Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Этот результат представляется само собой разумеющимся с точки зрения классической теории, так как мы уже видели, что в случае распределения Максвелла — Больцмана средняя плотность числа частиц пропорциональна плотности вероятности нахождения одной частицы в заданной точке фазового пространства [см. (55.10)1. Однако квантовая формула (58.6), называемая формулой сопашисвоики Болоимаиа, приводит к неверным результатам при применении к конкретным системам, находжцимся при достаточно низкой температуре.
Остановимся на классических конкретных примерах. 1. Фотонный газ. Попробуем вывести формулу Планка исходя не из модели полевых осцилляторов — стоячих волн, а из представления о свете как совокупности фотонов и применяя формулу статистики Больцмана (59.6). Возможные энергии фотонов, т. е. возможные энергетические уровни ео в формуле (59.6), определим из волновой картины. Следовательно, число уровней, лежащих в интервале энергий о, о+де, определяется из формулы (50.5), если частота и энергия фотона связаны соотношением Эйнштейна 214 а=йсо.
Отсюда получим (59.9) эзэ дэдззэ (59.10) Если, согласно (59.6), на каждом уровне находится в среднем 1з-еУН (59.11) фотонов, то средняя энергия в интервале йа равна и/а/ба=ай(е)6/з/1а) =сопа1 аэе йа или для спектральной плотности (59.12) 1 л (в) = е — 1 (59.14) 2. Электроны в металле. Электроны проводимости в металле движутся почти свободно. Согласно (59.6), среднее число электронов на заданном уровне пропорционально вероятности одному изолированному электрону иметь данную энергию. Следовательно, средняя энергия электронного газа в металле равна средней энергии одного электрона, умноженной на общее число электронов К,. Средняя энергия одного свободного электрона равна классической энергии, приходящейся на свободную частицу с тремя степенями свободы, т.
е. э/эО. Таким образом, средняя энергия всего электронного газа в металле равна Е=Ф,- 61=- 11,Т, 2 2 (59.15) откуда обусловленная электронами теплоемкость равна э/, Я,. Этот Результат не подтверждается опытом, так как оказывается, что теплоемкость металла определяется только ионными колебаниями Решетки и электроны проводимости ничего не вносят в теплоемкость. Итак, формула (59.6) статистики Больцмана в ряде случаев дает неверные результаты при низких температурах.
215 и /'оэ) боэ=сопа1 оээ е ~Иго. (59.13) Таким образом, мы получили не формулу Планка (50.11), а приближенную формулу Вина (50.12), справедливую только при высоких частотах. Легко видеть, что формула Планка получилась бы лишь в том случае, если вместо (59.11) подставить 60. Статистика Бозе — Эйнштейна н Ферми — Днрака В й 59 в качестве простейшего решения уравнения Шредингера для системы частиц мы брали произведение собственных функций Ч',(га), т. е. выражение (58.8). Известно, однако, что суммы такого рода решений также являются решениями этого уравнения. Кроме того, в квантовой механике существует принцип неразличимости тождественных частиц, вследствие которого системы одинаковых частиц могут иметь либо симметричные, либо антисимметричные относительно перестановок координат волновые функции*. Если сшш частиц системы целочисленный (п=йн, где п= О, 1, 2, 3, ...), то в соответствии с теоремой Паули система должна описываться симметричной волновой функцией.
Если же спин частиц полуцелый [<т=й(')а+и), где п=О, 2, 3, ...), то система должна описываться антисшаметричной волновой функцией. Выражение (58.8) не является симметричной или антисимметричной волновой фушщней. Поэтому изображаемое ею состояние не является допустимым этой теоремой. Очевидно, для системы с целым олином (например, фотоны илн я-мезоны) вместо (58.8) надо брать сумму вила (60.1) где Р— операция перестановки координат частиц; ф — волновая функция, изображаемая формулой (58.8), причем суммировать необходимо по всем возможным перестановкам частиц. В частном случае двух частиц (60.1) приобретает вид р (Гь Г2) = (Фя (Г!) Фа (Г2)+ ФГ2(гд ~й (Г2Н/чу.
