Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Специфическую форму она приобретает дла статистических ансамблей квантовой механики, длл которых вмеют место соотвошеюш неопределенностей, например, Ь(9)Ь(р) >л Согласно последнему соотношению Ь(р)-+со, еслв Ь(в) О, в Ь(9) оэ, еслв Ь (р) - О. такал статвствческаа дополввтельвость послупвла основанием дла формУ.
лвровкн квавтово-механического принципа дополнительности. Согласно (4041 п (40.9), соотвошенва дополнительности дла Е вТ существенно отлвчаютсл от каавтово-механических предельных соотвошеввй дла в в р, так как Ь (Е) ве стремвтса к со прв Ь (Т) 0 К и Ь (Т) ве стремвтса к со щи Ь (Е) =О. 154 41.1. Идеальный газ, состоюций ю Н частиц, находится в термостате с температурой Т. Найти аероатвость того, что газ имеет полную энергию, значение которой иаходитса а ввтервале от Е до Е+ЬЕ.
41.2. Вычислить интеграл состояний для релятваистского идеального газа. Рассмотреть предельные случаи иерелатиаистских и ультрарелатиаистских часпш. Для последнего случая вычислить среднюю энергию. 41.2. Написать распределение Максвелла — Больцмана дла идеального газа, окрунающего тяготеющую массу, имеющую радиус Я. Исследовать, законно ли примевеаие этого распределения в данном случае.
41.4. Определить распределение плотности частиц идеального газа а цилиндре радиусом Я, вращающемся с угловой скоростью ох и определить давленве яа стенки. 41тк СМЕСЬ дВуХ ИдсаЛЬВЫХ ГаэОВ, СОСтОящнХ Иэ Ф1 И ЖЭ ЧаСтац С МаССаМИ т, и тэ соответственно, заюпочева а цвлвндрический сосуд высоты л с плошадью основания Я. Смесь находится в поле тккести. Найти давление на аерипою стенку сосуда, а такие полоиевие центра масс. Рассмотреть дополнвтельно случай пасконе шо высокого цилиндра. 41.6.
Вычислить электрическую поляризацию Р идеального газа, состоящего из дипольных молекул с вевэменвым электрическим моментом р, при помещении его во внешнее однородное электрическое поле Е. 42. Теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы в теорема о вириале Рвд задач классической статистической теории равновесных состояний легко решается при помощи общих теорем статистического аппарата Гиббса — теоремы о равномерном распределении кинетической энергии ло степеням свободы и теоремы о вириале. Обе эти теоремы вытекают из более общего соотношения для среднего по каноническому распределению от произведения произвольной механической величины Г1'Х) на производную дН~дХа.
Рассматриваемое среднее, очевидно, равно дХа д (Ч вЂ” Н(Х)) =-О ) Г(Х) — ехр 4 ~г)Х. (42.1) 155 Одре)толенное таким образом 'Р совпадает со свободной энергией Ж=Й-БТ, если, согласно (41.11), Е=г1, а чу=)сТи Ы=Я. Очевидно, в форме (41.10) могут быть записаны все другие равновесные распределения Гиббса, отличные от микроканонического или канонического, например степенное распределение для системы„взаимодействующей с термостатом, имеющим конечное число степеней свободы 1см. (38.4)). Но а | д (И-Н(хь ..., Х»н) ' Г(Х„..., Х», ..., Х,„) — ехр с( ' ' ~ЙХ»= дХ» ( 9 -в +а (ч(-н(х)) г»-+м ~ др(х! 1ч — н(х)1 =Рехр 5( ехр с( | йХь е | х,-- ~ ах„с( е (42.2) Первый член этого выражеыыя, очевидно, равен нулю, поскольку в статистической мехаыике рассматриваются лишь такие системы, для которых Н + со при Х»-+ ~ со.
Действительыо, кыыетическая энергия пропорциональна квадрату импульса, а потеыциальыая— быстро возрастает до бесконечных значений ыа стенках объема, заклвзчающего систему. Иытегрыруя (42.2) по всем остальным пере- меыыым Хс (кроме Х»), получаем,а согласью (42.1), соотыошеыые Р— =Э вЂ”. ах, дх„' (42.3) Полагая Р= Х, ы замечая, что дХЕоХ» -— о», вз (42.3) получаем дН Х> — = 9й».
дХ» (42.4) называемое теоремой о равномерном раснределении, ы второе— (42.6) де» называемое теоремой о еириале. Нетрудно убедиться в том, что левая часть уравыеыиа (42.5) действительно является удвоенной кинетической энергией одной степени свободы (ыомера Iс). Из механики консервативных систем известно, что дН Н=Х+ 1(, л.=л-((, Н=~'р» — -й, » др» 156 Из последнего соотношения вытекают два частыых — для импульсов ы координат. Первое— р — =~ ан (42.5) ае» где К и У вЂ” соответственно кинетическая и потенциальная энергии системы.
