Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 29
Текст из файла (страница 29)
е. когда число Ф не фиксировано. 46. Распределение Гиббса для систем с переменным числом частиц Статистическое распределение для системы с переменным числом частиц называется большим анслмблем Гиббса. Рассмотрим большой канонический ансамбль для такой классической однокомпонентной системы, контактирующей с термостатом.
167 юн(Х~ )= — ехр(1Р„-Нн(Х~ ))/О) м (46.1) причем условие нормировки в отличие от (6.3) должно быть записа- но в виде — ~ ехр ЯЧн-Нн(Х~ ~))/Э) дХ~ ~=1. и-о~ Э (46.2) оно гх Вводя вместо свободной энергии 'Р потенциал О, т. е. полагая, согласно (22.17), 1Рн- — Г= й+,иК. (46.1) и (46.2) можно записать в виде (46.3) и+ни-ин(й ун! юн( ) = — ехр (46.4) <О а+ни — н„(х~ УЮ вЂ” ехр н о'л й (46.5) (н! 1Х > й= -01пЕ, где Š— большая статистическая сумма (46.6) Е = 2 ехр — /М ехр — " ЙХ~" . (46.7) по Гг Для среднего значения любой величины Гн~Х ~, очевидно, по имеем Если к термостату присоединена простейшая система, которая может черпать ю дополнительного резервуара частицы, то для каждого фиксированного числа частиц Ф будет справедлнво каноническое распределение в фазовом пространстве 6К юмерений с весовым множителем 1/М, как это было выяснено в предыдущем параграфе.
Следовательно, плотность вероятности является функцией Х~ и числа Ф, т. е. [см. (45.8)) ло и+и~г — н„~» ! оо (46.8) по Ф ! (46.11) Составляя полный дифференциал дй дй дй <Ю ба — бе+ — аК+ — 6» — (а+ды-Н~-р Ы-йад дэ дР дя Э (46.12) я сравнивая его с соответствующим термодинамическим выражени- ем (22.18), получаем (46.13) Итак, Н, определяемое формулой (46.7), играет роль интеграла состояний У для большого канонического ансамбля Гиббса, изображающего простейшую (т. е. зависящую от единственного внешнего параметра Р) систему с переменным числом частиц К. Все полученные в этом параграфе формулы легко обобщаются на общий случай многокомпонентной системы, имеющей в сортов частиц Ф~ и задаваемой т внешними параметрами аь для такой системы выражение плотности вероятности является обобщением (46.4) и имеет внд мр ...
к„ кекР— Я-~-~~~~~~~К~ — Я1'Х, ..., А' ) (46.14) 169 Термодинамические средние, аналогично обычному каноническому распределению Гиббса, могут быть вычислены путем дифференцирования условия нормировки по О, Р и,и. Произведя зто дифференцирование, получим Ф вЂ” = — 1й+ ДФ вЂ” Й), (46.9) дн Э га ан — Р (46.10)- дК дк Соответственно 1см. (46.6)) а в ( ~ л Е= ~ ... ч~~ ехр Г Я дМ //Ж! ... у,1) х ц о «о мо 1е х ... ехр ' "" дХ ... ЙХ ~, (46.15) рЮ (я„) ~г ) !х > а соотношения (46.10), (46.11) и (46.13) обобщаются как выражения ВЙ БЙ Я;-- —, У,= —, а,' г»,' а/ дй Е= — ~ а+ ~ д,~,-й~= -й —.
Выражение же для Р обобщается как Г= ~~~ ... ~~~ ехр — Й+ 2, дМ, /(К,!... У„/ Г(Х ру ру (х лх ) г о(х'"" г'"ы/1 (46.17) В рассматриваемом случае многокомпонентной системы потенциал й, согласно (22.22), очевидно, имеет следующий термодинамический смысл: й (Т; аь ..., а;,иь ...,,и„/ = — ~, А,Ц,. ь ! Учитывая (45.9), полученные формулы легко обобщить на случай квантовых систем. Для однокомпонентной системы вместо (46.4) имеем Й+ 7Г к~и>) и «/Е~Г®~/ = — ехр ( (46.19) М ( Э где Е~7~ есть собственное значение оператора л системы, состо- яло яшей из К частиц.
Используя условие нормировки (46.20) ~~~ ехр — /К1~~~ ехр — — ' =1, для потенциала ь) получаем также выражение (46.6), где вместо (46.7) большая статистическая сумма имеет вид (46.21) Я= 2, ехр — /М 2,ехр Среднее значение физической величины, изображаемой оператоегА9 ром г, имеет вид м Г= ~' ехр /Ф! Бр Р' ехр (46.22) Соотношения (46.9), (46.10), (46.11) и (46.13) остаются в силе и для квантовых систем. Для многокомпонентной системы а а (1 ь ) а ( мль...иы) == ~ - ~ ехр ~- ~ д "3~("'- ".') ~ехр ~- ' 3 (4'") щ е и„-е с~ е 0 где Ьчл1 -' "'"' — собственное значение оператора Гамильтона елль .... Щ 7т ' "" для совокупности Фм ..., К„частиц и сортов.
