Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Общим выражеыием распределения вероятностей для систем с переменным числом частиц является (58.13). Для того чтобы получить нз него распределение вероятностей Бозе — Эйнштейна, надо положить откуда, согласно (58.16), (60.13) ! (ч-к)!е е — 1 Химический потенциал д в распределении (60.13) для системы с фиксированным числом частиц может быть получен нз условия ~ в! — — /1/, ! о вытекающего из (58.11).
Для открытой системы он определяется условиями термодинамического равновесия с окружением, с которым система обменивается частицами. Аналогично, в случае статистики Ферми — Дирака, согласно (58.15) и (60.9), Е= ~, ~ ... ехр ~~!" в!(д!-е!) О = =П ~ ехр =П 1+ехр (60.15) откуда Й = — 1й ~„1п (1+ ехр [(и!- е!)/Щ). ! Подставляя (60.16) в (58.18), получаем для случая статистики Ферми — Дирак а в! = 1/(ехр [(е; д)/О]+ 1], (60.17) где д, так же как и в предыдущем случае, определяется из условия (60.14).
Легко видеть, что при -и»з (60.18) распределения Бозе — Эйнштейна (60.13) и Ферми — дирака (60.17), (60.18) переходят в распределение Больцмана (59.6). Дело в том, что заселенность верхних уровней (60.18) мала [см. (60.13)], в!«! и, следовательно, частицы на ннх можно считать микроскопически различными.
219 0=0 ~~! 1п(1-ехр[(д;е!)/181]]. !-о Следовательно [см. (58.18)], для статистики Бозе — Эйнштейна распределение средних чисел заполнения равно Задача 60Л. Вычислить средиее квадратичвое укловевие чисел заволвевик звергети. ческого уроава в случае статистики Больдмава — Бозе — Эйиштейва в Ферми — дврака. рассмотреть случай выроидеввого ферми-газа и случай ковдеисвроваввого Бозе-газа.
зт'= 2, 1 ехр Н -1, или, согласно (59.10), (61. 1) 60 (61.2) может быль функцией только температуры. Но в выражение (61.2) кроме температуры входит также параметр д. Поэтому Я„определяемое формулой (61.2), зависит лишь от 9, т. е. не зависит от д только в том случае, если д= 0. (61.3) К такому же выводу можно прийти непосредственно нз того факта, что термодинамический потенциал равновесного излучения равен нулю. Следовательно, для фотонного газа среднее число фотонов с данной энергией а Л(в)=1 ехр — — 1 .
(61.4) 220 61. Приложение статистики Бозе — Эйнгптейгиа к фотонному газу Фотоны имеют спин, равный единице, поэтому для них надо использовать формулы статистики Бозе — Эйнштеина. Следовательно, для среднего числа частил, имеющих заданную энергию, надо брать формулу (60.15). 'Специфическим для фотонного газа является отсутствие какого- либо закона сохранения, фиксирующего число частиц. Иначе говоря, фотоны могут поглощаться н излучаться без всяких ограничений, т. е.
их число не фиксировано н условно (60.14) для них не имеет места. Из термодинамики известно„что равновесное излучение (т. е. фотонный гвз, находящийся в состоянии равновесия) является системой с одной степенью свободы Иначе говоря, состояние равновесного излучения полностью задается температурой, т. е.
все внутренние параметры — давление, энергия, среднее число фотонов н т. д. — могут зависеть только от температуры. Следовательно, среднее число фотонов Используя эту формулу, а также (59.10), получаем для единицы объема ээбэ и (л) да = ел Й) дй11в) = ... нзсэЛэ е„р(е/8) 1' (61.5) илн, согласно (59.9), 1 эбо и 1'гл) бел=,, вэсэ [ехр (ухо/9) — ц (61.6) Задача 61.1.
Найти завнснмость среднего числа фотонов равномсвого нзлученнл от полной знергнн н объема. 62. Приложение статистики Ферми — Дирака к электронному газу в металле Электроны проводимости в металле могут рассматриваться как почти свободные, т. е.
как электронный газ. Электроны имеют спин, равный половине, и поэтому к электронному идеальному газу применимы формулы статистики Ферми — Дирака. Согласно формуле (60.17), среднее число частиц, находящихся на заданном энергетическом уровне, не может превышать единицу. Последнее видно также из кривой, изображающей зависимость л(в) (рис. 55).
Особый интерес представляет случай малых температур. Пусть при 8-э0, д-+де. Тогда при 6)«/зе=7гТе, (62.1) согласно формуле (60.17), получаем л(в)=1 при в(де,~ (62.2) л(л)=0 при л>)зе)г и кривая, изображенная на рис. 55, вырождается в кривую, изобй й~ 1 о'э'т Р Рнс. 55 е сгсгРнс. 56 т. е. получаем правильную формулу Планка, а не формулу Вина, как это имело место при использовании формул статистики Вольц- мана. (62.4) Учитывая соотношение де Бройля между импульсом р и волновым числом к (62.5) р=як, формулу (62.4) можно также записать в виде б)У(р) = — Р'. р*вр 2дйаз (62.6) Но для нерелятивистской частицы энергия связана с импульсом: р1 Я=— 2ш (62.7) откуда 222 раженную на рис. 56, т.
