Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Подставляя (78.6) в (78.3) и замечая, что на бесконечности по условию нормировки функция оэ достаточно быстро стремится к ну- лю, вследствие чего +м | р»» дэе р' !+а — —.,=-.1 =О, вэ дге»э -в +сО | дЦ, дв дие ~+. — — бр»= — в!1 =О, дг' др' дэ»» 1-м получаем дй'! э 1 ( р",д» дУ»дэе в дУв дв) д! „, ) ( тдэ; дг!' др',, дэ; др»!) Если в соответствии с (78.1) и (78.2) обозначить И~~(гь р э)=| (гэ, ..., р„; г) бг! ...'Йр» ! Йг~ ! ... Йрв, эт!»(г» Р» гь Р». г)=1 эе(г! -. Р»т; г) ог! -.
оРэ-! х х дгэ+! ... Йр» ! ... Йг»+! ... Йрв, (78.8) (78.9) то [см. (78.8)1 дй'» ' ! р,'дй' дгг дй» в дУ;» дй'~1 д! .,( д; д1др, „, д; др,) (78.10) Вследствие полной тождественности частиц функцию эе можно счи- тать симметричной относительно перестановок любых частиц~: етребовавве евмметрвв ве обвэател»во дла твердого тел!» лал его во»а»ало в $94. гдЗ %. (, р, г) =% (г, р,!), Кь(г, р, г', р', г)= )К,(г, р> г, р', г), (78.11) откуда все (Ф вЂ” 1) членов суммы (член Ум равен нулю), входящей в подынтегральное выражение (78.8), одинаковы, и, следовательно, эта сумма может быть заменена одним членом (в котором положено 1=2), умноженным на (У вЂ” 1).
Таким образом, используя (78.1) и (78.2), получаем ди', ' [ р,н~, ди,ди; д Г-дип — = ~ ~ — ' — 4 — — +(8(-1) — ~ — )Г„б,ар,, (78.12) дг ( ю дю, дю, др', др', 1 дю', где 1г1 — функция координат и импульсов первой частицы, 1Гп— функция коордынат и импульсов первой ы второй частиц. Это точное уравнеыие для 1г'1 ые является, однако, замкнутым, так как в него входит ыеизвестыая бинарная фушщыя 1г"и.
Для функции Кр также можно вывести точное уравнение, которое будет содержать неизвестнУю фУикцию )Ргл(г» Р» гь Рь гь Рь г). Эта фУнкциЯ, в свою очередь, подчиняется точному уравнению, содержащему фуыкцию )Р'ги, и т. д. Таким образом, мы получим цепочку уравнений, л-й член которой имеет вид ди'д,.л ь л р дУа+1 ды'ж.хе+~ — "' =[На%а...4+(7~-Б) Х Х ~— <)г +, <1рл,.» (78 13) дг дс,' др,' где )Кх л=) в(г» ..., Р», г) бел+».. ЙЄ— плотность веРоатности длЯ л частиц; л вз г И;~ — '+ ч:~: 17„+~ ц(г,) ~ скг<л — функция Гамильтона для л частиц. Квадратные скобки, как и раньше, означают скобки Пуассона. В конце этой цепочки оказывается исходное уравнение (8.8): ды'д„я — =[ну7„1 (78.14) М где дуп и совпадает с в (Х, г).
Эта последовательносп УРавнений называется цепочкой уравнений Боголюбова. Совершенно ясно, что отыскание точного решения для функции эквивалентно решению всей цепочки уравнений, т. е. решению урав- пения (78.14). Последнее, однако, практически неосуществимо, так же как неосуществимо решение уравнений механики Ф матерйальных точеке. Таким образом, практическую пенность для отыскания функции 18'~ может представлять не точное уравнение (78.12), а некоторое приближенное уравнение, в котором входящая в (78.12) функция приближенно выражается через функцию Игь Для получения такого приближенного уравнения необходимо сделать для функции Кз некоторое упрощающее предположение, характер которого должен зависеть от физических свойств системы, т. е.
