Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Одну из таких простейших моделей, подробно изученную В. Б. Магалинским, мы здесь рассмотрим. Пусть классическая линейная механическая система, описывающая тяжелую частицу — осциллятор, взаимодействует с системой ЗФ свободных осцилляторов. Пренебрегая нелинейными взаимодействиями, запишем гамильтониан такой системы в виде з 2 Н=- Ф*+Ж')+- Х 04+»й»)+аОХ п»Ь. (76.1) 2 2» » Здесь 9> и Д вЂ” импульс и координата тяжелой частицы, р» и ф»вЂ” импульсы и координаты ЗК осцилляторов, причем выражения для импульсов и координат выбраны такими, чтобы можно было исключить из формул массы частице. Очевидно, в форме (76.1) можно представить гамильтониан любой системы взаимосвязанных линейных осцилляторов, взаимодействующих с основным уэ, д-осциллятором, если перейти к нормальным координатам от непосредственно изображающих каждый из реальных осцилляторов, т.
е. модель Магалинского изображает любую линейную систему связанных осцилляторов, взаимодействующих с избранным У, Д-осциллятором. »На примере цростейшего лииейиого оспиллатора, дла которого 7/= =р'/(2М) ч- МП»е~/2, замеиой уэ =р/ „/М, Д,/МД получаем Н= /Уэ + й»Д'//2. 275 Впоследствии Фейнманом и Верионом было доказано, что эффект необратимости, создаваемый любым термостатом во втором порядке теории возмущеиия, эквивалентен таковому в рассматриваемой модели.
Уравнения движения всей системы осцилляторов (уравнеиия Гамильтона), согласно (76.1), имеют вид 0=У. У= — 11'О-аХа»7», (76.2) Ь=рь Р»=-е»»ц»+йк»й й=1, -*, ЗФ Исключая из них У, ры получаем уравнеиия, содержащие лишь координаты Д, у».' Ю+»» 0 = -Х 2', а» Ч». » 1»+о»»»е; — -яа»Д (]с= 1, ..., 3)у). (76.3) 1 й1г)=Д соз шг+ — 81п гег+ — р(т)$1пгв(г — т)от. о йо 1Г о Замечая, что стоящий в правой части этого решения интеграл можно представить в виде Ф | ~ Г 4 <~ (т) ип ш (1 — т) от = — ~ р (т) — соя ге (1 — г) от = в,) Й» о о Ю е(») 1.- 1 1'.
= — соя (г-т) ~ — — ~ ф(т)сока»(~-т)бт, И ~-о ш~ о решения уравнений (76.3) для й» запишем в виде (76.4) й»(г) =4»» сов ш»г+- зш го»г-я — Д 1г) — Д(0) соя юга,' . » 1 1 Д(г)соаоэ»1г-т) дт, о (76.5) 27б Решение уравнения осциллятора у+ в»у= р 1'г) под действием вне- шней силы гр (г) имеет вид 0+0'0=-8'Еас 4соаагс+ — 'аша»»г + » с» ! +я ~ — ' Д(г)-Д(0) соаогсг- (~(т)согог»(г — г) бг . » с»»( (76,6) » Выбирая Д(0)=0 и обозначая у~(г) г ч~, о»~ 12» 11г г ~, 12г )».(0) с 4» уравнение (76.6) переписываем в виде (е(г)+12 гЯ(г)+1 у~(г — ) Й(т) 6 =Х((). » (76.7) (76.8) (76.9) где » 7'(г)=-8 ~ и» 8~~сова»»г+ — ' гш со»г . с с»» (76.10) Это уравнение, впервые полученное В.
Б. Магалинским в 1959 г., имеет вид обобщенного уравнения Ланжевена ~И) =У(г). (76.11) если (76.10) рассматривать как толчковую силу. Однако пока что это лишь уравнение классической механики без каких-либо статистических предположений. Сила /'1'г) приобретает случайный характер, если координаты 4 и импульсы р» считать случайными величинами, распределение вероятностей которых определяется равновесным каноническим распределением, т. е. не делать никаких дополнительных статистических предположений, кроме общих положений статистической механики Гиббса. Исходя из этого допущения, найдем временную корреляцию функции: У(г+ г) 7"(Г) = ж(г). (76.12) 277 где 4 и 4 =р» — начальные значения координат»7» и скоростей или импульсов р».
