмпирические данные о зависимости стоящих справа средних значений от соответствующих внешних параметров а. Однако эти эмпирические зависимости достаточно определены лишь в случае малых относительных флуктуаций. В случае же больших флуктуаций сами флуктуационные отклонения искажают измерения макроскопических величин и для определения статистических средних д (а) уже нельзя пользоваться эмпирическими формулами, полученными в области малых флуктуаций и экстраполированными на области больших относительных отклонений. Таким образом,' в области больших флуктуаций этими точными формулами трудно воспользоваться для точного вычисления корреляционных моментов.
Флуктуации давления газа при фиксированном объеме. Рассмотрим газ, заключенный в сосуде с жестко фиксированным поршнем (рис. 5, а). Используем вновь вторую лемму Гиббса (67.3), положив а= 1'(объем сосуда), и= — дН/дК=р (давление газа на поршень): () -р)'=о —" —" (69.18) ~а7 а1У' Если объем сосуда жестко фиксирован,, то с точки зрения механики его стенки и поршень должны изображаться бесконечно крутым потенциальным барьером. Но в этом случае др7дУ= д'Н7д У' на границах сосуда будет принимать бесконечно большие значения. 247 При этом и среднее др/дрможет быть сколь угодно большим, завися только от крутизны потенциального барьера, а ые от уравнения состояния р (~; Т).
Таким образом, второй член правой части (69.1о)49 (др/дР) имеет природу, существенно отличную от природы первого члена чв (др/дЦ, зависящего от состояния газа, а не от качества стенок сосуда. Очевидно, второй член учитывает флуктуации давления, обусловлеыные мгновенным его повышеыием до бесконечных значений при каждом ударе молекул газа о бесконечно упругий поршеыь, в то время как первый член учитывает флуктуации суммарного давления всех молекул, ударяющихся о поршень в течеыие некоторого малого (но большего, чем время соудареыиа молекулы со стенкой) промежутка времени. Поскольку для газов первый член отрицателен др/дР< О, а второй может сколь угодно превышать первый, т.
е. др/д)г»~др/др~= = — др/д~; постольку можно считать эр (р — р)'» -8 —. аг' (69.19) Обратым внимание на интересную связь формул (69.1) ы (69.19). Если флуктуации малы, то зависимость р(Ц практически ые отлычается от зависимости р (Р), поэтому гр эр — — =1. эу эр Найтв предел чувстввтельвости прунннвык весов с козффипиевтом упругости а. Ь (р) ч/ага. Определить предел чувств~пельпостп зеркального гапьваиометра. Молуль кручении ввтв а и температура заданы, л (а) -,/Е/а. Определить среазпа квадрат зарвда конденсатора емкостью С, замкнутого ва сопротюьченне Я. Дз = СЭ. зев Но в этом случае, согласью (69.1) и (69.19), имеем Л(Р) Л(р)»Е.
(69.21) Это соотношеные по форме напоминает соотношение ыеопределеыностей Гейзенберга, существеыно отличаясь от него тем„что Ь (Р) и Ь (р) имеют конечные значения при фиксированных р и Р соответственно (см. также примечание к э 41). 69.4. Определить среднее квадратичное уклонение силы тока а цепи с семопндукцпей Ь прп температуре Т. (Щ~=гз//, 69.5. Найти корреляцию шютаоств 'щсла частац р(г) //(г') дла идеальаого газа без вспользовааия общвх соотвошевий (69.19) путем прямого аычислеаиа средаего заачеввя велвчилы, определяемой в соотаетстввв с выраиением (55.9). ф См. такие задачу 57.1. Для простравстаепаой плотаости числа частвц а соответствии с (55.9) л //(г) = (.' 6(г-г/). l ! Плотвость аероатаости задапвого распределепвя частиц а пространстве для идеального газа вмеет аид /г(г!,:, г//) И (г!) ...
И/(гл). По определению, корреляция плотвостп п ж р(г)д(г') — )' ... 1 ,'! ,'/' 6(г — г!) 6(г' — г)х и!! !гл! /- ! /- ! х И(г!)... И'(гл)6)г!., 6И/л=Ф~д(г — г/)д(г' — г/) И/(г/)6Р+ /!/(/г/ — 1) + Щ[Б(г — г/)Б(г' — г)+д(г — г/)х 2 лй(г' — г)) И'(г) И/(г/)4)//639 Учитывая, что /!/»1, получаем р(г) р(г')= р(г) Ь(г — г')+//(г) р(г'3, где р(г) /т'И'(г') — средаяа плотвость чвсла частвц. Введем отклоаевве плотности от среднего: бр (г) р (г) — р (г). Тогда Ьр (г) Ьр (г) = р (г) 6 (г — а~). Вычислим флуктуацав числа частиц ле а некотором объеме г: «„[ л„[ 6У//(г )6Г (л„— ле)'=л„. /~/ 69 На осаовапив получеввых выше формул находам л„= ) р(г)й)/и (л„— Л)з=в /6/ в соответствии С результатамв задача 57.1.
69.6. Исхода из результатов предыдущей задачи аычвслить флуктушшю полопеаия цеатра масс дла идеального газа. 69.7. Вычислить флуатуацаю полопевпа центра масс длл вдеальвого одвородаого газа, завпочевиого а сферический сосуд радиуса Я. 69.6. Вычисапь флуктуацию 2-коордиваты цеатра масс вдеальвого газа, заключеппого а циливдре высотой Л в плошадью основания Я а ваходащегося а поле силы тшкести, вапраалеаиой вдоль оси г. 69.9. Найти пдотвость вероагиосги заданного значение объема дда идеального газа из Ж пастись вааоддшегпоа в равновесии прн температуре З и давлении р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
