Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 28
Текст из файла (страница 28)
е=о (40. 5) Или, вводя сумму состояний Л= ~ е (40.6) ' Вообще говоря, условие (40.2) удовлетворится и при Нта, являю. щихся функциями не только энергии Ещ но и других величин, не зависящих от времени. *' Зто выражение следует из определения матрицы плотности для канонического ансамбля в виде ( = — 1)= ч — й ( ч — й<я з д~е ) ч'/= ) б(о — о")е в б(п' — д")нч". тта Согласно (39.8) и (39.5), условие (40.2) удовлетворяется при любых Ж'„, являющихся функциями энергий Е„'". По аналогии с классическим случаем для системы, на- .
ходящейся в термостате, %'е мы можем выбрать в виде являющуюся квантовым аналогом интеграла состояний, получаем Ч' = — О 1п Л. (40. 7) Легко убедиться в том, что Ч' и О, согласно (40.7), (40.6) и (39.7), обладают свойствами свободной энергии и абсолютной температуры. Действительно, рассмотрим для этого производные Ч' по О и по внешнему параметру а. Очевидно, ч» и дЧ" 8 дх Ч' е д Ч)т дн с д6 6 дВ ~ — = — 1пЯ вЂ” — = — — Оке -Ъе ж — яа = » (т — Л е» вЂ”, (4е.э) или Е=1 Йдн' т. е. уравнение Гиббса — Гельмгольца.
Далее, очевидно, (40.9) Е дЕа е ч" — ее а (40. 10) Но из квантовой механики известно ", что дЕа г дН; ( фадН ф ( (40 да»», да,»' а,) да дЕа Г, дй,/ дй »» да д а да " ч »», да,»»а' * Пусть оператор Й является функцией внешнего параметра а. Тогда, дифференцируя стационарное уравнение Шредингера (Зе.й) по а, получаем дНЧг Й дчга дЕ" Ч' Е да а+ да да а а да ' Умножая слева на Ч'а и интегрируя по д, находим Ч; — — Чадя= ~ Ч,'Ча дч+ ~ Ч;(Е,— Н) — аР. Второй член правой части этого выражения равен нулю, так каи Й самосопряженный оператор, т.
е. ~фйхдя=) хйфдь откуда Чг»Й — до= ~ — ЙЧг» до= ~ — Е Ч» до= ~ Ч'"Е дф - дЧ'а Г дЧ'а - Г дЧ'а дча да д да а д да " а д а " да Следовательно откуда (40.10) записывается в виде дЧ' дй — д — — — — а — — — А, да да (40. 12) ч" — ел уд-— — е е дм (40. 13) где д„— кратность вырождения. В правильности (40.13) легко убедиться, допуская, что под действием каких-то возмущений вырождение снимается, т. е. уровни расщеп- ляются, и (40.13) должно превратиться в (40.3).
% 41. Квантовый ооцоллвтор Применим квантовое каноническое распределение к вычислению средней энергии квантового гармонического осциллятора. Из квантовой механики известно, что энергия гармонического линейного осцнллятора с частотой а может принимать лишь значения Е = йв й+ — ), где й=0, 1, 2, 3, ... (41.1) Следовательно, сумма состояний в, а ( 1) а а» 2= ~,е "=~Ч~~ е В( а!=в "' ~е е . (41,2) 1 во т.
е. получаем также известное термодинамическое выражение. Развивая далее рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены для классической системы (см. 4 12), убеждаемся в том, что Ч' и 6 имеют смысл свободной энергии и абсолютной температуры, а распределение (40.3) является квантовым каноническим распределением. Заметим, что распределение (40.3) написано для системы с полностью невырожденными уровнями. Если же имеет место вырождение, т. е. одному и тому же энергетическому уровню соответствует несколько различных ф„или несколько различных физических состояний, то )тт, надо, очевидно, записать в виде Но по формуле геометрической прогрессии о=о (41.3) тогда, полагая в (41.2) е е = д, получаем оа е Йа 1 — е е (41.4) Для вычисления средней энергии Е воспользуемся уравне- нием Гиббса — Гельмгольца (40.9) и выражением для Ч' (40. 7): Е = Ч' — 6 "- = — 6 !п Л+ 6 д.— (О !п Я) =.
О' — 1п Я. (41.5) Подставляя (41.4) в (41.5), получаем Е = — + „= — "- срп ---. оеь 2 2ее ' е — 1 е (41.6) Таким образом, средняя энергия квантового осциллятора существенно отличается от средней энергии классического осциллятора Е = 6. Лишь при 6 )) лез = ИТ„ (4 1.7) согласно (41.б), получаем (41.8) одае Е = — +йеое 2 (41.9) т. е. — аео ЫЕ Е- —, — — О. 2' е1Т (41. 10) 121 Однако при 6 (( йТ, единицей в знаменателе (41.6) можно пренебречь и положить зм Рис. 22 % 42, Формула Планка для равеовевногв налучення абсолютно черного тела В Е 18 мы подсчитали число абстрактных осцилляторов поля, содержащихся в интервале частот от а до со + йо, которое для электромагнитного излучения оказалось рав- ным «)у М) = —,.
