Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Здесь мы, однако, ограничимся лишь случаем полностью вырождеыного электронного газа. О> Оз др ) д ~ з/аз)а (/ д ~ .,~ада д9 (д9~ ехр((а-яЯ9 — 1)'1 др ~ ехр((а — р)/91 — 1 о о а — р ехр Ка — и)/91,/а ее 1 ехр[(а- р)/91 ада о о о о Но в силу (63.3) о —,и>О; следовательно, подынтегральные члены, стоящие в интегралах правой части (63.4), положительны при всех значениях а и поэтому др — <О. д9 (63.5) Следовательно, при понижении температуры )а может лишь возрастать от более отрицательных значений к более высоким, вплоть до максимального значения )а = О. Максимальное, т.
е. нулевое, значение д достигается при некоторой критической температуре То. Определим эту температуру, полагая в уравнении (63.2) )а=О: (О зл 40 з/2зе 1 ~ ъ/аз)а ез а 3/2 ~ ~~Йох 2х~Ь~ ~ Яэ Цз з з е — 1 2 ход з е — 1 (63.6) о о Интеграл, стоящий справа, вычисляется*, и приближенно его можно считать равным | ,/Мх — = 2,31. з е — 1 о Таким образом, (2,31) (63.7) Для всех известных бозе-эйнштейновских газов эта температура .т . з р,з *.~з з зро з е0.16). О-1ОО 225 Нетрудно также показать, что )а монотонно убывает с ростом температуры. Действительно, применяя правила дифференцирования неявных функций к (63.2), получаем кого гелия порядка 0,12 г/смэ получаем уе=2,8 Ке.
Однако эта температура отлична от нуля и поэтому существует некоторая область температур более низких, чем критическая: 0<8<О. (63.8) В этом температурном интервале, очевидно, д = О, так как в силу (63.5) химический цотеыциал д ые может убывать при умевьшеыиы температуры и [см. (63.3)] ые может стать положительыым. Но тогда для 8<Ос условие (63.2) может быть выполнено лишь пры числе частиц К', меньшем Ф. Действытельыо, для О<Ос и д=0 условие (63.2) принимает форму уравнения (63.6), откуда —.=®" (63.9) Но число частиц в системе постоянно, поэтому полученный результат нуждается в специальном физическом истолковаыии. То, что К'<К при О<Ос, означает, очевидно, что лишь Ж' частиц из полного числа 2!! могут быть расыределеыы по эыергетическим уровням в соответствии с (63.
1), т. е. согласью формуле эл л !л вз Эг е дх ЛГ е бе Йл !'а)— 2 взйз е — ! 23! бЭ е — ! 372 2/Э (63.10) Остальные же К-К' частиц должвы быть распределены как-то иначе, например находиться ыа самом нижнем уровне, т. е. пребы- вать как бы в иной, условно говоря, конденсированной фазе. Последнее предположеыие можно обосновать, если учесть, что распределение (63.10), строго говоря, справедливо лишь для зыаче- ыий в гораздо больших, чем разность между самыми ыижыимы эыергетыческими уровнями. Для нижних же уровней можно пользо- ваться лишь формулой (60.13), согласно которой при д 0 ыа лыж- нем энергетическом уровые в=бее может в средыем находиться сколь угодно большое число частиц, в то время как по формуле (63.10) среднее число частиц, находящихся в интервале 0<в<в,«О, эд л(в,) =10л(а) =2О яла, (63.11) 2здкзйз е т.
е. стремится к нулю при в,-+О. 226 еСтрого говоря, длк таких больших плотвостей разввтиа вьппе теория иепримевима, так как оиа построена для идеальных газов, а ве ивдкостей. Получеивая таким образом температура долина рассматриваться лишь как грубая оценка истинной критической температуры. еьСтрого говоря, ииивий уровеиь ге ве разек нулю, а несколько больше вулх Но и д при О- 0 стремвтся ве к пулю, а к ее. Таким образом, учитывая дискретность нижних энергетических уровней, плотность чысла частиц правильнее записать в выде — =)з' ' — + 1 — — 26(г) . (63.12) Действительно, считая б-функцию симметричной ы полагая ~О 1 д (г) де=-, э' о получаем, согласно (62.12) н (62.9), (63.13) Π— с1г = Ф вЂ” + 1 — — = )'х', (63.14) 64.
Релятывысгскый и ультрарелятивыстскнй электронный газ Релятивистский электронный газ отличается от нерелятывистского, рассмотренного в 5 61, лишь распределением числа уровней в зависимости от энергии частиц Е, т. е. выражением ЙлГ(е), использованным в формулах (62.3), (62.13); формула (60.17) для средних чисел заполнения уровней остается неизменной. Итак, еслы Š— релятывыстская энергия электрона, д2 — релятивистский химический потенциал, то пе = Яехр 1(Š— д4О)+1). (64.1) Однако для релятивистской частицы собствеыыой массы т о т.
е. полное число частиц системы, как это н должно иметь место в системе с сохраняющимся числом частиц. Следовательно, идеальный газ, состоящий из частиц с нулевым спинам, при низких температурах может находиться в двух микроскопически различных состояниях или в двух фазах: в обычной газообразной, распределенной по уровням согласно (63.10), ы «конденсированной», находящейся на наинизшем возможном уровне. Этот теоретыческый вывод находится в качествеыном согласи с эксперыментом, так как в действительности при Т<2,19 К (пры атмосферном давлении) гелий-4 находится в двух жидких фазах: нормальной ы сверхтекучей.
