Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 32
Текст из файла (страница 32)
26). Особый интерес представляет случай маг лых температур. Пусть при 1 О -г- О, р — р„. Тогда при О (( рю = йТс (48.1) согласно формуле (46.19), получаем пг=1 ПРИ е(1го, яг=О при е)р„ (48.2) и кривая, изображенная на рис. 26, вырождается в кривую, изображенную на рис. 27, т. е, электроны а 6гг" ггг с занимают все нижние уровни вплоть до уровня ег — — р„ причем на каждом уровне находится по одному электрону, а все более высокие уровни свободны. Следовательно, при температуре более низкой, чем температура вырождения Т, =- р,))г, энергия электронного газа имеет минимальное значение и не зависит от температуры, Поэтому электронный газ может иметь отличную от нуля теплоемкость только при температурах, приближающихся к температуре вырождения и превосходящих ее. Температура вырождения может быть определена из условия, что число частип, заполняющих по одной все энергетические уровни вплоть до е = р„должно быть равно полному числу частиц Лг.
Следовательно, если с(Лг (е)— число уровней в энергетическом интервале е, е + де, то Рис. 26 Рис. 27 (48.3) при 6 ~ ре. 2ЦБ СО гл гг' = ) — — — ~ аггу (е) вА' (е) г — 8 двв +1 о С квантовой точки зрения электроны, находящиеся в куске металла объемом Г, могут рассматриваться как стоячие волны де Бройля. Поэтому для определения гйх' (е) можно воспользоваться формулой (18.38) для числа стоячих волн, имеющих частоты, лежащие в интервале от о до ы + йо. Эта формула была выведена для ы = с, 'й ~,и она может быть записана для волнового числа А в виде 2л-' (48.4) Учитывая соотношение де Бройля между импульсом р и волновым числом Й (48.5) формулу (48.4) можно также записать в виде ~~(Р) = д ~эз (48.6) Но для нерелятивистской частицы энергия связана с импульсом как ф а=в 2т (48.7) откуда р' г(р = 'г'2т'е Ые.
(48.8) откуда ро= — (зпз)юз (Г ) (48.12) Следовательно, согласно (48.6), (48.9) Если учесть, что электроны имеют спин, равный Ы2, вследствие чего электронные волны обладают двумя состояниями поляризации, то. для электронов выражение (48.9) надо умножить на 2, т. е. положить (48.10) Подставляя (48.10) в (48.3) и интегрируя по е, получим Температура вырождения Т„= "', вычисленная, согласно э — д (48.12), для электронного газа в металлах, оказывается порядка !О 000' К. Этим и объясняется тот факт, что при комнатных и более низких температурах теплоемкость электронного газа пренебрежимо мала.
Формула (48.10) позволяет также вычислить энергию вырожденного электронного газа. Действительно, в общем случае Е= ! ел~ИЛ (е)= ~аз '! ~ — и 1 2~'~' г е ла (48 18) о ое е+! Для вырожденного газа можно, очевидно, положить Ие е Отсюда можно найти и уравнение состояния вырожденного электронного газа. Поскольку при Т (( Т, вероятность пребывания системы в нижнем состоянии с энергией Е =- Е, гораздо больше вероятности пребывания в состояниях с более высокой энергией, то свободная энергия равна г, Ч"= — 9!пЯ вЂ” 01пе е =Е,.
(48.15) Следовательно, можно считать, что аню 3 дно 3 ~, 2 Ра 2Е 1 др дк 5 ди — '5 'ЗР— 3 ОР (48.16) или (48. 17) Рг=3Ео В уравнение состояния вырожденного электронного газа не входит температура, так как Е, не зависит от температуры. Формулы (48.3) и (48.13) позволяют вычислить энергию электронного газа и при температурах, сравнимых с температурой вырождения. Здесь мы, однако, ограничимся лишь случаем полностью вырожденного электронного газа.
208 % 49. Конденоацнн идеального гана Бозе — Эйнштейна Рассмотрим идеальный газ, состоящий из молекул с целочисленным спином, например газообразный изотоп гелия с атомным весом 4. Для такого газа справедливы формулы статистики Бозе — Эйнштейна и поэтому среднее число частиц, имеющих энергии, лежащие в интервале е, е + о(е, выражается как 4У (е) е — ! (49. 1) где Иl (е) так же, как и в предыдущем параграфе, означает, число энергетических уровней в интервале е, е + !Ге. Если спин молекул равен нулю, как это имеет место для гелия 4, то о(Л!(е) определяется полученной в предыдущем параграфе формулой (48.9).
Подставляя (48.9) в (49.1) и интегрируя по е от О до оо, получаем уравнение 1/2т' !' '( 1' е Ие 2лоао,) о — о о е (49.2) определяющее химический потенциал р. Среднее число частиц дл (е) может быть только положительным, о(Л! (е) также больше нуля, поэтому и<О, (49.3) е — и е 1'еде шй (е — о '!о о (ее д ~ Егййд, о е — ! (49. 4) е — о ! е Е'ейде и'е — о !е о ~о е д (' 1'еде д .) е — и и о е так как в противном случае при О ( е ( р знаменатель (49.1) отрицателен и поэтому !(и (е) также отрицательно, что недопустимо.