от вида потенциала паРного взаимодействиЯ У(1г,-ге~). Мы рассмотрим два таких упрощающих предположения, одно нз которых приводит к кинетическому уравнению самосогласованного поля (уравнение Власова), другое — к газокннетическому уравнению Больпмана. При этом первое предположение оказывается эффективным для дапьнодействующих сил взаимодействия между молекулами, второе — для короткодействующнх снл. 78.1. Выразить коррелкцепо плотности числа частиц реального газа через бинарную плотность верохтвости. 78.2. Вырезать уравнение састохвик рехльвого гезк через бвварвую плотносп еерохтности.
Найти бинарную плотность иероктвости длк резреиенвого газа с короткодействующвми силхмв взквмодейстнвк. 79. Кинетическое уравнение сампеогласоввиного поля Предположим, что силы взаимодействия между отдельными частицами газа являются дальнодействующимн, т. е. достаточно медленно убывающими с расстоянием (например, кулоновские или гравитационные силы, убывающие с расстоянием как 1/гх). Такие силы действуют, например, между ионами и электронами в ионизированном газе, т.
е. в электронной плазме. Если силы достаточно медленно убывают с расстояжем, например как 1/гз, то на каждую часпщу одновременно эффективно действуют как близко расположенные к ней часпщы, так и удаленные на значительные расстояния, поскольку число частнп, лежащих в интервале, растет пропорционально гх. Следовательно, движение выбранной пары частиц будет обусловливаться не столько нх парным взаимодействием, сколько взаимодействием каждой нз двух ° следует заметить, чго если бы даме уделось репппь уравнение (78.14), то зто решение практически невозмонво было бы кспользовхть длк нехоидевик функции 1г', тхк кек И'ш зг доливо зависеть от бФ вхчельиых звхчений всех югвоническнх переменных и о внх првшлось бы делать хлеве-то проювольвые предполоиеиин 285 частиц со всеми остальными частицами.
Поэтому движение выбран- ных двух частиц можно практически рассматривать как движение статистически независимых друг от друга материальных точек. Но э этом случае » !2(гь Р!» г2» Р2» г) >» !(!!> Р!> г) ~2(г2> Рх г) Подставляя (79.1) в (78.12), получаем аи; ! (р,ан; дгуди;1 а .,(( а~ а~ ау,3 (7(г!) = (7о(г!)+ (х! — 1) )! (7п Ог! — гг!) 1Гг(гэ> Р!) бг! <1Р! (79.2) или, переходя от Иу! (г„р„!) к функции распределения дг, г, г)= ау -+ г1!,,у'+ — '1!„,~'= О, д! >»» (79.3) $'(г)= -г7,(Ц(г)+) Убг — г!~)7(г', г> г)Ы Ы), где .д .д д Ч,=1 — +1 — +й —. дх ду дх .а .а а г„=1 — +1 — +1! —. дд д» д( При выводе этого уравнения считается, что число частиц достаточно велико, поэтому Ф-1 можно заменить на К.
Уравнение (79.3) легко обобщается на случай газа, состоящего из нескольких сортов частиц. Так, например, для полностью ионизированной плазмы, состоящей из электронов и положительных ионов, в соответствии с (79.3) можно написать следующую систему уравнений: — '+,Чд+ — Ч,Р г1д;-О, — +г!Ч,у! — — Ч, дя„я=О, (79.4) г.6(г> !'» !) — у»(!'> е> !) Р— г'/ где 7; — функция распределения электронов, 7! — функция распреде- 2аа левая ионов.
При помощи этой системы уравнений, впервые полученной А. А. Власовым, обычно исследуются неравновесные процессы в весьма разреженной плазме. В случае более плотной плазмы, в которой невозможно пренебречь процессами иоыизации нейтральных молекул и рекомбинации электронов и ионов, эта система уравнений должна быть дополнена членами, учитывающими не только коллективные взаимодействия, но и парные соударения.
