Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Так, точное решение уравнений (50.1) для кубического ящика с идеально проводящими стенками имеет вид 180 Е,=Е-'соз(щг-ср)сов/с хв1п/срузш/с,г Е =В~~сов (щг — ср) в(п кх сов /сру вш/с,г, Е,=У,сов(щз — ср)81пй,хв1пЦ усозй,г, В, = Во, зш (щà — РР) 81п /с х соз /с У сов йгг,  — Во зш (ше — 9Р) соз /с,х зш й„У сов йгг, В; — Вр зш(ш! — рр)сов/с х соз Й у вш/с,г, (50.3) . гг Е(ш/ йо=΄—, дщ пгсг (50.6) или, согласно (44.6) и (48.2), Рпо око огг 1Р Е(щ/=и(щ/ Р= — сй — —, З се пгс' т.
е. Вш оро огг и (щ/— р( /Н-1) п*с' Эта формула содержит два качествеыно различных члена, так что и (щ/ можно представить в виде суммы: и(щ/-ио(щ)+и (щ/ (50.9) 181 (50.8) где Й,=я1/с., /с =ят/Х., /с,=яп/Й; 1, т, и — целые числа, шсс =ойргЩ, *р п,р к р р у р пр Ьо=В . Усложнение формы решения (50.3) по сравнению с (49.13) не приводит, однако, к изменению содержания выкладок 8 49 для определения /г1(щ/, и формулы (49.16), (49.19) останутся теми же. Изменение необходимо внести лишь в выражение (49.22), поскольку электромагнитные волны поперечно поляризованы и каждому вектору Ж соответствуют два состояния поляризации, т.
е. не один, а два независимых полевых осциллятора. Следовательно, число полевых осцилляторов электромагнитного поля, имеющих частоты, меньшые ш, должно удвоиться по сравыению с (49.22): У (щ) щз Р/(3кгсз) (50.4) гр откуда оФ (щ/ = — с)щ. (50.5) пгс Полагая, как и в предыдущем параграфе, что средняя энергия полевого осцыллятора и частоты со равна О„, т. еоиспользуя формулы (49.19) и (50.5), получаем для спектральной плотности электромагнитного излучения соотноисение Я) где иа(со)=йсоз/(2язсз) (50.10) Г ъ Л 3 / и /со/=, . (50.11) / l /Об л сзехр [(Лсо/З) — ц Формула (50.11) является а1 знаменитой формулой Планка Рис.
44 для спектрального распределе- ния равновесного излучения черного тела. Впервые она была выведена теоретически Максом Планком в 1990 г. с использованием предложенной им гипотезы квантования энергии. Формула Планка оказалась в прекрасном согласии с экспериментом. Полученная экспериментально кривая спектральной плотности излучения черного тела прекрасно совпала с кривой, построенной по формуле Планка, изображенной на рис. 44. Этим открытием Планка было положено начало развития и построения квантовой теории.
Формула Планка как бы объединила все известные до ее опубликования формулы для равновесного излучения черного тела: эмнирическую формулу Вина (1896) и/со)=асозе а со/(язсз) (50.12) хорошо совпадаюшую с высоких частот со»9/яе, а также нзеоретическую формулу Рэлея — Джинса и /оз) = соз9//язсз) (50.13) полученную непосредственно нз (50.6) путем замены О на 9, т. е.
без учета квантовых эффектов. Эта формула была выведена Рэлеем (1900) и позже подробно обоснована Джинсом. Она оказалась в прекрасном согласии с экспериментом в области низких частот со «9//х Без особых усилий легко видеть, что из формулы Планка (50.11) в пределе при йсо«9 получается формула Рэлея — Джинса (50.13), а при йсо»9 — формула Вина (50.12).
Сопоставление кривой формулы Планка (П) с кривыми формул Рэлея — Джинса (Р— Д) н Вина (В) дано на рис. 44. Классическая статистическая физика в состоянии вывести лишь формулу Рэлея — Джинса. Но эта формула плоха ие только тем, что она расходится с опытом при высоких частотах, но особенно тем, что из нее не может быть получен закон Стефана— Больцмана (48.9).
