Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Для идеального газа вследствие статистической независимости молекул друг от друга (Х) = П 18'(Х.) (83.3) » ! Для молекулы индекса л с координатами и импульсами гь р» (сокращенно Х») в соответствии с (78.1) поскольку (см. (83.4)) (83.б) ( Н,(Х,) 4Х=1. гхэ) Нереходя, согласно (80.10), от функции )Г)(Х)) к функции распределения Дг, «, г) и учитывая, что вследствие тождественности частиц все члены суммы (83.6) одинаковы, получаем Я= -к 1 1 /(г, «) Ь)/(г, «) бг г1«+(сК 1п (лгал).
(83.7) а) м) Следовательно, для идеального газа энтропия Ь' и функция Н.связаны соотношением Я= — йН+ Яс, (83.8) где Яе = Й)«' 1и (пгэ)«), т. е. с точностью до произвольной постоянной энтропия пропорциональна минус Н-функции Больцмана На этом примере идеального газа мы убакдаемся в том, что функцию — йН можно рассматривать как естественное определение энтропии для неравновесного случая. Иначе говоря, неравновесная энтропия системы Я= — Ц ~ /'(г, «, г) 1аДг, «, г) дгй«+Хе, а) о) где Дг, «, г) = л)э)«'1Г(г, р, г).
Определенная таким образом энтропия подчийяется закону возрастания энтропии, т. е. неравенству (83.1). йзн. Показать, чго дла одвородпого газа условие мивимума Н-фувкпии (максимума эвтропви) при эмиввыа средвей энергии в числе частац приводит к распределеввю Максвелла — Больцмава. а3.2. Ввутри шара радвусом а с постоаввой плотностью де распределевы частицы массой ю прв температуре Т Э(к. В момевт аремеив г Е оболочка шара исчезает в вачвваетса саободвый разлет частюь Кейта плотвость чвсла частиц р(г, г) ва расстоквви г от цевтра шара а момевт г.
Стожпоаевпкми пренебречь. 84. Несимметризоваииое приблюкеиае и его приловпягие к кристаллам В предыдущих разделах предполагалось, что фазовая плотность вероятности симметрична относительно перестановок координат и импульсов одинаковых частиц: )«(Хь то Хь -' Хд -' Х». г) =)«(Хь - Хд -' Хо -' Х». г) (84.1) 296 (где для сокращения записи использовано обозначение Хеаиге, ра), в силу чего справедливы формулы (78.11). Согласно (35.7), (3б.2) и (38.19), в состоянии полного термодинамнческого равновесия фазовая йлотность вероятности обладает этым свойством, поскольку функция Гамильтона инвариантна относительно таких перестановок.
В общем же случае требование (84.1) не является обязательным, так как в классической теории тождественные часпщы различны: каждая из ыих движется по индивидуальной траекторни в соответствии с уравнениямы Гамильтона (5.3) и начальными условными. Отсюда следует, что при ыеравыовесиых процессах наличие вли отсугствые переетаыовочиой симметрии ' (84.1) зависит от распределения веровтиастей начальных значений фазовых координат частвц ге(Х, ге). Квазиравновесные состояния также могут описываться несимметричной фазовой плотностью вероятностно.
Условие нерестановочной симметрии (84.1) в большинстве случаев приводит к колоссальному упрощеыию: она дает возможность вместо Фсх10хэ уравнений (78.10) для одночастычных плотностей вероятности, гт'(Ф-Ц/2 уравнений для двухчастичных функций ы т. д. рассматрывать по одному уравнеыюо для фушщни каждого порядка (78.12), (78.13), (78.14), которые образуют цепочку уравнений Боголюбова. Однако вытекающее из (84.1) совпадение одночастичных функций всех одинаковых частиц (78.11), а следовательно, и их пропорциональность средней плотности числа частиц в дпространстве т(г, р) (55.10), например в случае кристалла, для которого и является пространственно-периодической функцией, прыводит к тому, что каждый атом с равной вероятностью может одновременно находиться около любого узла рвгиетки.
На самом же деле, как показывает эксперимент, атомы кристалла соввргаают малые колебания около узлов решетки, а их нвреходы в другие узлы сравнительно редки. Поэтому каждый атом кристалла должен опысываться своей одночастичной плотностью вероятности, отличной от нуля только в окрестносты соответствующего узла ы быстро убывающей при удалении от него. Следовательно, условия (78.11) для кристалла не выполняются и фазовая плотносп* вероятности несимметрична относительно перестановки одинаковых частиц: ге (Хь - Хь - Хг. -. Хю 1) 4 ге (Хи - Хр -" Хь -" Хн.
