Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 22
Текст из файла (страница 22)
достижение' абсолютного нуля температуры тем более невозможыо. еФорма кривых, иэобраиеввмх ва рис. 33, обусловлева условием устойчивости Равиовесив (27.11), т. е. тмоке востулатом Нервста — Плавка, т. е. ус=о. 123 Недостижимость абсолютного нуля температуры представляется еще одним веским аргументом против допущения отрицательных абсолютных температур в дополнение к заключению, вытекающему из соотношения (17.7), определяющему абсолютную температуру, согласно которому последняя может быть либо положительной, либо отрицательной. Действительно, если отрицательные абсолютные температуры допустить физически реальными, то недостижимость абсолютного нуля препятствует переходу к ним через нулевую температуру. Однако нет никаких запретов для перевода системы в область отр~щательных температур через область бесконечных температур, т.
е. при переходе холодности ЦТ через нулевое значение или другим существенно необратимым путем. Поэтому допустимость или недопустимость абсолютных отрицательных температур может быть обоснована'лишь исследованием возможности физических систем, состояние которых может быть описано как состояние с отрвцательной абсолютной температурой. В $ 95 с позиции квантовой статистики показано, что такие системы возможны, там же рассмотрен н чисто двнамнческвй аспект систем, находящихся в состоянии с отрицательной абсолютной температурой. ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ 35.
Исходные представления классической статистической теории равновесных состояний Из термодинамического метода, рассмотренного в предыдущей главе, мы установили, что выражения термодинамическнх потенциалов как характеристических функций от естественных переменных позволяют получать посредством их дифференцирования термические и калорические уравнения состояния. Однако термодннамический метод сам по себе не содержит каких-либо рецептов для теоретического вычисления этих потенциалов. Он позволяет лишь из экспериментально установленных термических уравнений состояния определять калорическне соотношения, и наоборот. Вычисление термодинамических потенциалов исходя лишь из атомистической модели оказывается возможным в статистической теории равновесных состояний термодинамических систем.
В зависимости от типа атомистнческой модели эта теория может быть как классической, так и квантовой (в соответствии с таблицей, приведенной в $ 1). Прежде сссгэ;."ы рэ ".",х .—:; рпм классическую статистыческую теорию равновесных состояний, нли статистическую механику. Первоначально мы ограничимся классической статистической теорией изолированных или закрытых термодинамических систем. В основе теории таких систем лежит классическая модель консервативной системы Ф материальных точек с гамильтонианом Н(Х, а), где Х вЂ” совокупность канонических переменных [см. 15.4)], а— внешние параметры. Чтобы выбранная классическая модель описывала термодинамическую систему, гамнльтониаи как функция координат и импульсов должен иметь минимальное значение, соответствующее состоянию механического равновесия н(х, а>=е =г 135.1) а потенциальная энергия взаимодействия точек друг с другом, т.
е. 11» (~г,-г4), должна быть достаточно быстро убывающей функцией аргумента ~г,-г~), т. е. силы взаимодействия — достаточно короткодействующимн. 125 Первое (налычые Ем3 необходимо для удовлетворения постулата существованыя термодннамнческого равновесия, а второе (короткодейсгвующее взаимодействие) — для удовлетвореныя постулата адднтывностн энергии макроскопыческой системы. Итак, выбранная модель опысывается гамнльтоннаном выда~ и 1н н и (35.2) Н(Х, а) = ~ — '+- ~, ~ У»()г!-г«1)+ ~ ()г(г„а), а! а !!ь! 2 ! 1 где первый член представляет кынетыческую энергию, второй— потеыцыальную энергию попарного взаимодействия частиц друг с другомвв, а третий — потенциальную энергию взаимодействия с внешними телами.
Очевндно, У» (г) — короткодействующнй по- тенцнал взанмодейсгвня, обязательно имеющий минимальное зна- чеыыеввв Для вычисления фазовых средыых необходымо знать фазовую плотность вероятности ю (к, г), подчнняющуюся, как это было установлено в й 8, ураныенню Лыунылля (8.8). Ио для системы, находящейся в состояннн термодннамнческого равновесия, все фа- зовые средние (6.4) от физических величин Г(к) не взменяются со времеыем, что осуществымо лишь в случае неызменносты плотности вероятности, т.
