Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Следовательно, практически всегда онные степени свободы можно не учитывать при п теплоемкости идеального газа. Зная значение критических темп можно предсказать характер зависимости тепло двухатомного газа от температуры. Очевидно, от до Т = ТР™п значение теплоемкости газа, состоящ юлекул, будет 3 приближаться к — 1«, как у одноатом за. Затем, при переходе через То™ теплоемкость у е ается до -1«, 5 2 как у двухатомного газа. Такое знач дет оставаться вплоть до Т = Т<и и~ и далее опять ся, поскольку «включитсяи колебательная степень свободы.
Следовательно, ход кри- Ге вой теплоемкости двух- атомного идеального газа будет иметь вид, изоб. раженный на рис. 25. Такая зависимость теплоемкости от температуры действительно наблюдается экспериментально. Рис. 25 7 терлецкий я. п. % 45. Ивантоваи статнстниа систем одинаиовыс частиц Формула квантового канонического распределения (40.13) справедлива для любых систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия с термостатом, обладающим температурным модулем 9. Следовательно, вероятность заданного значения энергии Е, для всех 'систем, в том числе и для идеальных газов, состоящих из Ж одинаковых частиц, можно вычислять по формуле %~ — е, )тг(Е,) =е " д», (45.1) прн этом величины Е, и д» определяются путем решения соответствующей квантовомеханической задачи на отыскание собственных волновых функций и собственных значений энергии. Величина Ч" определяется из условия нормировки.
Если система состоит из одинаковых невзаимодейетвуюа(их друг с другом частиц, то вычисление Е, чрезвычайно упрощается, так как полная энергия системы может быть представлена как сумма энергий отдельных частиц или как Е»= ~ п,еь (45.2) !=О где е, — собственные значения энергии отдельной частицы, и, — числа заполнения, т. е. числа частиц, имеющих заданные энергии е,. Действительно, в случае системы одинаковых невзаимодействующих частиц оператор Гамильтона всей системы равен сумме операторов Гамильтона отдельных частиц: Й (г,, ге, ..., гн) = Н (г,)+ ... +Й (гн).
(45.3) Следовательно, уравнение Шредингера Я"Ч»(г» ~...., гх) =Е»Ч»»(гм гм ..., гн) (45.4) имеет решение Ч',(гм гм ..., г„) =Ч» (г,) Чл,(г,) ... И»„,(гн), (45.5) где»р, (г) определяются из уравнения Шредингера для отдельной частицы, т, е. Н Чч (г ) = е»1(ч (г ). (45,б) 1С4 Подстановка (45.5) в (45.4) дает Еа=е~ +ее + ... +в~ =пепе+па,+..., (45.7) т. е. выражение (45.2). Менее тривиальной является операция вычисления да. Если (45.5) рассматривать как собственную функцию системы, то при одном и том же значении Еа система может находиться в дч ле! па! ...
(45.8) различных состояниях, так как все возможные перестановки координат частиц в выражении (45.5) будут давать новые функции, за исключением тех перестановок, при которых переставляются координаты г„у двух входяших в (45.5) функций, принадлежащих одному и тому же собственному значению еь Таким образом, полное число физически различных состояний равно полному числу перестановок У1, деленному на числа перестановок в группах одинаковых собственных функций, т.
е. на и,!и,! ..., так как каждое число заполнения п, равно числу одинаковых собственных функций ф„входящих в (45.5). Если известно число д„как функция чисел заполнения, то согласно (45.1), (45.2) легко составить выражение для вероятности заданных чисел заполнения. Очевидно, для системы с фиксированным числом частиц эта вероятность равна Ч' Х есег е=о (у'(П~, и,, ...)е а Ы(пе, п„...).6„~ „, (45,9) Е где последний множитель ' учитывает осуществимость лишь тех состояний, когда ~ пе = М.
Зная эту вероятность, ! можно вычислять всевозможные средние, в частности сред- ние числа частиц, находящихся на данных уровнях, или, иными словами, средние числа заполнения. Если число частиц в системе не фиксировано, как это имеет место, например, для фотонного газа, то вместо обыч- ного канонического распределения надо пользоваться рас- пределением для большого ансамбля Гиббса. В соответст- вии с (19.11) формулу (45.9) в этом случае надо записать * Сиивол Кроиенера 6 „по определению равен единицеприве = и и равен нулю при ле эа и, р* 1вв в виде И+РХ вЂ” ~; л е, 1 г=о К (п„пм ...
) = -; е где д(по, п, ... ), (45.10) (45. 12) Для вычисления средних чисел заполнения воспользуемся следующим математическим приемом. Снабдим величину р, стоящую в показателе (45.13), индексом 1, т. е. будем считать, что система как бы имеет не один химический потенциал р, а целый набор химических потенциалов рь В конце же вычислений положим все р, одинаковыми и равными р. Произведя вышеуказанную замену, запишем условие нормировки ~ У, . (е'(п„п» ...)=ее Е=1, (45,14) лр л, где л (Л вЂ” е) е=о Е =~',~,'... е е Се(п„пм ... ), (45,15) ле ее 194 й(=,У', пь (45.
