Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Их спектраль- ное распределение продольных волн выражается формулой (49.23), 7-!ьо 193 в'~"о бЛ~, /гр) = — игр, 2р~ез (53.13) а для поперечных р 2и оФ, /со) = — 'осо. р2,3 Во-вторых, спектры (53;13) и (53.14) не простираются до бесконечности, а,ограничены предельной частотой, определяемой условиями (53.12). Таким образом, в модели Дебая дФ/гр) =бФ,/гр)+йФ,/'в)= 3 — огр при о<ар, 2р*сз (53.15) 0 при гр>грр, где для краткости введено обозначение 3/сз 2/сз + 1/с~з (53.16) а граничная частота срр называется дебаевской частотой.
Она получается подстановкой (53.15) в (53.12): (Паз )/(2язсз) = 3К т. е. грр— - с(бязМ(У) =с(бя~/т), (53.17) где Р//1/ 2, з (53.18) — объем элементарной ячейки; а — параметр решетки; т 1— числовой множитель, зависящий от типа решетки. Поэтому 194 а для поперечных — (50.5). В обоих случаях бК/гр) го~ого. Важность низкочастотной части спектра обусловлена тем, что прн малых температурах возбуждены и дают заметный вклад во вторые слагаемые (53.1) и (53.2) лишь осцилляторы с частотами со~О/а Дебай (1912) предложил экстраполировать квадратичную зависимость оК/в) на весь спектр колебаний твердого тела. Имеется два отличия от распределенных систем, изучснных в 8 49, 50.
Во-первых, в твердых телах распространяются и продольные, и поперечные волны (продольный и поперечный звук), причем, вообще говоря, с разными скоростями. Согласно (49.23) и (50.5), для продольных волн Е1и = (53.19) Минимальная длина волны сравнима с параметром решетки: 2ос /4лХМ 1„= — =а ~ — ~ -1,6а.
(53.20) Среднюю скорость звука можно оценить по известной формуле с =~/е/р, (53.21) где е — модуль Юнга, р — плотность массы. Подставляя (53.15) в (53.11), находим ИЯ З1а Г 'аи Е= Е+ — ~ (53.22) 2косэ ~ ьив е — 1 о При низких температурах т«Т,. (53.25) Замена верхнего предела асов/8»1 на бесконечный вызывает лишь экспоненциально исчезающую погрешность. Тогда, используя (50.16), получаем Е=Ео+уТ4 (53.26) 195 В высокотемпературном пределе 8~8соо, отсюда с учетом (53.17) приходим к (53.6) с вт=Зсои /5. Таким образом, мы видим, что граничная частота ши онредеяяет характеристическую дебаевскую темнературу Тл= ~М/с (53.23) ниже которой заметны квантовые эффекты. Температура Дебая определяется природой твердого тела. Например, для свинца она равна 88 К, для золота — 170, для железа — 420, для алмаза— 1860 К.
Вводя в (53.22) безразмерную переменную интегрирования у=ив/О, имеем оои1в 3РЭ~ Е=Е + (53.24) о — 1 о св Я 1 где азйл !е.заз (53.27) Следовательно, при температурах значительно ниже дебаевской [см. (53.25)] с„=47Тз, (53.28) т. е. закон Дебая находится е полном соответствии с экспериментом.
Таким образом, модель Дебая (53.15) дает точные результаты в высокотемпературном и низкотемпературном пределах (53.б) н (53.28). При промежуточных температурах формула (53.24) является интерполяционной. Учитывая (53.17), (53.23) и ввода функцию Дебая 3 (уау Р(х) = — ~ х'" е' — 1 (53.29) е ее можно представить в виде Е=Ев+ЗттП (т (т). Отсюда для теплоемкости получаем (53.30) ев=ЗЯ Ю вЂ” — — о Ю' — о =ЗА 4Ю вЂ” о — . (53.31) 53.1. Ооъхсаать, почему дла тверщвх тел, имеющих одаомераую (ватевадаую) а двумераую (слоасгую) структуру, нзвнлавмкоонь св пра аюхах температурах нодчннявзнся не закону Девал с„Т', а закону В. В. Тарасова св Т и закону Н.
Н. Снротм св Тз соазнветсювенно. 632. Доказать, что пра ТсуТо аоэффапаеат теплового расзпареаал а-Тз, а разность с„— су Т'. !96 График функции в квадратных скобках изображен на рис. 49. Интерполяционные формулы Дебая приводят к неожиданно хорошему согласию с опытом, если учесть, что истинное спектральное распределение нормапьных осциллаторов в кристалле при высоких частотах значительно отличается от (53.15). Основы микроскопических методов расчета спектров колебаний кристаллов были заложены Борном и Карманом.
53.3. Найти температурнуго заансвмость среднего каадратичвого уклонениа полной энергии твердого тела, подчинающегоса авиону Дебел. 54. Постулат Нериста — Плавка как следствие квавтовой статистики Стремлевие теплоемкости к нулю лри Т-+О К, вытекающее из квантовой теории твердого тела, является подтверждением постулата Нериста — Планка о стремлеиии к нулю звтропии. Действительно, если, согласно (53.19), при Т«Тс сг=4а7о, то Я яе имеет отличного от пуля значения при Т=О К, поскольку оо си=Т вЂ”, 6Т' (54.1) — = — ~=4иТ*, 4Т Т (54.2) т. е. Я=се1пТ+Бе+а,Т+-~ Т + — ~ Т +...