Используя (76.5), первое из уравнений (76.3) записываем как Согласно (76.10), ж(т) =у* ч~~" ~ и;а х х д» соза7~+ — ешь~ 4соза7,(7+т)+ — ипш, (Г+т) 1 Р', Щ~ И! = я~ ~ ~ а~ а1 ~ Щ сов щ 1 г+ т) сов аа7 + — х РФв вФ>й х ип ш; 1'Г+ т) 8(па7,г+ — соз ш; 1'Г+7) 81па7~Г+ 4,'Ра ач + — ашсо,(!+т) сезам . ~Р,' (76.13) Согласно теореме о равнораспределении и теореме о вириале для классических осцилляторов, яф~=О, р р~=9дм а7;щ 9~~ф.=бМ». (76.14) Если осцилляторы рассматриваются как квантовые, то соотношения (76.14) также справедливы, если заменить 8 на Экв = 7ш йо = — сбз —. 2 2 Подставляя (76.14) в (76.13) и замечая, что соа а7 1г — т) соа а7г+зш а71г'- т) вш сог= сов ай, получаем (76.15) ж,(т1 =йз~ яь — созгаьт=ВК(т). 03~~ Таким образом, устанавливается простая связь между ядром интегрального члена К(т) уравнения (76.9), т.
е. уравнения Ланжевена, и временной корреляцией случайной силы ж(т). Для вычисления ж(т) необходимо знать все а7с и а» и произвести суммирование по к, что практически неосуществимо для реальных систем с числом степеней свободы порядка 10~'. Для таких систем с Ф- оэ можно считать спектр а7~ практически непрерывным и суммирование заменить интегрированием, если известна функция к(а7), т.
е. число нормальных осцилляторов, имеющих циклические частоты в интервале 0-а7. В этом случае суммы типа (76.15) 278 могут быть аппроксимированы интегралами вида сО ~ чГ(ас)=/Г(ш) й)1С(со). с о Если физической моделью систем нормальных осцилляторов является твердое тело или поле излучениями (ш) шз (см. 8 49, 53), т. е. йФ(ш) =Асов йш (76.16) то 1см. (76.15)] ОЭ ш(т) =Ай~ ) ао(со) Око'сов сот йш о в квантовом, а ж(т)=ВАйо )' ао(ш)совштйш=бсК(т) о (76.18) в классическом случае.
Здесь А — некоторая константа, а функция а(со) определяется конкретными свойствами системы осцилляторов. Если все осцилляторы дс действуют на Д одинаково, т. е. все ас= а не зависят от ш, то ~О К(т) =Айвах ) сов шс йш=Айоаолб (т). о В классическом случае ш(т) — Айваолеб (г) (76.19) (76.20) т. е.
имеет место д-коррелнрованность случайной толчковой силы, как при простейшем броуновском движении. В квантовом случае это вообще невозможно, так как О», зависит от ш и поэтому (76.21) ш(т) = Айваза ) Окв сов шт йш. о (76.23) 279 Зная выражение для К(г), нетрудно вычислить и интегральный диссипативный член в уравнении Ланжевена (76.9). Очевидно [см. (76.19)), ОЭ 2 2 )К(К вЂ” т) Ят)йс=Айвивл ) Б(с — г) Дйт=Аяви* — Д(с) в(йп6(7622) о о т.
е. уравнение (76.9) приобретает вид 0 %+70 %+О,'0 (с) =УЮ где у = + Айз«зя/2 (76.24) (знак «+» при г>0, знак «-» при !<0). Это обстоятельство весьма существенно, так как уравнение (76.22) описывает флуктуационные процессы, протекающие симметрично во времени в свободных системах, т. е. флуктуационное отклонение сначала нарастает до некоторого момента г=0, а затем симметрично во времени затухает, что имеет место при решении уравнения (76.22) с у, определяемой из (76.23). Уравнение (76.23) справедливо прн сделанных предположениях как в классической, так и в квантовой статистике, так как в выражение для К1'т) не входит Э.
