Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 30
Текст из файла (страница 30)
М., 1980. С. 113. 174 Согласно закону Кирхгофа (47.6), излучательная способность черного тела (А= 1) равна К(со, Т), т. е. универсальной функции, зависящей лышь от со и Т и не зависящей от других свойств излучателя. Таким образом, полное ызлучение из малого отверстия в полости объемом 1; стенки которой нагреты до температуры Т, зависит универсальыым образом лишь от оэ и Т и площади отверстия, так как поглощательная способность А такого малого отверстия равна 1. Следовательно, излучение, заключенное в замкнутом обьеме Р, стенки которого имеют температуру Т, также представляет излучение черного тела и его энергия в единице обаема, приходящаяся на интервал частоты бго, является универсальной функцией У(го, Т).
Термодинамическим методом невозможно определить вид функции У(оэ, Т), однако, как это показал Больцман, термодинамика, используя общие свойства электромагнитного поля, позволяет вычислить полную пространственыую плотность энергии излученыя согласно (48.2), (48.3), имеем тЙБ=Й (уу/+-'ау 3 (48.4) дБ= — ЙУ+--дУ. У 4 У т эт (48.5) Но У есть функция только температуры: бУ= — бТ. ат (48.6) Следовательно, аБ= У/~Т вЂ” бт+4/з — ау= — ат+ — 6К ат т ът ъу откуда (48.7) (48.8) 48.1. Показать, что длл равиовесиого излучмгиа зитропик Я=а/за УТз и свободиак анара Г= — '/з (а УТ'). 48.1.
Показать, что длк равновесного юлучеюы термодииамическиа потевциал Ф = О и химический потенциал д =О. 175 Производя дифференцирование, получаем 1аг/ 4/1аг/ г/1 аг/ ат — — — — или — = —. 4т З ~,чт ат 7',/ у т Интегрируя это уравнение, находим У= Та, (48.9) где а — универсальная константа. Уравнение (48.9) называется законом Стефана — Болье/мама, теоретически выведениым Больцмаиом и эмпирически установлениым Стефаном.
Значение константы а, найденное опытным путем, равно (48.10) а=7,64 10 "эрг/(граде смз). Для определеиия спектральной плотности излучения У/'гп, Т) черного тела необходимо перейти к статистическому рассмотрению электромагнитного поля как динамической микромодели. 49. Статистическая теория распределенных систем В отличие от системы материальных точек, имеющей конечное число степеней свободы, электромагнитное поле является распределенной системой с бесконечным числом степеней свободы. Вследствие линейности уравнений электромагнитного поля любое их решение может быть представлено в виде суперпозиция монохроматических волн, которые могут рассматриваться как отдельные степени свободы поля, каждая с определенной частотой ш.
Частотный спектр простирается от щ = О до щ = со, т. е. не ограаичеи, и поэтому для распределенной системы имеет смысл интересоваться статистическими средними для определенного частотного интервала от ог до ог+ Йгл, в котором может содержаться оК (ег) монохроматических волн. В качестве простейшего примера распределенной системы рассмотрим струну, амплитуда колебаний которой подчиняется урав- нению дгф 1 дгф — — — =О, дхг сг дгг (49.1) Е= — д' +сг д" дх, (49.2) где е — линейная плотность массы струны.
При закрепленных в точках х=О и х=А концах струны решение уравнения (49.1) имеет вид Г2 яп у7(х, у)=с ( — ~~~ д„(г) зш — х, (49.3) а ! где д„(1) подчиняется уравнениям ф„+ ег„д„= О, г где ег„= ясл/Е.. Подставляя (49.3) в (49.2), получаем для энергии струны выражение (49.5) (2 2 т. е. энергия струны может быть представлена как сумма энергий некоторых абстрактных полевых осцилляторов д„, подчиняющихся уравнениям Гамильтона с гамильтонианом вида 176 где с — скорость распространения возмущений. Энергия поля струны (49.6) откуда Ььэ Ав Ь Ь Е (в) йв = — с1'и — — йсо = 1Эм — йго, 2 2Эос ес (49.9) или Е(в) йго=8 — йсо (49.10) ос в классическом пределе при 61»йсо. Эти формулы и определяют снектральную плотность энергии для одномерной распределенной системы тина струны.
Больший физический интерес представляет, однако, ые одыомериая система типа струыы, а нространстеенно распределенная система, подчиыяющаяся волновому уравыеыию (49.11) е~ дР Аналогично (49.2), энергия поля 'Р определяется как величина, пропорциоыапьыая выражению +саару)з йь (49.12) 177 т. е.
к системе с бескоыечыым, ыо счетным числом степеыей свободы. Но к такой системе независимо от ее фызической природы могут быть применены все выводы статистической механики, в том числе формула (43.6) для средней энергии квантового осциллятора или теорема о равномерном распределении и теорема о вириале в классическом случае. Следовательно, средыяя энергия, приходящаяся ыа интервал частот от со до в+йсо, для распределенной системы типа струны равна Е(го) йго=Е(8, со)йЖ, (49.7) где йН вЂ” число полевых осцилляторов, имеющих частоты, лежащие в указанном иытервале, Е(61, го) — сд:дыяя зыергия осциллятора, т.