2 3 (54.Я Если сеФО, то выражение (54.5) ие стремится к нулю при Т- О К. Однако для всех известных случаев ковдеисироваииых сред, согласио квантовой статистике, сеаиО и, следовательно, Я-+0 при ТьО К. г 4 Б='14аТаоТ=-аТз (54.3) е 3 Аналогичный РезУльтат мы полУчаем в слУчаЯх ст-7п и су Т, [заковы Сироты и Тарасова (см. задачу 53.1)1. Если же теплоемкость подчиняется более общему закону в виде ряда от=се+а,Т+ааТ +а,Т + ..., (54.4) то, согласно (54.1), ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ (КЛАССИЧЕСКАЩ 55. Классическая функция распределения одиоатомиого идеального газа.
д-Пространство и числа заполнения Гг'(гс. Рс) =А ехр — ~ — + У(гс) 8~ (55.2) где А определяется из условия нормировки аналогично (3.12) -=) ) ехр à — ~ — +У(г)~брдг=(2и»лО) 1~, 1 Р лт (55.3) согласно (39.16) и (3.13). Выражения (55.2) и (55.3) отличаются от ранее полученных (3.10) и (3.14) лишь тем, что здесь в качестве независимых переменных взяты импульсы и координаты, а там— скорости и координаты. Однако практический интерес представляет обычно не плотность вероятности для выделенной частицы с номером 1, а среднее число частиц, занимающих элемент шестимерного фазового объема: Арбг=Ар,Ар Ар,АхАуАх.
(55.4) Вводимое здесь отвлеченное шестимерное фазовое пространство 'рс и т» — краткие обозначении акк совокупности перемениык р„с р„с, р,с и кь ус»ь 198 Легко показать, что классическое распределение Максвелла— Больцмана (3.17) содержится в каноническом распределении Гиббса для идеального одноатомного газа. Интегрируя каноническое распределение для системы с гамильтонианом (36. 14) н 2 и н (гь ...
рн)=ехр ~ — ~'Р— 2 ив ' — ~ У(г») (55.1) по всем каноническим переменным, кроме р» и гс», получаем выражение для плотности вероятности частицы номера Й иметь координаты гс и импульсы р» переменных г и р называется д- Д(л) яроетраненевом в отличие от 6Ж- мерного Г-пространства переменных Х, с которым до сих пор имели дело.
Число частиц, нахо- ,о х 'у и дяпщхся в заданном элементе у у -8 браг д-пространства, называетРве. 50 ся числом залолнения фазовой ячейки Ьрбг. Интерес обычно представляют средние числа заполнения и средние квадратичные отклонения чисел заполнения, характеризующие флуктуации чисел частиц. Для вычисления этих величин при помощи канонического распределения Гиббса необходимо представить числа заполнения как функции координат Х.
Последнее нетрудно осуществить посредством функции Ю (х), равной единице внутри интервала — '/е —. + '/з и равной нулю везде вне этого интервала, изображенной на рис. 50 слева'. Справа на этом же рисунке изображена функция Ю (х/о), как это очевидно без доказательства. Введем удобное обозначение Д(г)=Д(х) Д(у) Д(г). (55.5) Очевидно, Д-функция связана с д-функцией Дирака следующим предельным соотношением: Ы ~~')=д(х). (55.6) е е Очевидно [см.
(55.5)Ь 1ш1, =д(г)=Б(х) д(У) Б(г). (5.7) е е~ Легко видеть, что число заполнения п-фазовой ячейки Ьр, Ьг, центр которой находится в точке,и-пространства с координатами г, р, может быть выражено при помощи Д-функций в виде н=ХД вЂ” ' Д вЂ” . (55.8) н б ° . ф е вверыввиа мвоюпевь дврвхве вав + со ГУ1 1 Г е1паЯ я ( — / — ~ — евр (1уя) вя. Ы.1 199 д — д — =д (55.12) Тогда я я = Х д». « = цд» »-~ и, следовательно, дисиерсия числа заиоямения (и — й)г=яг — йг= ~„дг»+ 2' д,д — (д~д)г »1 ы» Легко видеть, что д~=д., д,д'=д; д; д,=д.=д=-".
Х д,д,= ~л~-л) д. М'!л» Следовательно, (и-й)г=й(1 -й/)ц). (55.13) (55.14) (55.15) Таким образом, относительная флуктуация равна 200 Действительно, в этой сумме равны нулю все те члены„для которых г» и р» не лежат внутри Лги, а те члены, для которых гы р» лежат внутри ячейки Агар, равны единице. Можно также ввести функцию плотности числа частиц «с л «= 1йп — = 2, д(г»-г) д(р»-р). (55.9) ь» О Агар »«о Согласно (55.1) и (55.2) и в силу того, что все 1г»(г», р») одинаковы, для среднего от «получаем «=Ж1г'(г, р), (55.10) где И~(г, р) отличается от (55.2) только тем, что вместо координат точки индекса /с подставлены координаты,и-пространства. Следовательно, среднее число заполнения достаточно маленькой фазовой ячейки Агар равно я = «АгАр = 1«"»г'(г, р) Агар.
(55.11) Таким образом подтверждаются формулы (3.16) и (3.17), полученные упрощенным путем. Выражение (55.8) позволяет легко вычислить и среднее квадратичное уклонение для чисел заполнения и. Введем для сокращения выкладок обозначение (55.16) Так как обычно У~ со, то А(») 1 1 (55.17) „(» ~/Мг Ьв Эта формула показывает, что в вхвосте» максвелловского распределения, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