Однако Б-коррелированность случайной толчковой силы 1см. (76.20)] получается лишь в классическом случае, когда возможна связь К1'т) с ж(т) [см. (76.18)]. В квантовом случае эта связь более сложная (см. (76.17)]. 77. Неравновеснаи функция распределения Г(х, у, г; 4, 9, (; г) =т'ч (х, у. г; р„р,. р,. г), согласно которой Гахбуд аНЧа(=чд буа арАруар,. (77.1) откуда ~Яг, ч, г)дгсЬ=~ ч(г, р, г)бгбр=Ф. (77.2) Знание функции у" позволяет определить основные макроскопические характеристики неравновесной системы, такие, как влотность массы с(г, с)=т)Дг,ч, г)бч, (77.3) Статистическая теория неравновесных процессов должна быть основой всех феноменологических макроскопических теорий неравновесных процессов, таких, как теплопроводность, диффузия, вязкое трение, злектропроводность и т.
д., т. е. основой неравновесной термодинамики. Теория может, очевидно, опираться на уравнение движения статнстического фазового ансамбля (8.8). Однако ясно, что в задачу теории не может входить отыскание точных решений этого уравнения, так как если бы даже ж (Х.
г) как точное решение (8.8) была найдена, то вряд ли ее возможно было бы использовать для вычисления наблюдаемых на опыте макроскопических величин вследствие зависимости точной плотности вероятности в(Х, ~) от всех начальных значений переменных Хь, которые макроскопически в опыте не задаются. Большинство задач теории неравновесных процессов может быть, однако, решено, если будет известна неравновесная средняя плотность числа частиц ч в фазовом д-пространстве, определяемая формулами (55.9) и (55.10). Те же результаты можно получить, зная неравновесную функцию распределения плотность вол!ока массы 1„(г, !) =т ~ 4Дг, и, г) сЬ, плотность во!пока и!оплоты (77.4) Д,(г» з)=~ — Ц'(г, ч, г)з)ч иззз (77.5) и т. п.
Следовательно, если для функции распределения у" будет найдено уравнение движения, обычно называемое кинетическим, то большинство задач неравновесной теории сведется к задаче решения кинетического уравнения. Итак, перейдем к проблеме отыскания кинетического уравнения. 78. Точные уравнения для функции распределения Средняя фазовая плотность числа частиц пропорциональна плотности вероятности одной частице находиться в заданной точке фазового д-пространства [см. (55.10)]. Следовательно, кинетическое уравнение для функции распределения можно получить, отыскивая уравнение для плотности вероятности В;: ! (! !» Р!» З)=з а (г!» -.» Ри»' !)'1гз'1рзз1гзФз - '1ги з1ри.
(78.1) Наряду с этой унарной плотностью вероятности нам потребуется 'ввести также бинарную плотность вероятности В'зз. 1рп(!о Р! гз» Рз» з)=1 зч(г!» - » Рзь' ») з)гз з1рз -. огиззри. (78.2) дЗ»»! — =ЯНъ)бгз брзз5гзбрз ... бги бри. д! (78.3) Но для рассматриваемой модели вещества как системы Ф материальных точек массы т, взаимодействующих лишь попарно, и з и Н=~ — '+):~и®-;0+~: и,(г,) (78.4) ь ! сии ь ! Можно ввести также плотности вероятности В; э(г„..., ри, г) более высокого порядка, определяемые через интеграл от оз по всем переменным, кроме гз, ..., р,. для отыскания уравнения для В; продифференцируем (78.1) по времени и учтем уравнение (8.8): и поэтому, вводя обозначения координат и импульсов х»=г», у»=г», г»- — г» ° р*»=рь р»»=4. р,»=ргь 1 2 3 1 (78.5) получаем э и (дид» ддтдв) )Нное= ~ ~ э' — — — — ~= (д!' др» »др' дФ') (78.6) а; а~ др,' ,„, д; др,!' где У!»= УОгэ- »1) при э'Ф~, (78.7) 0 при э=к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