Нетрудно также показать, что р монотонно убывает с ростом температуры. Действительно, применяя правила дифференцирования неявных функций к (49.2), получаем Но в силу (49.3) е — р ) О, следовательно, подынтегральные члены, стоящие в интегралах правой части (49.4), положительны при всех значениях а и поэтому др лзз <О. (49.5) Следовательно, при понижении температуры р может лишь возрастать от более отрицательных значений к более высоким, вплоть до максимального значения р = — О.
Максимальное, т. е. нулевое значение р, достигается при некоторой критической температуре Тш Определим эту температуру, полагая в уравнении (49.2) )з = 0: зг 1~ 2ш "' 1е 1~а "е '"' Р Озга 1е Т х"" (49 8) 2язаз 3 ееГоз — ! 2!Гаязаз " ,) ет а Интеграл, стоящий справа, вычисляется *, и приближенно можно считать ~ и '~=2,81. о Таким образом, (49.7) Для всех известных бозе-эйнштейновских газов эта температура очень мала. Так, например, для гелия 4, даже при плотности жидкого гелия порядка 0,12 г!смз получаем Т„=2,8'"*.
Однако эта температура отлична от пуля и * Этот интеграл вычисляется аналогично интегралу (42.9); хи дх ~ х г~ (е х+е зх+е зх+ 1 ох= ех — 1 о о = ~х е 41+ — + — + ...~г!х= !/з — к! ! 1 23!2 ЗЗ/2 о =2 ~ р е в 0у т — = — 2,612=2,З1. йз!2 о з=! ** Строго говоря, для таких больших плотностей развитая выше теория неприменима, так как она построена для идеальнык газов, а не жидкостей. Полученная таким образом температура должна рассматриваться лишь как грубая оценка истинной критической температуры. 210 поэтому существует некоторая область температур более низ- ких, чем критическая, т.
е. о<В<о~ (49.8) В этом температурном интервале, очевидно, р = О, так как в силу (49.5) химический потенциал р не может убы- вать при уменьшении температуры, и в силу (49.3) не может стать положительным. Но тогда для 19 ( Оо условие (49.2) может быть выполнено лишь при числе частиц М' меньшем, чем Дг. Действительно, для 19 (О, и 9=0 условие (49.2) принимает форму уравнения (49.6), откуда и' /я тап М '~по ' (49.9) Но число частиц в системе постоянно, поэтому полученный результат нуждается в специальном физическом истолкова- нии. То, что Дг'(М при О(О„означает, очевидно, что 'лишь М' частиц из полного числа йГ могут быть распреде- лены по энергетическим уровням в соответствии с (49 1), т.
е. согласно формуле 2П' айаееГ — 1 (2,З1) На" е"Н вЂ” 1 Остальные же Ж вЂ” М' частиц должны быть распределены как-то иначе: например, все находиться на самом нижнем уровне, т. е. пребывать как бы в иной, условно говоря, конденсированной фазе. Последнее предположение можно обосновать, если учесть, что распределение (49.10), строго говоря, справедливо лишь для значений е гораздо больших, чем разность между са- мыми нижними энергетическими уровнями.
Для нижних же уровней можно пользоваться лишь формулой (4б.15), со- гласно которой при )ь-ь 0 на нижнем энергетическом уровне в=О" может в среднем находиться сколь угодно большое число частиц, в то время как по формуле (49.10) среднее число частиц, находящихся в интервале 0(е(вт <О, опр п(в,)= ~ йп(в)=20, е',г', (49.11) о т. е. стремится к нулю при е, — О, Таким образом, учитывая дискретность нижних энерге- тических уровней, плотность числа частиц правильнее ' Строго говоря, нижний уровень е„не равен нулю, а несколько больше нуля, Но и р при 0-ь О стремится не к нулю, а к еа. 14* 211 записать в виде Действительно, считая 6 — функцию симметричной и пола- гая (49.13) б(в) ((е 2 ' получаем, согласно (49.12) и (49.9), "„(~) г(~ =,Ч ~ — + ~ 1 — — ~~ = М, (49.14) о т. е.
полное число частиц системы, как это и должно иметь место в системе с сохраняющимся числом частиц. Следовательно, идеальный газ, состоящий из частиц с нулевым спином, при низких температурах может находиться в двух макроскопически различных состояниях или в двух фазах: в обычной газообразной, распределенной по уровням, согласно (49.10), и «конденсированной», находящейся на наинизшем возможном уровне. Этот теоретический вывод находится в качественном согласии с экспериментом, так как в действительности при Т ( 2,19' К (при атмосферном давлении) гелий 4 находится в двух жидких фазах — нормальной и сверхтекучей. Конечно, для жидкости вся теория должна была бы быть построена иначе, однако причина возникновения двухфазного состояния правильно вскрывается и в огрубленной »газовой» модели жидкого гелия. ЗАДАЧН Ч1-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