80. Газоиниетичесное уравнение Бальцмана При средних температурах, когда ионизация пренебрежимо мала, газ можно рассматривать как состоящий из нейтральных молекул, взаимодействующих друг с другом посредством короткодействующих снл с потенциалом вида (40.11). В этом случае движение каждой пары молекул обусловлено главным образом их парным взаимодействыем и в малой степени зависит от других молекул.
Картина движения молекул в таком достаточно разреженыом газе мало изменится, если мы будем считать, что молекулы взаимодействуют друг с другом как абсолютно упругие шарюси, т. е. если замеыить потенциал взаимодействия вида (40.11) на потенциал, изображенный пунктиром на рис. 61.
Итак, в качестве моделы нейтрального газа рассмотрим систему абсолютно упругих шариков, каждый из которых имеет диаметр с. Полагая, как и в предыдущем случае, (Ф вЂ” 1) вФ, уравнение (78.!2) для такой модели можно записать в виде гы, ' (р, гы, ги, гн;1 ! Г Г лип аы„ (80.1) »,,~.»", а;гр,3 .,~ ~ гГ, 8Р, (р~ в ! Подынтегральное выражение правой части этого уравнения отлично от нуля практически только на сферической поверхности радиуса с, описываемой вокруг фыксированной точки г, концом вектора г! (рис. 62),поскольку при упругом ударе / I ! Рис. 62 Рис. б! 287 гип ~0 при 1г!-г2!>«, «а И.а =.г ~= — ~' г=~ й; (со при ~г~-гр~=е, (80.2) где 3Г; и «$ — компоиенты сил, действующих иа первую и вторую частицы при их столкновении. Следовательно, правая часп.
(80.1) практически полностью определяется значением Юп в непосредственной близости от этой сферической поверхности. Но у поверхности радиуса а бинарная функция распределения В'и определяется законом соудареиия только двух упругих шаров, поскольку одновремеииое столкновение трех (и более) упругих шаров — событие весьма маловероятное. Таким образом, функцию 1Гп, стоящую в правой части (80.1), можно с большой степенью точности заменить бинарной функцией, вычисляемой для системы, содержащей только два упругих шара. Но для такой системы $г'и удовлетворяет, согласно (78.6), уравнепию движения Ь~ аи'и Рз е%~ епп еи'и апп еи'и) (80.3) ~ т д~ ю й~~ д~ ду( д~~ др, ') Для тех промежутков времеви, в течение которых происходит столкновение шаров, определяющее изменение Кь процесс можно считать практичеа~и стационарным, т.
е. функцию 1Кп — ие изменяющейся со временем, и, следовательно, в уравнении (80.3) от6Росить член дУ~,г/дГ. УкоРотив таким обРазом УРавиение (80.3), проинтегрируем оставшиеся члены по г, и рр. ' 'Ь,)(;) + брз бгь (80.4) 9)а) В силу того, что Урп (так же как и Жж «) при бесконечно больших значениях импульсов должна обрашлться в нуль, то второй член левой части (80.4) после внтегрирования по рр исчезает. Учитывая, что В;ь определяемое процессом столкновения, может зависеть только от взаимного расстояния между центрами шаров, г. е.
от ~г~ — гр~, получаем ды'12 дй'12 дг,' 83~~ и позтому ыодынтегральное выражение правой части (80.4) можно записать в виде Р~-~ д%г 2 Таким образом, уравнение (80.4) преобразуется в соотношение (80.5) (2 1 (г 2 (2 1 (г 1 Переходя к сферической системе коордиыат с центром в точке гь т. е. полагая (г2 — г1~ г, можно следующим образом преобразовать интеграл по г2 в правой части (80.5): р'-г" дн' (80.6) (г 1 О г где 8 — единичный радиус-вектор, направленный из то п(и г( в точку г„(222 — элемеыт телесного угла, описываемого вектором Б. Поскольку подынтегральное выражение в левой части (80.5) отлично от нуля только при (г1-г2(=а (как зто видно из (80.5Д, постольку и подынтегральное выражение правой части (80.6) может быть отлично от нуля только при г=а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