Действительно, согласно (48.1), полная энергия излучения в единице объема для распределения Рэлея — Джинса равна Е и и/т/=Кж= — ) созЫ (50.14) лзсэ а аФормува Вина написана здесь в современных обозначен:ввх. 182 40 ~е 60 о>ов о 1ее 1 зову У(Т) =Ю= и(со) дв- е~со ) еор(осе/8) — 1 еосоАо ~ е -1 о о о Стоящий в (40.15) определенный интеграл вычисляется как (50.15) ~О О | „з 1„ У ву з( -У+ -н+ -ь+ )б У е — 1 о о =Р'~ '6~~1~ — + — +...)1=б — = —, 2 3 ( 90 15 о т.
е. (50.16) о Следовательно, (50.15) можно представить в виде Ю= аТ4, где а=(соко)(15йзсз) (50.18) Таким образом мы получили закон Сслесбана — Болоцеоана, причем постоянная а выражается через мировые константы. Некоторые затруднения в рассмотренной квантовой теории излучения вызывает первый член ио(со) в общей формуле (50.9) для и(со). Нетрудно видеть, что полная энергия О Бо= | ио(со) бсо-+ со. о (50.19) 183 т. е.
расходящееся выражение. Этот бессмысленный результат называют ~иоленсовой катаснсросбой, как выражение той особенности классической теории, что степени свободы, соответствующие большим ш, имеют в совокупности возрастающую с со до бесконечности среднюю энергию. Это обстоятельство было одним нз решающих аргументов в пользу принятия планковской гипотезы квантов энергии. Нетрудно заметить, что для распределения Планка фиолетовая катастрофа исключается. Закон Стефана — Больцмана (48.9) получается посредством интегрирования (50.11) по всем со.
Действительно, согласно (48.1) и (49.11), полная энергия излучения черного тела Этот результат представляется теоретически неприемлемым, и первоначально пытались всевозможными путями устранить нз общей формулы (50.8) — (50.9) член пе(оэ). Однако этот член в квантовой теории неизбежно появляется, так как любой линейный вли пространственный осциллятор имеет энергию нулевых колебаний лгп/2. При бесконечном же числе полевых осцилляторов приходящаяся на них энергия будет тоже бесконечной. Оказалось также, что энергию нулевых колебаний нельзя выбросить из теории, так как эффекты, связанные с этими колебаниями, обнаруживаются экспериментально по смещению спектральных линий атома водорода.
И если предположить, что нулевые колебания отсутствуют, то экспериментально наблюдаемое смещение остается необьяснимым. Таким образом, с одной стороны, нулевые колебания осцилляторов поля должны учитываться строгой квантовой теорией, а с другой стороны, получающаяся в результате учета нулевых колебаний бесконечная энергия поля вряд ли может оказаться физически приемлемой в любой теории.
Здесь мы сталкиваемсв с одним из неразрешимых парадоксов квантовой теории поля. Разрешение этого парадокса, по-видимому, приведет к построению новой, более совершенной теории, чем существующая квантовая теория поля. Интересно то, что этот неразрешимый в квантовой теории парадокс нулевых колебаний возник в самом начале ее становления, при последовательном выводе формулы Планка, которая положила начало всей квантовой теории. 88.1. Кривел эековв раввовесвого излучеиил Планка имеет максимум при честоте ы . Определвть отвошевил частот ге при резличвык темперетугил. 50.2. Вычислить средвее кведретичвое укловеиие ввергли равновесного излучевик черного теле, првкодыдейск вл честотвый ввтервел ого. 51. Эйиштейиввский вывод формулы Планка В предыдущем параграфе мы привели наиболее строгнй— квантово-статистический — вывод формулы Планка.
Существует, однако, целый ряд иных выводов, из которых особое внимание заслуживает вывод распределения Плавка, предложенный в 1916 г. Эйнпггейном. По сути, вывод Эйнштейна является кинетическим, так как опирается на представление о вероятностях перехода между квантовыми уровнями, т. е. понятиях, чуждых равновесной статистике и термодинамике. Рассмотрим систему с дискретными энергетическими уровнями, т. е. квантовую систему. Выделим какие-то два соседних уровня 184 с энергиями е, и 8,.
