Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 45
Текст из файла (страница 45)
формулу Эйнштейна, полученную уже нами иным методом в5 73. Таким образом, измеряя смещение частицы за заданный интервал времени, можно по формуле Эйнштейна определить В, а зная и, ц и Т, по формуле (73.23) вычислить постоянную Больцмана Й. Получение таким путем правильного значения константы Больцмана явилось, как известно, решающим аргументом в пользу всей концепции статистической физики.
74.1. Исхода ю уравнения Эйвппейна — Фоккера — Плавка, определить средина квадрат смещения броуновской часпщы, иакодяймйса в.воле силы тквести. ф Пусть сила ткиести действует вдоль оси х. Ума оиак уравнениее Эйнштейна — Фоккера — Плавка последовательно на (х-хе) и (х — хе)г и шпетрируя по х (а правой части уравнения по частям), 'получаем (ср. 5 74, п. 2) 6 — 1 д11 — (х-хе) = -- —. 61 у дх 6 2 д1à — (х-хе)г 2П-- (х-хе) —. 61 у дх 269 Так как )Р' очень быстро убывает на бесконечности, то первые два члена первого вырюкения, а также последние два выражения об- ращаются в нуль н поэтому [см.
(74.9)1 В вашем случае ду(дх та=сонм. Ивтегрврук эту систему Лпффр ревцвальньос ураввеввй при вачальвыа условивх (х — хеЯс етО, Тх:х7есй-с=О, находим тк /тд') з (х-хе) =- — с, (х — хе)' 21и+~ — ~ сз у у [(х — хе) — (х-хеЯ 2Вс. 74.2. Частицы диффусшвруют в стационарном резиме через одномерный потенциальный барьер У(х). Найти плотвосп потока частиц, если известна плотность числа частиц е сеченика хс н хз. Ф В соответствии с (73.20) и (7321) выра зева е длк плотности потова часоац 1 мозно преобразовать (длл одной координаты х) к виду -ри д ри 1 1= — Ре — (ре ), )) =-.
дх ' В( В стационарном случае р р(х) и 1=сонм. Запишем выразепве дла 1 в виде ри 4 ри 1е — )Э вЂ” (ре ) дх и проивтесрвруем обе части этого равенства в пределах от хс и хз. ле ри(дс) рис с> рис.) 1= — В(р(хз)е -р(хс) е ))/ е йх. хс Это соопсошевве ювестно под названием формулы Крамерса. 74.3. Опредевлл неравиоеесную сеобосшую энергию Ч' (с) с помошью соотношениа Гиббса — Гельмгольца как Ф = У- Т8, где У ) У(г) Ис(с, с) 4)г, а звтропвю я как Я= — Ип й'= — и)' Ю')п Вг 4)с, доказать„исхода ю ураевевик Эйнштейна — Фоезера — Плавка, что дЧ')дсцО. Согласно определеввю, 'Р=) (У+9 )п )Сс) Ю'4К отауда, учитывал условие нормировки ) Вгй г =, вааосшм ур бцг — =((У+в)п Я) — 4Р.
дс бс Теперь воспользуемск уравнением Эйшптейва — Фоэзера — Плавка, записанным в вице дВ' -ри ри — =ВЧ (е Ч)ссс), Игс е )г'. дс 270 Тогда 66' -ун — = — ЮЭ (1и В'1Ч(е Чвг1) 4И 41 Идтегрврук зто аыразгевие по частим и учвгывал, что ва оескоиечно-ю ств поток плотиоспг верозтноств Я е ЧИ'1 исчезает, получаем 4'Р -еи (Чяг~) — =-лВ) е 6У<0.
61 В'~ 7414. Исиользуа данное в задаче 74.3 определение 'Р, доказать, что условие минимума неравновесной свооодвой энергии с учетом условна нормировав приводит к распределению Больнмана. 75. Формула Нагисвиста 14(1)+ЛИ(1)= — '+ Е(1), (75.2) С г4е Е (1) — случайные флуктуационные напряжения, Д =1 — сила тоКа в цепи. Остановимся, однако, на самой простой системе, описываемой уравнением Ланжевена ух (Г) =1'(1), (75.3) 271 Урарнение Эйнштейна — Фоккера — Планка и формула Эйнштейна ьзогут бьгть применены к тепловым электрическим флуктуациям в'проводниках.
Такие флуктуации создают в радиотехнических устройствах «шумы», т. е. хаотически нзменякцциеся токи и напряжения. При этом с радиотехнической точки зрения важнее знать не средние квадратичные уклонения зарядов, токов и напряжений, а их спектральные характеристики, т. е. не случайные функции и их характеристики, а их фурье-образы, поскольку радиотехнические устройства выделяют, усиливают и измеряют сигналы определенной частоты. Рассмотрим броуновскую частицу, находящуюся под действием случайных сил, обусловленных тепловым движением окружающих молекул. Механическое движение такой частицы приближенно описывается уравнением Ланжевена (73.7): лгх(1)+ух(1)=Р +1'(1).
(75.1) Электрическим аналогом такой системы будет цепь, состоящая из п едовательно включенных само индукции 1., сопротивления и емкости С. При этом роль координаты х будет играть заряд Д, протекающий через какое-либо сечение цепи. Соответствующее уравнение Ланжевена имеет вид или соответственно откуда ж(т)=((г) ('(~+т) = 1 ~ф*е арго. ОО Это соотношение называется теоремой Винера — Хявчияа. Таким образом, величина ~гр(ге)~з является спектральной характеристикой случайной силы /'(г).