е.прн б — =О. д! (35.3') Таким образом, равновесная плотность вероятности для сыстемы с гамнльтоныаном (35.2) подчиняется укороченному уравнению Лнувылля (Ню) = О. (35.4) /1 11 Гг(г) ~ — — — ) а. !э «) (35.1) «модель с таю»« гамвльтовианом ивино назвать моделью Бошкоавча по имени югославского философе, пившего а ХУШ в. (1711 — 1787).
Бошковвч полагал, что «матерю! состоит ю точек — атомов, вэавмодейстауюшвх салама првтаиевва иа далеком расстолвви и обазательно силами отшлкивапна ва блиэквх расстоаппаз (быстро возрастаюшик с уменьшением расстоаниа)в. ««Иногда рассматрввыот более оконные, тройные или мультичастичвые, потенциалы азаимодействиа, однако ташю юавмодейставл, как правило, имеют ве хлассвческую, а квантовую првроду и более посаедоаательио их рассматривать а квантовой статиствке. *в«Под короткодейстауюшвм поввмаетса такой потевцвал„который ва большвх расстоаниах убывает как г, где и > 2. Примером короткодейстауюшего потенциала взавмодейстаиа, вмеюшего минимум, вала«тек потенциал Левпарда — дион«а Поскольку Н вЂ” интеграл движения механической системы, постольку и и (Х) является интегралом движения, как это следует вз механикие для любой величины, удовлетворяющей уравнению (З5.4).
Иначе говоря, равновесная плотность вероятности и (Х) может быть лишь интегралом движения или, что то же самое, функцией механических интегралов движения: гг(Х) гр(Н (Х) Ч 1 (Х) Ч 2 (Х) ) (35.5) где % (Х), Ч'з (Х) .. — какие-то механические интегралы движения рассматриваемой системы. Из аналитической механики известно, что все интегралы движения консервативной механической системы подразделяются на качественно весьма различные классы. Наиболее простым классом являются семь первых интегралов, существующих для всякой свободной, т.
е. не подвергаюшейся внешним воздействиям, системы вследствие однородности и изотропности пространства и однородности времени. Этими так называемыми аддитивными интегралами являются энергия Н(Х), импульс системы р(Х) (три интеграла) и момент импульса М (Х) (три интеграла). Остальные интегралы, как правило, не алгебраические функции от канонических переменных, нерегулярно, разрывно изменяющиеся от точки к точке, как это следует, например, из теоремы Ненлеве для проблемы К телье. Возможен и другой случай, когда система разбивается на изолированные друг от друга подсистемы, каждая из которых имеет свой интеграл энергии, а может быть, и другие интегралы из первых семи.
Примером такой системы является идеальный газ, а также линейная система связанных осцилляторов. Последняя система, описываемая в нормальных координатах, представляет совокупность несвязанных нормальных осцилляторов. Рассматриваемые нами термодинамические системы — это пространственно ограниченные совокупности взаимодействующих молекул. С механической точки зрения, это система взаимодействующих материальных точек, находящихся в потенциальном «ашике», т. е.
Ьо внешнем поле, потенциал которого стремится к бесконеч'ности вне пределов объема «ящика». Но для таких механических систем не сохраняются импульс р и момент импульса М системы, .Р м 1 ~а .с д еТерлевкий Я. П. Теоретвческаа мехаввка. М., 1987, з 39. е'Теорема Певлеае яаляетск обобщеввем ва Хутел теоремы Брувса, доказаввой для залачв трех тел, тяготеющвх по закову Ньютова. Брукс доказал, что асаквй алгебравческвй ввтеграл задачи трех тел аве зависимости от того, содерввт лв ов ааво време влв вет, складывается ю десатв классвческвх юпегралоа (ввтегралы звергвв, вмпульса, момевта импульса в цевтра вверцвв).
Пеллеас доказал, что асяквй ввтеграл задача )ч тел, яаляющвйся атебравческой функцией от скоростей в какой угодно фувкцвей от кооррдвват, есть комбввацвя десатв классвческвх ~втегралоа (смз увоивекер Е. Г. Аваквтвческая дввамвка. М. — Л., 1937). 127 ю (Х) может быть функцией лишь энергии Н(Х) и неаддитивных интегралов даюкения. Иначе говоря, все Ч'„в выражении (35.5) являются неаддитивными интегралами движения. Чтобы сузить класс возможных функций фазового распределения в (Х) для термодинамических систем, заметим, что макроскопычески равновесное состояыие таких систем полностью определяется их энергией и выешыими параметрами (см. э 12), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