Вероятности пребывания О/()Во О1'//5, системы в этих состояниях в равновесии, согласно (42.7), соответственно лропорциональыы: И; ехр(е,/9), Ис2-ехр(82/9). (51.1) Рис. 45 Если в соответствыи с Гиббсом представить ансамбль таких невзанмодействующих систем, то вместо вероятностей можно говорить о числе частиц К, и Ж„находящихся ыа уровнях 8, и 8,. Если рассматриваемая система находится во взаимодействии с электромагнитным излучением, то оыа может переходить из состояния 2 в состояние 1, испуская световой квант энергией /ко, или из состояния 1 в состояние 2, поглощая такой квант. Разделяя возможные переходы между уровнями 1 и 2 на спонтанные и вынужденные, Эйыштейн предположил, что вероятность спонтанных переходов 2-+1 пропорциональна А22Ис„а вынужденных излучением спектральной плотности и/со/ переходов 2~1 пропорциональна Вии /со/ И2 и индуцированнь)х излучеыием переходов 1~2 Вии 1'со/ И', (рис.
45). Или, переходя к числам частиц ансамбля У2 и К„можно предполагать, что число спонтанных переходов 2-~1 А22Ф„число вынужденных переходов 2-+1-Впи/со/Ф2, а число индуцированных переходов 1~2-В22и /со/ Фь Но в равновесыи число переходов 2- 1, очевидно, должно быть равно числу переходов 1-+2: (51.2) /1/2А22+ Ф2и / со/ Ви = К2Вии /со/, откуда Аи/Ви Аи/Ви и /'со/ (В22/В22) (/~/2М) 1 (В Отношение коэффициентов Вп/В22 не может отличаться от 1, так как только в этом случае и 1'со, 9/- со при 9- со, в противоположном случае вопреки закону Стефана — Больцмана и /'со, 9/ остается конечной при 9-+ со. Таким образом, должно иметь место равенство коэффициентов В,2 и Ви: В!2 В21 В (51.4) Что касается отношения коэффициентов А2,/В2ь то оно должно быть таким, чтобы при со- 0 выражение (51.3) совпадало с формулой Рэлея — Джиыса (50.13), получаемой из классической статисти- 185 ки, т.
е. из теоремы о равномерном распределении и теоремы о вириале. Но при О->со е — 1-вайса(Э и, таким образом, в пределе еи/Ви <о' — чи= — 8, ьи иссз (51.6) т. е. Ли ассз Вз~ и*сз Итак, согласно (51.4) и (51.7), вновь получается формула Планка и (са, 1Ц =йсаз((язез (ез'1е-1)). (51.8) Заметим, что при этом выводе в отличие от последовательного квантово-статистнческого отсутствует член (50.11), обусловленный нулевой энергией полевых осцилляторов. Нетрудно заметить, что в выводе Эйнштейна существенна направленность течения времени, так как учитываются только спонтанные переходы с высшего уровня на низший, но не наоборот.
Однако если мы мысленно обратим течение времени, т. е. перейдем к схеме переходов, изображенных на рис. 46 (вместо рис. 45), то соответствующее (51.2) уравнение баланса запишется в виде И~Ап+ Мзи (и( Вп — — М,и (аз( Взи (51.9) из которого получаем и (аз( = (А п(Вп(ЦВы И1(Вп(1(з( — Ц, (51. 10) из которого, полагая Вп— - Ви и Аи(Ви — — и (аз(, получаем и, полагая з 1е Вп=Вн, Ап=Ап, К~(Кз=е вновь получаем формулу Плавка (51.8). Если же рассмотреть совершенно обратимую схему спонтанных и индуцированных переходов, изображенную на рис. 47, то соответствующее уравнение баланса имеет вид (1(зАз~ + ЛЩ~ и (аз( = ИВпи (аз(+ Ф~Ап, Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