Следовательно, дН Н+1.=2К='Яр,— др» и поэтому, согласно (42.5), 1 дН и К»=- р» — =-, 2 др» 2 (42.7) (42.8) дН --ХМ»=-~9»вЂ” 2» 2» дя» (42.9) была названа Клаузиусом вир валом. Следовательно, согласно (42.6), средний вириал одной степени свободы равен половине кТ: 1 Э -- Ф"»=— 2 2 (42.10) Заметим, что теоремой о вириале называют также чисто механическую теорему, доказанную Клаузиусом и использованную им для вывода уравнения состояния реального газа. Рассмотрим эту теорему. Используя уравнения Гамильтона, получаем тождество 6 . .
дН дН (Р»9») =Р»Я»+ Ч»Р»=Р» Ч» дт др» дч» (42.11) Если система пространственно ограничена и при конечной полной энергии имеет конечную потенциальную энергию, то координаты и импульсы могут принимать лишь ограниченные значения и поэтому среднее по бесконечно большому промежутку времени от левой части (42.11) оказывается равным нулю.
Действительно, определяя среднее по бесконечному промежутку времени согласно (37.3), для левой части (42.! 1) получаем — (Р»9») = 1ш1 - (р»с») ~ - О. (42.12) дс „т г-О Следовательно, применяя операцию временного усреднения к уравнению (42.11), получаем 157 т. е. средняя кинетическая энергия каждой степени свободы равна Ч, Мт.
Соотношение (42.б) имеет название теоремы о вириале потому, что величина (42.14) Следовательно, вириал равен 1 дН веь -а — = — =У 2 дв 2 т. е. потенциальной энергии. Но средний вириэл, согласно (42.10), равен О/2. Этому же равна, согласно (42.8), средняя кинетическая энергия. Таким образом, Э 9 Е= К+ У=-+-= 9, 2 2 (42.16) т. е. средняя энергия гармонического осциллятора равна Э. Для ангармонического осциллятора, описываемого функцией Гамильтона г в Н(д, р) — + — -ба, 2м 2 (42.17) теоремы (42.5), (42.6) уже не позволяют вычислить среднюю энергию, однако из них вытекает неравенство Е>9„ (42.18) поскольку для системы с гамильтонианом (42.17) 1 дН ве~ ь ь Э вЂ” й — = — — 2))й'= (7-Рй'=- дв 15Э 1Н" дН р» — = йв —. дрь двь Таким образом, для любой пространственно ограниченной механической системы с конечной волной энергией и ограничеюшй нотенииальной средняя яо времени кинетическая энергия равна среднему вириалу для любой стеяени свободы.
Последнее утверждение является более общим, чем отдельно взятые теоремы (42.5) и (42.6). Однако оно не представляет теоремы статистической механики и из него нельзя извлечь конкретных выводов для термодинамики, если не принять дополнительное допущение о равномерном распределении кинетической энергии пс степеням свободы. Теоремы (42.5), (42.6) или (42.8), (42.10) позволяют определить среднюю энергию гармонического осциллятора без вычислений статистических средних (4.1). Функция Гамильтона гармонического осциллятора равна р' в* нй.р)= — + —. 2м 2 откуда Д ((+ У 8+Р94 но да) 0 и поэтому справедливо неравенство (41.18). (42.19) 42.1.
Воспользовавшись теоремой Эйлера длх одпородвых функций, доказать, что дла системы часпщ, азаимодеЖтвующих по закову Ньютова, 2К+ 0,э О. 42.2. Доказать, что дла систем граввтацвоипо взаамодействующвх частвц, ао ва близких расстоаввах отталкивеющихса по закову У г, где л > 2, вмеет место ввриальвое аеравевстзо 2Х+ 17 <О. 42.3. Определить среднее чвсло столквоаепай, испытываемых одвой молекулой газа в 1 с. Радиус молекул, температура и плотность газа давы. 42.4.
Двск радиуса и двипетса со скоростью и, ваправлевпой по вормахи к его поверхности, в идеальном газе с температурой Т, состоащем из часпщ массы т, распределевпых с ковцевтрацией р. Найти силу сопротпелепаа двппепаю дасззь преаебрегал отдачей последвего. 42.5. Найти свободвую эпергвю и ураввевие состоаюи идеальвого газа, заюпочеваого в сосуд, закрытый подаипвым поршнем, пагрупевпым массой М. (Поршепь рассматривать как тело, вмеющее одву степевь свободы в паправлевии оси х.) 42.6. Пользуась теоремой о вириале, вайти средвюю эвергию частицы, двизч пущейса ао авешпем поле с потевциалом У(4) а4 (л — ватуральвое число). 42.7.
Авгармовическвй осциллатор с потевшыльаой эиергпей У(х) а(хз+ +ух )/2 ваходвтса а термостате с температурой Т. Найти средвюю потепцвальвую эверппо такого осциллатора, выразвв ее через ввтеграл: ((у) = ехр( — у Яз+71')) 4(. — О 42.8. Доказать, что произвольваа классическаа система взаимодействующих эарадов пе мопет быть раввовеспо вамагвичепа во ваешпем магввтпом поле. 42.9. Система с перемеввым чвслом частиц двух сортов АГ+ в )т' подчвваетса условию )г'++К Д сопщ Найти среднее число частвц )О+, Я а условиах термодивамического равповесиа. Взавмодействием частиц превебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