11) г=-о Множитель 1(Ж), как это было выяснено в 9 14 и 19, появляется в этой формуле вследствие учета одинаковости частиц и неразличимости состояний, получающихся посредством перестановок ЛГ частиц, т. е. перестановок гь (е и г„, 1,. Этот множитель можно опускать в распределениях с фиксированным числом частиц (45.9), но необходимо.
учитывать в большом гиббсовском ансамбле, в котором рассматриваются и сравниваются состояния со всеми возможными числами й(. Вводя обозначение б(п п ) И(ло ле ) (у) и подставляя (45.11), выражение (45.10) можно записать в виде и+ д,' л (и — е ) е=о 6(по, и,, ...). (45.13) т. е. и = — Е1п В. (45.1б) Рассмотрим производную а+ ~', лс(ис — ед дГС ! дн 6(пи, и,,...). дсси 8 дсси л, л, с=ел=о с=о л л~ (45. 19) откуда ис — ес й= — с91пЯ= — О ~ е с=о Применяя формулу (45.18), получаем сс — е п=в и (45.20) (45.
21) т. е. среднее число частиц на данном уровне пропорционально вероятности одной частице находиться на этом уровне. Этот результат представляется само собой разумеющимся с точки зрения классической теории, так как мы уже видели, что в случае распределения Максвелла — Больцмана средняя плотность числа частиц пропорциональна плотности вероятности нахождения одной частицы в задан- 1С)7 (45. 17) Если в последнем выражении положить все р, = р, то, согласно (45.10), правая часть формульс (45.17) приобретает смысл среднего значения числа заполнения п„т. е.
йл = — — ~ (45.18) дни ~м, = и' Вычислим по формулам (45.18), (45.15), (45.16) и„, полагая, что д (и„, и„...) равно выражению (45.8), справедливому для системы, описываемой волновой функцией (45.5), т. е. полагая, что при перестановке координат двух различных частиц, находящихся на различных уровнях, получается новое квантовое состояние (т. е, частицы различимы по перестановкам координат).
В этом случае -и лс0"с ис) =.=Х;е ' ...,.. =П Х'. =11'" (45. 22) Отсюда получаем ~(з) 1 гз (45. 23) Если, согласно (45.21), на каждом уровне находится в сред- нем з — е л,.=е в (45.24) фотонов, то средняя энергия в интервале г(е равна с и(е)де=ел,ай!(е)=сопз1.з'е "с(з, (45.25) или и(ы) Же=сонэ! ы'е " па. (45. 26) Таким образом, мы получили не формулу Планка (42.5), а приближенную формулу Вина (42.7), справедливую только при достаточно высоких частотах. Легко видеть, что правильный результат получился бы лишь в том случае, если вместо (45.24) поставить ! йц = е е — ! е (45.
27) 2. Электроны в металле. Электроны проводимости в металле движутся почти как свободные. Поэтому к отдельному электрону можно применить выводы классической ста1Вз ной точке фазового пространства (см, З 15, формула (15.10)). Однако формула (45.21), называемая формулой стптистики Больпмана, приводит к ошибочным результатам при применении к конкретным системам, находяшимся при достаточно низкой температуре. Остановимся на двух конкретных примерах.
1. Фотонный газ. Формулу Планка можно вывести, исходя не из картины абстрактных оспилляторов — стоячих волн, а из представления о свете как о совокупности фотонов. Возможные энергии фотонов определяются из волновой картины. Следовательно, число уровней, лежащих в интервале энергий е, е + с(е определится из формулы (42.1), если учесть, что частота и энергия фотона связаны соотношением тистики, т. е. считать, что его средняя энергия равна — тт. з 2 Но тогда для практически невзаимодействующих Л' электронов получим среднюю энергию Е = )т* — 0 = — те Т. з з 2 2 (45.
28) % 46. ьтатнстннн Базе — Эйнштейна н Фершн — Дарана В предыдущем параграфе в качестве простейшего решения уравнения Шредингера для системы частиц мы брали произведение собственных функций тр, (г,), т. е. выражение (45.5). Известно, однако, что суммы такого рода решений также являются решениями, соответствующими определенным состояниям.
Кроме того, в квантовой механике доказывается, что системы одинаковых частиц могут иметь либо симметричные, либо антисимметричные относительно перестановок координат волновые функции ". Если спин частиц системы целочисленный (т. е. и = йл, где п = О, 1, 2, 3, ...), то в соответствии с теоремой Паули система должна описываться симметричной волновой функцией. Если же 11 спин частиц полуцелый (т. е. а=тт' 1 и), где п =О, 1, ~,2 2, 3, ...), то система должна описываться антисимметричной волновой функцией. Выражение (45.5) не является симметричной или антисимметричной волновой функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