Конечно, для жидкости вся теория должна была бы быть построеыа иначе, однако причыыа возникновения двухфазного состояния правильно вскрывается н в огрубленной «газовой» модели жидкого гелия. (64.2) Ег(сг рг+тгсг т. е. Ег Е=с рг+тгсг и р= — +тгсг, с' (64.3) и поэтому Е6Е сгр6р и ргйр тгсгйЕ (64.4) с' сг Таким образом, замечая, что 1см. (62.4), (62.5), (62.6)] для частил с двумя состояниями поляризации оФ(р) = — К ггаг (64.5) и используя (64.4), получаем ЙМ(Е) = — — — — тг7сг 6Е, Е Ег газ 2 г (64.6) откуда средняя энергия идеального релятивистского электронного газа, аналогично (62.13), выражается как е= — "(я'! 5 'Р7Р- 'ю рге-и~/О1<-1) Йе, (ы7) ггзг / 1 причем д определяется путем интегрирования выражения (63.8), т. е.
из соотношения сО и Г ~= —,, ) ~~г~.*)~~~.*- *~(.*ргг-и~~01~-1г ~й (бее Значительные трудности представляет анализ этих интегралов. Поэтому мы ограничимся лишь предельными частными случаями: 1) Е-тс*=г«тсг и 2) Е-тсг=с»тсг. Запишем интеграл (64.7), заменяя переменную интегрирования Е на а — Е вгсг. Ф г= — ", Га >*+2 +~~ рз„~ж77~ р~!*рг -„уоз<-1га., Маг (64.9) о где д= дг-тсг. В первом случае при е«тсг 3' Г е= — ~ 2уие,,/~/ехр [(а-уу)/О+1]йе лзу,З ~ а совпадает с выражением (62.13) для нерелятивистского электронного газа.
Во втором (ультрарелятивистском) случае при а»звсз в подыытегральном выражении (64.9) можно пренебречь всеми членами, содержащими уи, и, таким образом, в ультрарелятивистском случае имеем Е= "[е~/ехр[(е-д)/О+1Ц а(а, Л233СЗ 1 а а условие (64.8) переходит в йУ= — ~[а~/ехр[(а — уз)/О+1И Йа ЛЗ,ЗСЗ~ а Исследуем до коыца лишь случай вырождеыыого ультрарелятивистского электронного газа, т. е. положим О«ууа, где ууа есть предельное значение д прн О- О.
Тогда в соответствии с (62.2) знамеыатель подынтегральных выражений (64.11) и (64.12) можно считать Равным 1 пРи а < Уза и стРемЯщимсЯ к со пРи а> Ууа, и соответственно выражения (64.11) и (64.12) можно записать в виде аз ~а Гз (64.13) 2у,заз 2У,заз 3 ' а 26 лзуззаз лгуззаз 3 ' а (64.12) (64.14) 3\ 3-л "+.—,,Ц] С "*, а.* à — 33+133.+ а Ю ,цз,уыз Зг.-32~а+13313. а Первое слагаемое правой части, прыравыенное первому слагаемому левой части, т.
е. Луиса, совпадает с соотношением (64,8), записанным для первого случая при а«взс'. Второе. слагаемое откуда ре =/1с (3 из/ч/ Р) (64.15) з з / злМ~з Ее — — -зтРе— - — зч" Ьс Зкз— 4 4 1ь 2~ (64.16) Полагая, так же как в нерелятивистском случае, согласно (62.15), зР=Ес, получаем дФ дЕе 1 Ее Р= ди д З1' т. е. 4 Ее 4 з /ст>/ст, = ре = — — » -тсз, злг з где Т, — температура вырождения. Но при 4 тсз Т,)Т» -— 3 й газ является ультрарелятивистским вырожденным.
Следовательно, повышая температуру электронного газа и переходя в область релятивистского газа, мы прежде всего вступаем в довольно обшир- ную область вырожденного сверхрелятивистского газа. 64.1. Найти связь меиду давлением и средней плотвосгью ввергли дла кеавтового вдеальвого газа в верелативистском и ультрарелативистскои случавк. 64.2. Вычислить температуру выроидевиа и лавлевве длв ультрарелатвввсг.
ского газа Ферми. 64.3. Нользуксь большим кавовическим распределением Гиббса, выразить звтропвю идеального газа Бозе — Эйвштевва и Ферми — Дерека че рез средвие числа заполвевив лк рассмотреть случай, когда л,«1. 64А. На освовавии результатов предыдущей задачи показать, что зигропаз 230 рг'='/3 Е. (63.17) Это уравнение состояния вырожденного ультрарелятивистского электронного газа отличается от соответствующего уравнения длв вырожденного нерелятивистского газа (62.17) лишь коэффициентом '/ вместо '/ при Е,.
Теория вырожденного ультрарелятивистского электронного газа применима в довольно значительном интервале температур. Газ перестает быть вырожденным при квантового идеального газа имеет макснмум (при заданной средней энергии и заданном среднем числе частиц), если средние числа запол- нения удовлетворяют распределешшм Бозе — Эйнштейна и Ферми— Дирака. 65. Теплоемкость двухатомвых идеальных газов Микроскопической моделью многоатомного идеального газа является система ээ' не взаимодействующих между собой молекул, т. е.
его гамильтониан равен сумме гамильтонианов отдельных молекул. Статистическая сумма (в классическом пределе — статистический интеграл) такой системы распадается на произведение одномолекулярных статистических сумм (интегралов). Для системы одинаковых молекул (65.1) н У=к, где г — статсумма одной молекулы. Она может быть вычислена, если известен энергетический спектр, который, в свою очередь, определяется уравнением Шредингера для совокупности атомных ядер и электронов, образующих молекулу.
Его точное решение невозможно, но качественные соображения позволяют выделить группы степеней свободы; каждой из которых соответствует своя структура энергетических уравнений: трансляционные (движение центра масс молекулы), ротационные (ее вращение), вибрационные (колебания атомов, связанных в молекуле квазиупругими силами) н электронные степени свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
