Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Следовательно, в правой части (80.6) г2 можно заменить на (22: 012-91, Я) дн!2 (80.7) о ~ Интеграл по г в правой части (80.7) надо, очевидно, брать в пределах от г=О до значений г>е, т. е. непосредственно за поверхностью г=(2. При г=О, очевидно, Иг(2 — -О, так как часпщы не могут вообще сблизиться ближе чем до г=е, а при г>е функция гг12 слагается из двух членов: одного, выражающего бинарную плотность двух частиц до их столкновения, и другого, выражающего эту плотность после столкновения. Обозначая первый член 289 10-180 (до столкновения) через Щ н второй (после столкновения) — через )Г)г', интеграл (80.7) можно записать в виде (80.8) а Учитывая, что ИЯ отлична от нуля только для сближающихся частиц, т.
е. когда (р1 — рь я) < О, а И~Я вЂ” только для удаляющнхся, т. е. когда (рз — рь я) > О, последний интеграл можно записать в виде (Уф И ф т (80.9) ния упругих шаров, выводимых из законов сохранения импульса и энергии, т. е. из соотношений )г ( р ( )а ( ~з Р~+Рю=р~+Рь — + — = — + —. Ъе Ъе Ъе Ъе (80.12) Итак, подставляя (80.10) и (80.11) в (80.9), а затем полученное выражение для 1 в (80.5) и, наконец. (80.5) в (80.1), находим ди~(р,) з )р дн1(р1) дно ди1(рД~ дс ~ т дг,' дг,' др,' =уез К )! (%(р~)Ж2(р) — И1(рд)р2(рн дадр. (80.13) т еь) о Кинетическое уравнение (80.13) приобретает более простой вид, если от функции И'ь имеющей смысл плотности вероятности дан- 290 о Поскольку )Кз(ро РД в соответствии с (80.3) мы считаем определяемой только двумя сталкивающимися частицами, не взаимодействующими друг с другом до и после столкновения, постольку К~= И'~ (р~) Вз(р1), (80.10) И 11 К (Р!) И2(Р2)1 (80.11) где р, и р, — импульсы первой и второй частиц после нх столкновения, которые надо рассматривать как функции импульсов р1 и р~ до столкновения.
Последнее справедливо в силу общих уравнений движения фазового ансамбля в функциональной форме (8.1). Очевидно, р, и р~ выражаются через р, и р~ в соответствии с законами соударе- ной частице иметь заданные координаты и импульс, перейти к функции распределения Дг» т» 1).
Согласно (55.10) и (77.1), Дг, т» г) =вгзК11; (г, р, 2). (80.14) Замечая, что брг =шз йт„рг — р, =лг (тг-тг) н вводя обозначения Л$ .г (г1» го»)».гг=.г (гг»»2»»)» /г =Л,, ») лг=г(гг»2» 2)» получаем вместо (80.13) уравнение аЛ, 2 ( айаг ац, айаг) — + ~, ~~г — — — ~= аг,,( ь; аг, аД (80.16) = ог 1 1 1(тг — . з)! ХЛ вЂ” Лй 6 г 611* Огг о называемое газокинетическим уравнением Больцоиана. Уравнения (80.12), определяющие аргументы функций Я и у"„ можно записать в виде т,+92=9,+т„(тг) +®~=(т,) +(т)2. (80.17) Разрешая их относительно т, н тг, получаем К=9~-з(з» тг-яг) тг=тг+з(з» тг — тг) (80.18) Итак, уравнение (80.16) можно рассматривать как исходное для решения задач о нахождении неравновесной функции распределения газа, молекулы которого взаимодействуют по закону соударения упругих шаров, т.
е. посредством короткодействующих снл. 81. Стационарное решение уравнения Больцмаиа В качестве простейшего решения газокинетического уравнения Больцмана рассмотрим его стационарное решение в частном случае отсутствия внешнего поля, т. е. при Уг — — О. В стационарном случае функция распределения 7 не зависит явно от времени: дЯдг=О. (81.1) Кроме того, из-за отсутствия внешних сил нет выделенных точек пространств и поэтому функция /'не должна зависеть от координат: дЯдг',=О. (81.2) Таким образом, вследствие (81.1), (81.2) при (72-— 0 вся левая часть уравнения (80.16) равна нулю и функция /' определяется укороченным уравнением 291 )(((с) (с(> а)!(((Х) .)(Х2) (1)(2 (1с) (81.З) (» )с Частное решение последнего уравнения может быть, очевидно, найдено из условия )) (.) 2,)(.)2) = Ос (81.4) или, согласно (80.15), из функционального уравнения ,) ()с!)) ((с)) —,/()с!),) ()с2) (81.5) Прологарифмировав (81.5) и присовокупив к нему уравнения (80.17), связывающие скорости до и после соударения двух молекул, получим следующую систему уравнений: 1пЛт)) + 1пЛчг) = 1М'(")) + 1пЛт)) (с( + (с) )с( + )с)с ()с() + ()с)) ()с)) + ()(2) (81.6) Нетрудно убедиться в том, что этой системе уравнений удовлетворяет функция 1п ) ((с) = ат+ Ьтз+ с = Ь ((с — т())~ + А, (81.7) где а, Ь, с и А — константы.
Итак, частным стационарным решением уравнения Больцмаиа является Б цс-си' (81.8) т. е. распределение Максвелла в системе отсчета, движущейся со скоростью т„ поскольку Ь вЂ” константа, которую можно выбрать равной -)и/(2)(Т), а  †' константа, определяемая из условия нормировки. Остается лишь выяснить важный вопрос, является ли распределение Максвелла (81.8) единственным стационарным решением или имеются какие-либо иные стационарные решения, удовлетворяющие уравнению (81.3), но не удовлетворяющие уравнению (81.5). Для решения этого вопроса необходимо обратиться к Н-теореме Больцмана. 82.
