Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1994) (1185098), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Следовательно, для всегда изолированной системы макроскопические уравнения таковы, что для бесконечного промежутка времени все обратимо, так «ак энтропия сначала убывает, а затем возрастает. Для неизолированной всегда системы начальный момент 1бизичсски выделен и начиная с этого момента макроскопические уравнения могут дать лшиь возрастание энтропии, что не противоречит микроскопической обратимости.
Следует остановиться еще раз на возражении Цермело, выдвинутом против Н-теоремы Больцмана. Цермело утверждал, что -нз доказанной им н Пункаре теоремы (см. 8 85) через достаточно большой промежуток времена любая изолированная механическая система должна вернуться сколь угодно близко к любому исходному нвравновесному состояншо, т. е. энтропия системы должна не только возрастать (когда система переходит из неравновесного состояния в равновесное), но и убывать (когда система вновь возвращает51з ся в неравновесное состояние).
Однако, согласно Н-теореме, энтропия может только возрастать. Следовательно, заключает Цермело, уравнение Больцмана протыворечыт мехапыке. Возражение Цермело легко устраняется, если учесть, что уравнение Больцмана не точное уравнение для функции Дг, ч, г), а лишь приближенное. В нем явно не учитываются тройные ы большей кратносты соудареыыя.
В силу этого уравнение Больцмана не учитывает возможные флуктуации величины Н. Возвраты же к неравновесыым состояниям, рассмотренные Цермело, имеют явно флуктуацнонный характер. Таким образом, нет никакого принципиального противоречия между абсолютной обратимосп ю законов микродвыжеыыя н необратимостью выводимых ыз ннх макроскопнческнх уравнений движения. Надо только учитывать, что необратимый характер макроскопнческых уравнений принципиально может быть получен только для ограынченных отрезков времени. Всякая же экстраполяцыя полученных уравнеыый на прошедшие времена, а также на очень удаленные будущие времена является незаконной, т.
е. выходящей за рамки тех предположений, на основанын которых выводятся необратимые уравнеыыя движения. Более трудной проблемой является устранеыне противоречия между наблюдающейся во всей Вселенной необратимостью и абсолютной обратимостъю законов движения мнкрообъектов. Во всех наблюдаемых нами областях Вселенной необратимые процессы развиваются в одном и том же «положитвльномз направлении течения времени, т. в. энтропия всюду спонтаюю лишь возрастает в любых изолируемых системах.
Исходя из обратимых законов мнкродвыжения, мы моглы бы получить возрастание энтропии для отдельных участков Вселенной как в положительном, так н в отрицательном ыаправленны течения времени, т. е. как ее возрастание, так н убывание. Для устранения этого противоречия было высказано мыого различных гипотез о сущности статистического метода н о характере процессов во Вселенной. Наиболее последовательным предположением для разрешения этого противоречия является, однако, высказанная ранее всех других флуктуационная гияотеза Больцмана. Согласно этой пшотезе, вся видимая нами Вселенная находится в состоянии гигшапской флуктуации и наш мир существует в тот отрезок времени, когда энтропия увелнчнвается в условно обозначаемом как положительное направление течения времени (определяемом чисто механически). Таким образом, допускается, что в другие периоды или в других весьма удаленных областях Вселенной энтропия может не возрастать, а убывать, т. е.
необратимые процессы будут протекать как бы понятно во времени. Основным возражением против гипотезы Больцмана является известное соображение, что ввроятносзпь такой гигантской флуктуации должна быть напполько мала по сравнению с флуктуацивй 313 е значительно меныием объеме, что соеерьиенно неееронтной будет нодобная гигантская флуктуация. Это возражение опирается на подсчеты величины флуктуаций для систем с аддитивной энергией, например для идеального газа.
Действительно, для идеального газа, согласно (69.3), относительная флуктуация объема выделенной массы газа, или, согласно (69.14), относительная флуктуация концентрации, равна где 6 — гравитационная постоянная, и — числовой коэффициент порядка единицы, определяемый характером распределения массы внутри объема К получаем для давления Ж~ з ео з 4/3 дУ УЦ Р-1 Мз Р- ди з (87.3) откуда — = -Кэ Р э+4/9 и О МзК ди (87.4) Подставляя последнее выражение в формулу (69.1) н заменяя М на тФ, где т — масса молекул, получаем (87.5) Заменяя Р на Ф/р, эту формулу можно записать также в виде 314 аЬ(Ц) Ь(р) 1 ч р .Я т. е. стремится к нулю при достаточно больших числах Ф. Такнм образом, из (87.1) и неравенства Чебышева (2.29) вероятность сколько-нибудь заметных флуктуаций для макроскопических систем исчезающе мала и уменьшается с ростом вх размеров.