е. электроны занимают все нижние уровны вплоть до уровня сев - ре„причем на каждом уровне находится по одыому электрону, а все более высокие уровни свободны. Следовательно, пры температуре более низкой, чем температура вырождения Т,=рв(М энергия электроыного газа имеет мыыимальное значение и не зависит от температуры. Поэтому электронный газ может иметь отличную от нуля теплоемкость только при температурах, приближающихся к температуре вырождения и превосходящих ее.
Необходимо иметь в выду, что понятие вырождения фермиевского газа имеет смысл отключения от законов классической статистики. Его не следует смешивать с квантово-механыческим понятием вырождения энергетических уровней системы. Температура вырожденыя может быль определеыа нз условия, что число частиц, заполняющих по одыой все энергетические уровни вплоть до е=р„должно быль равно полному числу частиц Ф. Следовательно, если сК(е) — число уровней в энергетыческом интервале е, с+бе, то (Ю "о К= ЙК 1'е) ехр — + 1 ЙФ 1'е) (62.3) о о при О«ир. С квантовой точки зрения, электроны, находящиеся в куске металла объемом К, могут рассматриваться как стоячие волны де Бройля. Поэтому для определения о)ч 1'е) можно воспользоваться формулой (49.21) для числа стоячих волн, имеющих волновые числа, лежащые в интервале от 0 до к.
Согласно этой формуле, (62.8) р221р-, /2~3~ 21я Следовательно, согласно (62.6), (62.9) з з (62.10) Подставляя (62.10) в (62.3) и интегрируя по я, получаем зл ЗЗ2 — Р ~ я бя= гро =зт, лзЛЗ ) 3язЛЗ о откуда (62.11) ров - — (Злз) (62.12) Температура вырождения То — — р4И, вычисленная согласно (62.12), для электронного газа в металлах оказывается порядка 10 000 К. Этим и объясняется тот факт, что при комнатных и более низких температурах теплоемкость электронного газа пренебрежительно мала.
Формула (62.10) позволяет также вычислить энергию вырожденного электронного газа. Действительно, в общем случае со я= ял(я) ЙМ (я) = я йя ехр — + 1 о о Для вырожденного газа можно, очевидно, положить ю зд з/тззз 3 зл Рзз) з з/2 я=яо= — я бя= =- ззро. язЛЗ 1 яозЛЗ о Отсюда можно найти и уравнение состояния вырожденного электРонного газа. Если прн Т«То вероятность пребывания системы в нижнем состоянии с энергией Е=Е, гораздо больше вероятности (62.14) 223 Если учесть, что электроны имеют спин, равный Ь/2, вспедствие чего электронные волны обладают двумя состояниями поляризации, то для электронов выражение (62.9) надо умножить на 2, т. е.
положить пребывания в состояниях с более высокой энергией, то свободнае энергия равна У= -О]паж — 8]пе =ее. — е/и Следовательно, (62.15) дч д~ 3 дх, 3 г Р, г р = — ж — = — ]х' — =- ]ч - — =-ее— дУ дУ 5 дУ 5 3 У 3 (62.16) или 63.
Конденсация идеального газа Бозе — Эйшптейиа Рассмотрим идеальный газ, состоящий из молекул с целочисленным олином, например газообразный изотоп гелия с атомной массой 4. Для такого газа справедливы формулы статистыки Бозе— Эйнштейна, и поэтому среднее число частиц, имеющих энергии, лежащие в иытервале е, е+бе, йв(е)=ЙК(е)/[е — Ц, (63. 1) где й]т'(е), так же как и в предыдущем параграфе, означает число энергетических уровней в интервале е, а+бе. Если спин молекул раисы нулю, как для гелия-4, то ог1(е) определяется формулой (62.9).
Подставляя (62.9) в (63.1) и интегрируя по е от 0 до оз, получаем уравнение ОЪ ,фазу ~',Де. гхоз ] ехР 10 — и)/8] — 1 о определяющее хымический потенциал д. Среднее число частиц бл (е) может быть только положительыым, бл1(е) также больше нуля, поэтому д<0, (63.3) так как в противном случае при 0<е<д знаменатель (63.1) отрицателен и поэтому Йл(е) также отрицательно, что недопустимо (63.2) 224 р =Ч,~.. (62.17) В уравнение состояния вырожденного электронного газа ые входит температура, так как ее не зависит от температуры. Формулы (62.3) н (62.12) позволяют вычислить эыергыю электронного газа и при температурах, сравнимых с температурой вырождения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