Н-теорема Больцмаиа Рассмотрим функцию времени Н (() = 1' 1" У(гс т, () 1вДгс )с, () ()г (1(сс (с) (с) называемую Н-функцией Бос(ьцмана. Докажем, что (см. (80.16)) эта функция может быть только убывающей со временем: 292 дН!дг(0. Считая переменные интегрирования г, входящие в (82.1), относящимися к индексу 1 и дифференцируя это выражение во времени, получаем (82.2) где использованы обозначения (80.15). Второй член этого интег- рала, очевидно, равен нулю, так как, по условию нормировки для функции распределения, дГГ дФ ~ — бг йг!= — ~ ~ Д! (1г (1г!= — =О. д! д! ~ д! (82.3) (!) (ч) (!) (т!) Первый член (82.2), используя уравнение Больцмана при 1!!!=О, можно записать в виде ! дй! 1пХ вЂ” ~, ); — +!г Кт! — гь з)~ У',Гз — ЯЯ <Ь)(1П бг! (1г.
а а ! дг (!) о гд (» ) (82.4) Первая часть этого выражения также равна нулю, поскольку дЯ +,! (' дЯ! +а 1п~! — (1г =1пг'(~! ~ — ~ — йг =Я0пЯ вЂ” 1) ~ =О. (82.5) дг -о дг ф — Ф ° О Таким образом [см. (82.2) — (82.5)1, г (г ) ) ) ) ((г! ть а)(1М! (( !.) 2 .)!Х2) (19! бг2 б(1 (1г д! (!) о (т хт ) Легко видеть, что, меняя индексы 1 и 2, этот интеграл можно записать также в виде 293 дН вЂ” =!г )! )( )! )! ~(г! -ть а)! 1пЛ (!! ! Уз ЫЙ~) ог! (1"г ()хг (1г. !)! (.) о(.,х.,) Замечая, что вследствие симметрии уравнений (80.17), связывающих т„т', и г„т) в выражениях (82.6) и (82.7), можно заменить т! и г! на т! и т! и, наоборот, т! и г, на т, и т„используя, кроме того, теорему Лиувилля, согласно которой (Ь!' йт,=й»! (1ть а также то, что (см.
(80.18)) (»г-»г, а)= -(»,— гь а), выражения (82.6) и (82.7) можно записать в виде — =а~) ) ) ) !(»(-»г, в)! 1и/!' (/(Л вЂ” /!'/г') (1»! (1»г дй ()г (82 8) (во(,х,) — =а~/ 1! ~ ~ !(»(-»г, а)! 1п/г' (/! /г —,/!',/г/ (1»! (1»г дй ог. (82.9) !(( (.) и(.(х;) Складывая (82.6), (82.7) и (82.9), получаем 4 — =а~ ! )! )! )! !(»! — »г, а)! (1п/(+1а/г — 1и/!' — 1и /г'!) х Й( (с) и (! к! ) х (/(,/г ./!.Я(1»! (1»г ой ог! или вг /!Уг г(,! !(»!»ь а)! 1п —,, (/'(,/'г /(/г) б»! (1»г йй ()г.
(82.10) (!) и(, к, ) У! /г Подыытегральное выражение этого интеграла представляет положительную величину !(»! — »г, а)!, умноженную на выражение, которое никогда не может быть положительным. Действительно, обозначая /! /;=а, /Д =Ь, (82.10) можно записать в виде а (Ь вЂ” а) 1п -<О, ь (82.11) в котором знак неравенства очевиден для любых а Ф Ь. Знак неравеыства также может быть заменен знаком равенства только при а =Ь. Итак, согласно (82.10), для любых функций распределеыия, являющихся решениями уравнения Больцмана, ан вн в! — <О, если ~!'Я»в/г,/г, — — -О, если ЯГг'=/(/г.
в! (82.12) 294 Но (1Н/(1(<0 возможно только при ыестационарных решениях, т. е. при функцыях распределения /; явно зависящих от времени. Стационарные же решения возможны лишь при бН/бг= О. Таким образом, согласно (82.12), для стационарыых решеыий обязательно должно выполняться условие (81.5), то самое, из которого было выведено распределение Максвелла. Следовательно, раснредеяение Максвелла является единственным стационарным решением уравнения Больцмана. Доказанное неравенство 4Гà — <О 4! (82.13) называется Н-теоремой Болев!мана. Как увидим ниже, это неравен- ство имеет глубокий физический смысл.
82.Б Показать, кто арв наличии внешнего полл стацвоваримм резинкам уравнения Больцзюана является распределение Максвелла — Больц»сава. 83. Связь Н~узппя«и с энтропией Неравенство (82.13) наводит на мысль, что Н-функция связана с неравновесной энтропией изолированной системы, для которой, согласно термодинамике, справедливо неравенство оЯ вЂ” >О. 4! (83.1) »и»(Х.)=) ... ) ) ...
)»г(Х!> Х!» "., Хв) ЙХ!... ЙХ» ! ЙХ»+!... «»-! «»+! «и ... 8Х»ь Следовательно, подставляя (83.3) в (83.2), получаем Я= -/с Х ) 1п И5з(Х) К(Х!) ДХь ! ! (Х~! (83.4) (83.5) 295 Такая связь действительно супгествует, как зто непосредственно видно из статистического выражения для энтропии идеального газа. Согласно (39.13), для термодинамически равновесной системы энтропия Я= — 1с 1 1п зе (Х) зе (Х) бХ, (х! где зе (Х) — плотность вероятности канонического распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