Эту величину можно вычислить исходя из формулы Эйнштейна для среднего квадрата смещения броуновской частицы (74.11), (72.15). Согласно (75.3), 1Г м(г)=-~~(г) бб У" о (75.10) зтз В7%= ЕЮ (75.)) т. е. рассмотрим безынерционную броуновскую частицу, не подвергающуюся воздействию внешней потенциальной силы, или тф, протекающвй через омическое сопротивление. Для конкретности в дальнейшем будем иметь в виду броуновскую часпщу. Соотвегствующие формулы для электрической системы будут получены в донце параграфа посредством замены механических величин на элактрнческие согласно аналогии, следующей нз уравнений (75.3) н (75.4). Случайная сила((г) может быть разложена в интеграл Фурье: +й + сО Х(1) = ) 9(и)е'"' б = ) ФО(щ) е '"' б . [75.5) Ф вЂ” СО Расмотрнм временную корреляцию случайной силы: г'(гД'(г+ т) = Ц гра (со') гр (ш) ехр [и (ш — со')) ехр [кот] бгв бш'.
(75.б) СО Если броуновская частица движется в термодинамически равновесной системе, то начальный момент г ничем не выделен по отношению к другим возможным начальным моментам и, следовательно, рассматриваемая временная корреляция не должна зависеть от а Она является функцией лишь т: .((и(+ )= (). (75.7) Но правая часть (75.6) не зависит от г только в том случае, если подынтегральноевыпажение отлично от нуля лишь при го = со', т. е. если функция рО (ш) гр(ег) имеет вид р'(гв)рЖ=И (ге)!'б(ш- '), (75.8) (75.11) (75.14) — 8« !Ф'= —. и (75.18) 'Полагаем в формуле (74.11) «о О, хо О.
273 откуда в соответствии с (74.11)* имеем о ( ха г) = — Й~ ~(ч)~(ч') йчбч'=22И. «') ) о о Дифференцируя это соотношение по б получаем —, 1„У()ПВ)+1(ЕИ(«а .= 2Э «*" « о Согласно (75.7), это соотношение можно представить в виде ~(ж(«87-7)+ж(« — ж)) йО=20у. (75.13) о Заменяя переменную интегрирования Э на 7=0 — г в первом члене и на 7 = «-В во втором члене, получаем +о 1 ж(т) бт=2б«у. В силу обратимости во времени уравнений механики, временные корреляции должны быть симметричными функциями промежутка времени т: ж(г) = ж(- т). (75.15) Единственной функцией, которая может удовлетворить условию (75.14) при произвольном б может быть лишь функция ж(т) = 20уд (т), (75.16) ибо правая часть (75.14) не зависит от г и поэтому подь«нтегральное выражение левой части равно нулю при любых б отличных от нуля.
Представляя Б(г) в виде интеграла Фурье и приравнивая (75.1б) и (75.9), получаем +Ф +сО 28у — " е ' ба«= )фа е'"* бго. (75.17) 2а — СО В Последнее соотношение можно удовлетворить только в том случае, если ~фа не зависит от О«и имеет числовое значение Таким образом, мы получили Формулу Найквислга для броуновской частицы. Если вместо координаты броуновской частицы х рассматрив ь заряд Д, протекающий через омическое сопротивление Я, то со тветствующая спектральная характеристика ~е~г случайной эле движущей силы Е 1'г), аналогично (75.18), запишется в виде ответствующей формулы Найквиста: (75.19) При этом формула Эйнштейна, очевидно, имеет вид (75.20) Заметим, что в технических книгах формулу Найквиста для 'случай- ной электродвижущей силы обычно пишут в виде (75.21) Коэффициент 2 появляется ю-за того, что для случайной электро- двигкущей силы интеграл Фурье равен Е(1)=1 к„е бпг, (75.22) е т.
е. в отличие от (75.5) нижний предел берут равным О, а не — со и, кроме того, под О '„понимается эффективный средний квадрат электродвижущей силы. Тогда (75.23) ~г ~~~а 2цг Согласно формуле Найквиста, тепловые флуктуации электро- движущей силы в омическом сопротивлении представляют «белый шум», т. е. хаотическую смесь гармонических колебаний всех возможных частот с равными в среднем амплитудами. Обобщением формулы Найквиста является флуктуационно-диссипационная теорема, справедливая не только для классических, но и для квантовых систем (см.
задачу 75.1). 75Л. Обобщить формулу Найквпста ва случай произвольных ллпейпых спстем. Вычислить с ее помощью коррелацпю скоростп длл броуповской частпцы, учитывал инерцию последпей. 75.7. Обобщить формулу Найквпста па случай кваптовых ллпейпых систем. 274 75З. Рассмотреть броуиоаское даииеиие элеатроиа, испытыаающего радиапаоииое треаие, под действием тепловых флуктуаций иапрккеииост-. электромагиитиого пола. Пользуась обобщеииой формулой Найкаиста (см. задачу 75.2), получить формулу Планка длл спеатральиой плотиости звертив злектромагиитиого излучеиик.
76. Модель Магалииского В предшествующих параграфах мы установили вытекающую из статистической механики связь между поведением макроскопически измеряемыми средними, подчиняющимися макроскопическим (диссипативным) уравнениям движения, и квадратичными временными корреляциями или флуктуациями этих величин, т. е. методику, позволяющую сводить вычисление временных корреляций к решению феноменологических микроскопических уравнений движения. В принципе статистическая механика способна не только установить эту связь, но и вывести как уравнение движения для средних значений макроскопически измеряемых величин, так и выражения для корреляционных моментов, в том числе и их спектральных характеристик. Решение этой задачи в общем виде для произвольной динамической микромодели представляется неосуществимым. Однако оно возможно для некоторых простейших динамических моделей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