46.1. Написать большое микрокаиовическое распределение длк классвческвх систем. 46.2. Написать большое микрокаиовическое распределение дла квантовых систем. 46.3. Вывести обобщеввые леммы Гиббса и длл большего кавоввческого распределевик. ТЕОРИИ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 47. Запои Кирхгофа Излучение электромагнитных волн, так же как и электромагнитное поле вообще, представляет одну из простейшх форм материи, обладающую энергией, и может рассматриваться как термодинамическая система.
Впервые излучение в полости предложил рассматривать как термодинамическую систему, имеющую не только энергию, но и температуру, энтропию и т. и., русский ученый Б. Б. Галицын в 1893 г. Однако ранее, применяя к процессу изучения законы термодинамики, Кнрхгоф, а затем Больцман установили некоторые общие закономерност. Рассмотрим в этом параграфе закон, установленный Кирхгофом. Нагретое до температуры Т и ограниченное некоторой поверхностью тело цо отношению к излучению определенной частоты го может характеризоваться излучательной способностью и и поглощательной способностью А. Если энергии, испускаемая в единицу времени излучением с циклической частотой го в интервале йи с элемента поверхности' тела ди в телесный угол дй в направлении и (рис.
41), .(и, ш)Ы Я2асв, (47.1) а энергия излучения в интервале частоты Йго, приходящая из вакуума в тот же элемент телесного угла о11 и падающая на ту жс элементарную площадку Йи, 7(в, в)бидйбии, (47.2) причем только доля Д 1'л, гс) дгобй йтв (47.3) 7 ЫЖЖ~йЕЖ~~ Т, Риьтр о Х 172 падающей энергии поглощается площадкой бо, то в (в, го) определя- ется как излучательная способность тела, а отношение А=И1 ыазывается поглощательной способностью. Если вся падающая энергия полностью поглощается излуча- ющим телом, т. е. Д = 1 или А = 1, то такое тело называется черным.
Доказанный Кирхгофом в 1859 г. закон состоит в утверждении, что отношение излучательной способности в к поглощательной А за- випоп только от частоты излучения и температуры излучающего (47.5) в!А=К(со, Т), где функция К не зависит от свойств вещества. Для доказательства этого утверждения рассмотрим процесс об- мена ызлучеыием определеныой частоты между двумя черными те- лами 1 и П, нагретымы до одной ы той же температуры Т,= = Та =Т. Для простоты предположим, что эти тела имеют одына- ковые геометрические размеры, сымметричные относительно некоторой плоскости, ыа которой натянут фильтр, пропускающий излучение лишь с циклической частотой со (рис.
42). Полагая тела 1 и П черными, можно утверждать, что вся энергия, излученная телом 1 и поглощенная телом П, равна энергии, излученной телом П и поглощеыной телом 1, так как в противном случае имел бы место поток энергии от одного из тел к другому, приводящий к непрерывному охлаждению одного и нагреванию другого, что при одинаковых Т, и Т„невозможно, согласно постулату Клаузнуса (см. в 14).
Следовательно, необходимо положить в, = вя. Таким образом, в любого черного тела при заданной температуре Т для определенной частоты со имеет одно и то же значение, т. е. в черного тела не завысит от свойств вещества и является универсальной функцией в=К(Т, со). Рассмотрим теперь ту же систему, но тело П будем считать нечерыым, а тело 1 — черным. В этом случае не вся энергия (пропорциональная в), излучаемая телом 1 и переносимая излучением на тело П, поглощается этим телом, а согласно (47.4), поглощается лишь ее доля, пропорциональная Ал. Таким образом, чтобы тело П излучало такую же энергию, как и поглощало (т. е.
не ыагревалось и не охлаждалось), необходимо, чтобы его излучательная способность вв была равна не в,= К(и) (как в предыдущем случае), а Апв,: 'и = Аыв1 или вп/Ая — — в, = К (го, Т). Следовательно, для любого нечерного тела его излучательная спо- 173 собность равыа излучательной способности черного тела, умножен- ной на поглощательную способность вечерного тела: е (со, Т) = А (со, Т) К(го, Т), что эквивалентно утверждению (47.5). 48. Закон Стефана — Больцмава У (Т) = ) и (Т, оэ) Йсо. о Полная эыергия излучения, заключенная в объеме Р, равна Е= УУ(Т).
(48.2) Из электродинамики известно, что световое давление на поглощающ~ю поверхность изотропного электромагнитного излучения равно /, средней плотности электромагнитной энергии излучения', т. е. для равновесного излучения 1 р=- и. 3 (48.3) Это уравненые можно также рассматривать как опытный факт, устаыовленный Лебедевым. Используя основное уравнение (20.1) ТЙБ=6Е+р Й У, ~Терлецкие Я. П., Рибаков Ю. П. Эвектродввамюва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
