Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Действительно, любое макроскопическое состояние является функцией микроскопического состояния. Но в силу обратимости уравнений микродвижения система может спонтанно переходить как из некоторого микроскопического состояния а в состояние Ь, так и наоборот из состояния Ь в состояние а без каких-либо внешних воздействий. Следовательно, и с макроскопической точки зрения система может спонтанно переходить как из макроскопического состояния А (соответствующего микросостоянию а) в состояние В (соответствующего микросостоянию Ь), так и наоборот — из В в А.

Но если мы доказали необратимость макродвижения, то спонтанный переход без посторонних воздействий возможен только в одном направлении, например из А в В, и невозможен из В в А. Указанное противоречие легко разрешается, если учесть, что необратимые макроскопические уравнения движения для любой изолированной системы должны быть справедливы лишь начиная с некоторого начального момента времени, т. е. момента приготовления системы, до которого она не была изолированной. Так, например, необратимый процесс теплопередачи от тела более горячего к телу более холодному начинается в момент приведения этих тел в тепловой контакт друг с другом. До этого момента тела были разделены и потребовалось некоторое заданное внешнее воздействие для их соединения, т. е.

для включения процесса теплопередачи. Следовательно, для изолированной системы необратимые уравнения движения должны быть справедливы только начиная с некоторого начального момента времени. Если же система является изолированной и не подвергающейся никаким внешним воздействиям, то в такой системе необратимый процесс может возникнуть лишь в И2 са результате спонтанной флуктуации.

Так, в рассмотренном выше примере состояние, когда из двух находящихся в тепловом контакте тел, одно имеет температуру Т„а другое— температуру Т„отличнуюот Т„может осуществиться лишь в результате спонтанной флуктуации. Но в этом случае до момента (а тепло переходило от холодного тела к горячему, а после 1, — от горячего тела к холодному.

Иначе говоря, до момента 1, процесс теплопроводности протекал в обратном по времени направлении, а после 1, — в прямом. В первом случае, когда си- 10 стема приготовляется путем сое- Рис. 20 динения двух неодинаково нагретых тел, временная зависимость общей энтропии имеет вид, изображенный на рис. 20. Во втором же случае, для всегда изолированной системы возможна лишь временная зависимость об1цей энтропии, изображенная на рис. 21. Следовательно, как в первом, так и во втором случае возрастание энтропии должно иметь место лишь начиная с момента 1,. До момента же (а во втором случае Я явно должно иметь место не возрастание, а убывание энтропии.

В первом же случае вообще до момента (а энтропия неизменна, т. е. могут быть справедливы законы необратимости Рис. 21 в любом направлении течения времени. Таким образом, и уравнение Больцмана должно быть справедливо лишь начиная с некоторого начального момента времени 1а, т, е, момента приготовления неравновесной системы.

В случае же, если при помощи уравнения Больцмана рассматриваются спонтанные флуктуации, то уравнение (32.16) должно применяться лишь с момента 1„ (например, с момента, когда функция Н максимальна или энтропия минимальна). До этого же момента необходимо применять уравнение, отличающееся от (32.16) знаком правой части (чтобы функция Н не убывала, а возрастала). в* 1аа Следовательно, для всегда изолированной системы макроскопические уравнения таковы, что для бесконечного промежутка времени все обратимо, так как энтропия сперва убывает, а затем возрастает.

Лля неизолированной же всегда системы начальный момент физически выделен, и, начиная с этого момента, макроскопические уравнения могут дать лишь возрастание энтропии, что не противоречит микроскопической обратимости. Следует остановиться также на возражении Цермело, выдвинутом против Н-теоремы Больцмана. Цермело утверждал, что в силу доказанной им и Пуанкаре теоремы (см. ~ 7) через достаточно большой промежуток времени любая изолированная механическая система должна вернуться сколь угодно близко к любому исходному неравновесному состоянию, т.

е. энтропия системы должна не только возрастать (когда система переходит из неравновесного состояния в равновесное), но и убывать (когда система вновь возвращается в неравновесное состояние). Однако, согласно Н-теореме, энтропия может только возрастать. Следовательно, заключает Цермело, уравнение Больцмана противоречит механике. Возражение Цермело легко устраняется, если учесть, что уравнение Больцмана не точное уравнение для функции Г'(г, о, Г), а лишь приближенное.