е., согласно (4.6), 8 =- — сбз — в квантовом случае 28 или О в классическом случае [согласие (42.16) или (44.18)]. Поскольку го„=ясп/Ь, постольку йФ= — йго, (49.8) Если в качестве граничного условия выбрать Ч'=0 на гранях куба с ребром длиной Ь, то частное решение (49.11) имеет вид ~=~,зш(вг — гр) вша„хзшй узш Й,г, (49.13) где К,У.=Я1, к,а=лги, Й,з.=кл, (49.14) причем 1, т, и — любые целые числа, а ш связано с /с„, к,„к, отноше- пнем 02' Ц+ /су+ й~- —,= 0 с~ (49.15) или (49.16) Можно показать, что выбор формы граничной поверхности практически не сказывается на окончательном' результате для достаточно высоких частот, поэтому мы выбрали простейший вид ограничивающей поверхности.
Аналогично (49.3), общее решение может быть представлено в виде суммы решений вида (49.13) по всем возможным значениям чисел 1, т, л, а энергия, аналогично (49.5), может быть представлена как сумма энергий полевых осцилляторов 9, =д',„„зт(гл, г — р, ), (49.17) ла подчиняющихся уравнениям движении 9~ +гозь„йь =О. (49.18) Исходя из соображений, совершенно аналогичных тем, которые мы применяли в случае струны, можем считать, что на каждый полевой осциллятор приходится средняя энергия О„= /ю ав = — сгп —, тогда 2 2Э Е(оз) Йш=О„Йг1(го). (49.19) Однако дК 1'со) в формуле (49.19) отличается от бК 1'в) для струны [см.
(49.6)]. Для вычисления оК 1'го) в случае трехмерно распределенной системы рассмотрим прост анство вектора к с компонентами й„й», к, и общей длиной и= lс',+/с'+й,' (рис. 43). Очевидно, векторы й, упирающиеся своими концами в узлы кубической пространственной решетки, сложенной из элементарных К (/с) х (объем ячейки) =(объем октанта), откуда 1а 3/ '1з Л1 ((с) я,~ 3( 83 Ц (49.20) Замечая, что Ьззл К где Р— объем пространства, ограничеыыого поверхностью с заданными значеыиями з7з=0 (т.
е. объем, в котором заключено поле з(з), получаем Ф (Ц =(сз $7(бяз) (49.21) или, переходя от /с к оз=с(с, для числа полевых осцилляторов, имеющих частоты, не превышающие ш, имеем К (ш) = озз 1г/(бязсз) (49.22) Отсюда число нолевых осцилляторов, имеющих частоты, лежащие в интервале от со до со+бго, очевидно, равно бУ(оз) = бсозл —,бсо. дд7 (сз) иР Г доз тлзсз (49.23) Таким образом, средняя эыергия, приходящаяся на иытервал частот от оз до оз+йго простраыственыо распределенной сыстемы, подчиняющейся волновому уравнеыию (49.11), согласно (49.19) и (49.23), равна в общем случае ,зР гз 7 с,зР Е (оз) 11со = ń— без = — сбз — — доз тлзсз 3 3Е тлзсз (49.24) 179 кубиков с ребрами длиной я/Ь, изобразят сА„ все допустимые условием (48.14) векторы 11 и, следовательно, все возможные частоты %+Е~зз.
Опишем в пространстве вектора 1с е- ы! с~з рическую поверхность радиусом (с ы ©опозначим через Х(к) число узлов кубической решетки, ыаходящихся в одном октанте выутри этой сферы. Очевидно, Ю (/с) имеет смысл числа всех полевых осцил- сл г ляторов с волновым числом, ые празышающим по абсолютному значению зс. Рис. а3 Если радиус сферы велик по сравнению с длиной ребра элемеытарного кубыка, то число Ф(зс) можно прыближенно положить равным числу кубиков, находящихся внутри рассматриваемого октанта. Следовательно, или в классическом случае при б1» Ьв оэк Е/с1) бсо=Э вЂ” би.
2 ~„.~ (49.25) 50. Формула Плавка для спектрального распределения энергии излучении черного тела Электромагнитное излучение в вакууме такого же типа, как рассмотренное в предыдущем параграфе. Действительно, электромагнитное поле в пустоте подчиняется уравнениям Максвелла: 1 дЕ го1 — — — =О, йт Е=О, с д( 1ди гогЕ+- — =О, йч В=О. с дс (50.1) Следствием этих уравнений являются волновые уравнения для век- торов поля: (50.2) Следовательно, компоненты электромагнитного поля подчиняются волновым уравнениям типа (49.11).
Отличие будет состоять лишь в виде граничных условий. Если стенки куба, ограничивающего электромагнитное излучение, считать идеально проводящими, то на поверхности стенок касательная проекция вектора Е равна нулю, т. е. Е~=О, а нормальная ее проекция, т. е. Е., удовлетворяет условию дЕ /дх„=О, где х„— координата в направлении нормали к поверхносги. Для вектора В нормальная составляю1цая равна нулю, т. е. В„= О, а касательная проекция В, удовлетворяет условию дВ,/дх, = О, где х, — координата в направлении, параллельном Вг Это не скажется, однако, существенно на виде решения (49.13). Решения для Е и В будут отличаться от (49.13) лишь тем, что некоторые синусы заменятся косинусами тех же величин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