г) (84 2) В этом случае ыеобходнмо использовать сыстему д( уравнений (78.10). Будем считать, что Уе-— О, поскольку внешыие силы, действующие на кристалл, обычно можно учесть вводя давление р или, более общо, тензор напряжений. Парный потенциал межатомных еСмчвапример: Смрумиисква В. В. ДАН СССР, 1966. Т. 171. 36 3. С. 541— 544; Терлевхегг Н. П., Зувсе В. И. Вести. МГУ, физ., астров., 1968. 36 5. С. 53— 60; Кога Т. Введеиие а хиветвтесхую творите стохаствчесхвх прова:соа в газах. М., 1983. 297 взаимодействнй будем обозначать Фи зарезервировав букву У за полной потенциальной энергией: 1 1 У(гь ..., гя)=-~,Фр — — -2,' Фг(~г,— гЯ. (84.3) 2вн 2ви Тогда уравнения (78.10) удобно представить как я Г двг дн'р — '+-' — ' — ~~~ (1 -68) ~ — — сИ~-0(1 41<)9).
дг ю дц, ~ дг~ др~ (Множитель с символом Кронекера указывает на отсутствие в сумме по ( слагаемого с1= 1, а дифференцирование по вектору понимается как градиент в соответствующем пространстве.) Система уравнений (84.4), помимо л( одночастичных, содержит л((Ф-1)/2 двухчастичных плотностей вероятности. Для последних дифференцированием формулы (78.9) с учетом (78.6) получается следующая система уравнений: (84.4) (/ д д~ д р/д д'1 — +- р,— +р,— Жр — — — 1Р„- д~ т ~ дг; дгг~ дг~ ~ др> др2/ И Г/два д дфд дЪ Х (1 да) (1 бд) ~ ~ — — + — — ) 1ГраоХа=О (1<1<~<Ф). с-~ дг~ ди дгз дЬ (845) дн'~ В ди'5 дН5 и Г дфр + — ~ (1-а„)~ — )Р;И;=О (1«Л().
Эс т дг~ др; дг~ (84.7) 298 Она, в свою очередь, содержит также К(Ф вЂ” 1) (Ф-2)/31 трехчастичных функций и т. д. Следовательно, а общем случае из уравнения Лиувилля вытекает цепочка систем уравнений (84.4), (84.5), .... Она переходит в обычную цепочку уравнений Боголюбова только при наложении на фазовую плотность вероятности условия перестановочной симметрии (84.1). Для обрывания несимметризованной цепочки используем, аналогично (79.1), приближение Ю9 (Хь Хл г) = %~ (Хь г) %~ (Хр г). (84.6) Его применимость к кристаллам обеспечивается тем, что каждый атом имеет большое число соседей ()10), а амплитуды колебаний атомов малы ((0,1 среднего расстояйия между ними) и, следовательно, взаимодействие имеет коллективный характер, а не характер соударений.
Подстановка (84.6) в (84.4) дает замкнутую систему нелинейных интегродифференциальных уравнений для одночастичных плотностей вероятности В равиовесном состоавии 8И,уаг=о. (84.8) Решение стационарных уравнений (84.7) будем искать методом азделеииа переменных, выбирая, как обычно в равновесии с термоатом, максвелловскую зависимость от импульсов ИГ,(гв р)=(2аглЭ) "е ' и,(г,).
(84.9) Подстановка (84.8) и (84.9) дает (дю[ кч и д Р ~ — + — 2,' (1 — дг) — ~ Феес~бг, =О. (йч е,, дт! Из-за произвольности р, должно быть равно нулю выражение в фи- гурных скобках. Деля его на ве имеем и йгай 1пм,+ — ~; (1-Бе) Фгтк~ бг =О, Э т. е. выражение в квадратных скобках равно константе. Обозначая ее -1пЛв получаем нелинейные интегральные уравнения длл пространственных частей вч(г~) одночастичных плотностей вероатиости (84.9): 1в[лде,(г)]+ 1 ) (1-8„) Ф(~г;г~)от (г) бг =О; 1«<Ю. (84.1О) ея Константы Л, определяются из условий нормировки )" н~,(г,)бг,=1.
(84.11) В случае идеального кристалла (при У~ со) одночастичиые функции всех атомов имеют одинаковую форму, но сдвинутые друг относительно друга на векторы трансллции решетки, так что каждая из них отлична от пула только вблизи соответствующего узла решетки. Координаты узлов задаются формулами В=эвв (84.12) где А — матрица с элементами размерности длииы, определающал тип решетки и ее параметры, а в; — безразмерные векторы с целочислеппыми проекциями иа координате оси'. Поэтому указанное 'См., вапрвмер: Лейбирвд Г. Мвкроскокияескак теория меяавикесиик и тепловых свойств кристаллов.
М., 1963. 299 свойство одночастичных функций записывается в виде в,(г,)=в(г;Ав). (84.13) Подставим (84.13) в (84.10) и произведем замену переменных: г>=Апю+Ч; г/=Ав1+Ч'. (84.14) В результате система (84.10) распадается на н одинаковых незя~ висимых уравнений для плотности вероятности смещений атомов из узлов: 1 1п 1пв (43И + — 1 К (4$ — и ) в Ю йИ = О. (84.Ц) Ядро этого уравнения )Г(й-й')= Х Ф08-А -81) (84.1б) представляет собой энергию взаимодействия атома, находящегося на расстоянии 9 от узла, с остальными атомами, смещенными из своих узлов на 9'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