В нем явно не учитываются тройные и большей кратности соударения. В силу этого уравнение Больцмана не учитывает возможные флуктуации величины Н. Возвраты же к неравновесным состояниям, рассмотренные Цермело, имеют явно флуктуационный характер. Таким образом, нет никакого принципиального противоречия между абсолютной обратимостью законов микро- движения и необратимостью выводимых из них макроскопических уравнений движения.

Надо только учитывать, что необратимый характер макроскопических уравнений принципиально может быть получен только для ограниченных отрезков времени. Всякая же экстраполяция полученных уравнений на прошедшие времена, а также па очень удаленные будущие времена является незаконной, т. е. выходящей за рамки тех предположений, на основании которых выводятся необратимые уравнения движения. Более трудной проблемой является устранение противоречия между наблюдающейся во всей вселенной необратимостью и абсолютной обратимостью законов движения 144 микрообъектов. Во всех наблюдаемых нами областях вселенной необратимые процессы развиваются в одном и том же «положительном» направлении течения времени, т. е.

энтропия всюду спонтанно лишь возрастает в любых изолируемых системах. Исходя же из обратимых законов микродвижения, мы могли бы получить возрастание энтропии для отдельных участков вселенной как в положительном, так и в отрицательном направлении течения времени, т. е. как ее возрастание, так и убывание. Для устранения этого противоречия было высказано много различных гипотез о сущности статистического метода и о характере процессов во вселенной.

Наиболее последовательным предположением для разрешения этого противоречия является, однако, высказанная ранее всех других флуктрац ионная гипотеза Больцмана. Согласно этой гипотезе, вся видимая нами вселенная находится в состоянии гигантской флуктуации и наш мир существует в тот отрезок времени, когда энтропия увеличивается в условно обозначаемом как положительное направление течения времени (определяемом чисто механически). Таким образом, допускается, что в другие периоды или в других весьма удаленных областях вселенной энтропия может не возрастать, а убывать, т. е.

необратимые процессы будут протекать как бы понятно во времени. Основным возражением против гипотезы Больцмана является известное соображение, что вероятность такой гигантской флуктуации должна быть настолько мала по сравнению с флуктуацией в значительно меньшем объеме, что совершенно невероятной будет подобная гигантская флуктуация. Это возражение опирается на подсчеты величины флуктуаций для систем с аддитивной энергией, например, для идеального газа. Действительно, для идеального газа, согласно (22.3), относительная флуктуация объема выделенной массы газа, или, согласно (22.14), относительная флуктуация концентрации равна Ь(р) Л(о) 1 У о р)у' (37.

1) т. е. стремится к нулю при достаточно больших числах М. Таким образом, в силу (37.1) и неравенства Чебышева (2.29) вероятность сколько-нибудь заметных флуктуаций для макроскопических систем исчезающе мала и уменьшается с ростом пх размеров, 165 Однако реальная вселенная не идеальный газ. Она является гравитирующей системой с неаддитивной энергией. Для такой системы незаконно применение формул (37.1) и вообще термодинамики, поскольку последняя построена для аддитивных систем. Величину флуктуации в гравитирующей системе можно оценить, применяя более общую формулу (22.1), или (22.10). Считая, что для заданной массы газа М гравитационная энергия М~ ()х = — н — а, 1 рЗ (37.2) 4 откуда '( др фЯ~/-2+,хкМ2$/ 3 9 (37.4) Подставляя последнее выражение в формулу (22.1) и заменяя М на тУ, где т — масса молекул, получаем 1 (37.5) Заменяя У на М!й, эту формулу можно записать также в виде (37.6) 4и ! — — ха~9 М зв Из последней формулы видно, что при постоянной средней концентрации о относительная флуктуация объема при достаточно больших У может возрастать с ростом У, а не убывать, как это имеет место для идеального газа.

Конечно, полученная формула (3?.6) является грубо оценочной по ряду причин. Однако она позволяет сделать качественно верный вывод о возможности больших относительных флуктуаций прн достаточно больших размерах 1ВВ где и — гравитационная постоянная, а — числовой коэффициент порядка единицы, определяемый характером распределения массы внутри объема Г, получаем для давления системы. Таким образом, флуктуационную гипотезу Больцмана можно рассматривать в качестве весьма правдоподобного объяснения наблюдаемой в окружающем мире для необратимых процессов однонаправленности во времени. % 38, Знтрапия н нйфармация Статистическая физика вложила в понятие энтропии существенно новое содержание.

Характеристики

Список файлов книги