гтм мгР (42. 1) Далее, мы полагали, что в соответствии с классической теорией на каждый абстрактный осциллятор в среднем приходится энергия О, и получили формулу Релея— Джинса (18.44), хорошо согласующуюся с опытом лишь для малых частот. Если мы, однако, в соответствии с квантовой теорией будем считать, что каждый абстрактный квантовый осциллятор в среднем имеет энергию, определяемую формулой (41.6), то в силу (42.1) получим е — 1/ тег Эти свойства зависимости средней энергии осциллятора от температуры иллюстрируются также кривой зависимости Е от 9„ изображенной на рис. 22.
р йЕ Исчезающая производная „—, при Т вЂ” О, или, что то же самое, ° ' при ы -э со, означает, что теплоемкость, приходящаяся на степень свободы, связываемую достаточно жесткой связью (большой коэффициент упругости, а следовательно, и большая а частота о), становится исчезающе малой и ею можно пренебречь. Однако, в отличие от классических представлений, при повышении температуры тепло- емкость постепенно восстанавливается до значения Й, соответствующего классической теплоемкости осциллятора, Эта формула содержит два качественно различных члена, так что и (со) можно представить в виде суммы: и (со) =- ио (ы) + ир (ы), (42. 3) где (42.4) (42.5) Последняя из выведенных формул — (42.5) была впервые теоретически получена Максом Планком в 1900 г.
Она оказалась прекрасно подтверждаемой экспериментально и(со) Рис. 23 наблюдаемой кривой спектральной плотности излучения абсолютно черного тела. Формула Планка как бы объединила две известные до нее формулы для равновесного излучения абсолютно черного тела: теоретическую формулу Релея — Джинса (18.44): я2 и (ы) = — 0)Р, к'с' (42.6) хорошо совпадающую с опытом для малых частот, и эмпирическую формулу Вина; йй~ и (со) = — созе 'е )р (42. 7) 183 подтверждаемую экспериментом для высоких частот.
Действительно, легко проверить, что прн йы ~ В формула (42.5) переходит в (42.6), а при Лсо )) О (42.5) переходит в (42.7). Это видно также из графика, на котором изображены кривые, получающиеся из формулы Планка — П., из формулы Рслея — Джинса — Р. — Д. и из формулы Вина — В. (рис. 23).
Из формулы Планка посредством интегрирования по оз получается формула закона Стефана — Больцмана для полной энергии излучения, приходящейся на единицу объема: :-= — !) и(ео) е(о!= —,, ~ „= ... ~ „У . (42.8) о Стоящий в (42.8) определенный интеграл, можно вычислить: " уз (е-у+а-зе+е-зз+ у ау г ео — 1 о = ~У'"о(У(1+2 + з4+" )=баб= 1= о т. е. уз ау нз ее — 1 15' о (42.9) Следовательно, (42.8) зюжно представить в виде Š— = аТ4, (42. 10) где 44пе 15взез (42.
11) Таким образом, постоянная закона Стефана — Больцмана выражается через мировые константы. Некоторые затруднения в рассмотренной квантовой теории излучения вызывает первый член и, (оз) в общей формуле (42.3) для и (оз). Нетрудно видеть, что полная энергия Ео = ~ ао (оз) «оз — ~ со.
о (42. 12) Этот результат представляется теоретически неприемлемым и первоначально пытались всевозможными путями устранить из общей формулы (42.2) — (42.3) член и, (оз). Однако этот член в квантовой теории неизбежно появляется, так как любой линейный или пространственный осциллятор !34 % 43, Теолоемнооть твердых тел В 190б г.
Эйнштейн показал, что отклонения от закона Дюлонга и Пти в области низких температур легко объясняются, если вместо классической формулы для средней энергии осциллятора (18.3) взять квантовую формулу (41.6), Полагая для простоты, что все атомы твердого тела колеблются с одной и той же частотой ео около своих положений равновесия, Эйнштейн получил для общей средней энергии тела выражение Е=Ео+ йш е — 1 в (43.
1) где Ео = 3Л1 — 2-. При Т(( Т,=- — формула (43.1) принимает вид Е = Ео+3Ыайе (43.2) (43.3) 1ЕЕ Лео имеет энергию нулевых колебаний — —. При бесконечном 2 ' же числе абстрактных осцилляторов приходящаяся на них энергия будет тоже бесконечной. Оказалось также, что энергию нулевых колебаний нельзя выбросить из теории, так как эффекты, связанные с этими колебаниями, обнаруживаются экспериментально по смещению спектральных линий атома водорода. И если предположить, что нулевые колебания отсутствуют, то экспериментально наблюдаемое смещение остается необъяснимым.
Таким образом, с одной стороны, нулевые колебания осцилляторов поля должны учитываться строгой квантовой теорией, а с другой стороны, получающаяся в результате учета нулевых колебаний бесконечная энергия поля вряд ли может оказаться физически приемлемой в любой теории. Здесь мы сталкиваемся с одним из неразрешенных пока парадоксов квантовой теории поля. Разрешение этого парадокса, по-видимому, приведет к построению новой, более совершенной теории, чем существующая квантовая теория поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