(60.2) Для системы с полуцелым олином (например, электроны или нуклоны) вместо (58.8) надо взять сумму ~~ Р4~ = бе1 !! ГУа(г>) Ц~/М, Р (60.3) евообще под координатами частнпы здесь надо понвмать совокупность трех пространстаенвык координат хь уь ка и сивковой координаты еа. 216 где Р и ут те же, что в (60.1), но знак плюс надо выбирать для перестановки, полученной четным числом транспозиций координат, а знак минус — для перестановки, полученной нечетным числом транспозиций. Иначе говоря, (60.3) является детерминантом, составленным из элементов па= фа(Г,).
В частном случае двух частиц (60.3) сводится к Фг (п)Фг (ог) — Фг бэ)Ф! Фг) Ф(гь гг)= ,(з Если система описывается волновыми функциями (60.1) или (60.3), то любые перестановки координат частиц не меняют вида этих функций и лищь могут изменить знак функции в случае (60,3). Следовательно, перестановки не дают новых физических состояний системы, так как волновая функция, умноженная на любое число, в том числе и на минус единицу, изображает то же самое квантовое микросостояиие. Таким образом, в отличие от (58.8) волновые функции (60.1) и (60.3) описывают невырожденные состояния и поэтому 8(Е)=1. Кроме того, не надо делить вероятность на М, поскольку перестановки одинаковых частиц не приводят к новым микрососгояниям, т. е. все онн рассматриваются как одно и то же микросостояние и учитываются один раз.
Это проявление квантовомеханического принципа неразличимости тождественных частиц. ' Если 1,=1, [см. (60.4)], то Ф(г„гг)=0, что справедливо и для функции многих частиц (60.3), т. е. общая функция системы становится тождественно равной нулю, если хотя бы две из входящих в детерминант (60.3) функции одинаковы.
Но тождественное равенство нулю волновой функции означает, что вероятность такого состояния также равна нулю, т. е. такое состояние неосуществимо. Следовательно, в случае антиснмметричной волновой функции, т. е. для частиц с полуцелым олином, числа заполнения вг не могут быть большими, чем единица, так как уже при вг=2 в произведении (58.8) две функции одинаковы (принцип Паули).
Для симметричных волновых функций (60.1) или (60.2) числа заполнения могут быть любыми: лг= О, 1, 2, .... Учитывая вышесказанное, распределение (58.13) частиц с целым сливом имеет вид К'(по, п„...)=ехр Й+~~' вг(д — аг) 9 . (60.5) г-о Для частиц с полуцелым сливом учет принципа Паули можно осуществить, дополнив (60.5) множителем П(6,+А;), (60.6) г о так как по свойству д-символа это выражение равно единице, если все вг<2, и обращается в нуль, если хотя бы одно из чисел пг>1.
Таким образом, для систем, описываемых антисимметричными зп волновыми функциями (60.3), распределение (58.13) прыыимает форму м ~й+ 2, о~(И вЂ” ой )т'1'ио, иь „..) =ехР ~ о-о 1 П (оо,+оо,,). .~ о-о (60.7) 0(ио иь ...)=1. (60.8) Распределение вероятностей Ферми — Дирака получается при 6 (ио, и, - ) П (Аь,+61.,) (60.9) о о И. наконеп, выражение, которое можно назвать расиределением вероятностей Больцмана, получается нз (58.13), еслы 1 6(ио, иь,.)= —. (60.10) вобл~! ... Очевидно, выражения для среднего числа часпщ в случае статистики Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака будут отличаться от случая статистики Больцмана, т.
е. от (59.6). Так же как в случае статистики Больцмана, для вычисления воспользуемся ыскусственным математическим приемом замены д на рь Тогда вместо (59.3) в случае статистыки Бозе — Эйнштейна, согласно (58.15) и (60.8), получим Я=~, ~... ехр ~„ир(р,— в,) О =ПХ ° р "— '"=П, (60.11) 218 Очевидно, что числа заполнения удовлетворяют условию (58.11), где л1=сопз1 для закрытых систем. Принято называть формулы, получающиеся нз (60.5), формулами статистики Бозе — Эйнштейна, а формулы, получающиеся из (60.7), — формулами статистики Ферми — Дирака. Следовательно, системы одинаковых частиц целого спина (фотоны, я-мезоны, к-мезоны) описываются формулами статистикй Бозе — Эйнштейна, а системы одинаковых частиц полуцелого спина (электроны, нейтрино,,и-мезоны, нуклоны, гипероны) — формулами статистыки Ферми — Ддрака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