Однако реальная Вселенная не идеальный газ. Она является гравитирующей системой с неаддитивной энергией. Для такой системы незаконно применение формул (87.1) и вообще термодинамики, поскольку последняя построена для аддитивньк систем. Флуктуацию в гравитирующей системе можно оценить, применяя более общую формулу (69.1), или (69.10). Считая, что для заданной массы М газа гравитационная энергия Лез У,=-0 — и, Цо (87.2) (87.6) /М ! 4е т т (1 — б л!ер Ф 9ее Из последней формулы видно, что при постоянной средней концентрации р относительная флуктуация объема при достаточно больших У может возрастать с ростом )Ц, а ие убывать, как это имеет место для идеального газа.
Конечно, полученная формула (87.6) является грубо оценочной по ряду причин. Однако она позволяет сделать качественно верный вывод о возможности больших относительных флуктуаций при достаточно больших размерах системы. Таким образом, флуктуационную гюютезу Больцмана можно рассматривать в качестве весьма правдоподобного обьяенения наблюдаемой в окружающем мире для необратимых процессов однонаправленности во времени. 88.
Энтропии и информация Статистическая физика вложила в понятие энтропии существенно новое содержание. В отличие от термодинамики, где энтропия представляется как один нз термодннамических параметров, подобный внутренней энергии или термодинамнческому потенциалу, однозначно определяющих объективное состояние системы, в статистической физике энтропия является статистической характеристикой состояния, зависящей от совокупности сведений о системе. Иначе говоря, статистическая энтропия системы зависит от информации о системе, имеющейея в нашем распоряжении. Рассмотрим зту связь энтропии и информацни более детально.
Начнем с анализа статистических выражений энтропии. Согласно Гиббсу (см. $39), для равновесных состояний энтропия определяется как Б=-й 1 П (ХЛ ~Х> бХ, гг! т. е. как величина, пропорциональная среднему значению логарифма вероятности: Я= — к !пв. (88.2) Это выражение удовлетворяет соотношению, точно совпадающему Для еаавтоаые систем, согласео 5 43, эитроелл оеределлетсе еал (88.2) с основным дифференциальным соотношением термодинамики (15.4), если в качестве плотности вероятности ю (Х) выбрать каноническое распределение (38.19), как это было выяснено в конце з 39. Такое точное определение не получается, однако, для других равновесных распределений. Так, например, для распределения (88.3) 0ЬЕ ~ оЕ стремящегося, согласно (55.6), к микроканоническому при ЬЕ~О, нз формулы (88.
1) находим Я=к ]п(йЬЕ), (88.4) Я=/с [пЬГ, (88.5) где ЬГ= (дГ/дЕ/ ЬŠ— объем слоя фазового пространства, заключенного между поверхностями Н (х, и/ =Е и Н(х, а) =Е+ЬЕ. Но, с другой стороны, нам известно, что для микроканонического распределения не выражение (88.4), а выражение (36.13), т. е. Я=к [в Г, (88.6) точно удовлетворяет соотношению (15.1). Следовательно, (38.5) не удовлетворяет основному дифференциальному соотношению (16.23).
Легко, однако, показать, что для аддитивных систем, с которыми имеет дело термодинамика, при Ф-+со выражения (88.5) и (88.6) отличаются лишь на пренебрежимо малое слагаемое и, практически удовлетворяют одному и тому же дифференциальному соотноше- нйЮ (15.1).. Действительно, в силу того, что для аддитивных систем й/Е/ возрастает как степенная функция Е с показателем степени, пропорциональным числу частиц, величины 1п Г н 1п ЬГ отличаются на несущественную величину. Так, например, согласно задаче 38.1, для идеального таза Г (Е) Е, откуда едн 1пЬГ=[пГ+[л ~ — — ~. г'з]чае'1 (88.7) 1~2 Е~ Первое слагаемое правой части этой формулы пропорционально Ф, в то время как второе зависит от Ф только под знаком логарифма.
Следовательно, при достаточно больших К вторым слагаемым всегда можно пренебречье. Так устраняется противоречие между формулами (88.5) и (88.6). На свойство нечувствительности формулы (88.4) к некоторой евелнчина ЩЕ талие монет быть выбрана завнслшеа от ]ч. Испственио -1/2 считать ЬЕ/(Е-1ч [см. [41.Е)]. Но в этом случае сделанное выше ваклшченне остаетса в силе. 316 произвольности в определении статистического веса обратил внымание еще Г. А. Лоренц». Таким образом, для любых термодынамыческых аддытывнь1х систем гыббсовское выражение (88.1) может рассматриваться как наиболее общее статыстыческое определение энтропии.
Однако с такым же основанием ы выраженые выда (88.4) может рассматрываться как исходное. Действительно, понимая под ЬЕ среднее квадратычное уклонение энергии Ь (Е), обусловленное флуктуацыямы, ы называя статистическим весом величину ЮГ=ПА (Е), энтропию сыстемы можно определить как велнчыыу, пропорциональную логарифму статистического веса. С чисто статыстыческоы точки зрения определеыые энтропии через проызведеные постоянной Больцмана на логаыфм статыстыческого веса менее последовательно, чем по Гиббсу см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
