Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Предположим, что это среднее удовлетворяет некоторому макроскопическому уравнению, которое можно определить эмпирически как уравнение движения частицы, находящейся под действием внешней потенциальной силы, определяемой гамильтонианом Н(Х)+ад(Х). (26.6) Это предположение, во всяком случае, справедливо для достаточно больших времен, достаточных для гиббсовского «перемешивания» фазового ансамбля ", приводящего к тому, что произвольное начальное распределение (напрпмер, — — Ь (де — д (Х')), входящее в (26.4)1 стечением вре)г о мени практически становится распределением с постоянной плотностью.
В этом случае по истечении времени перемешивания среднее вида (26.4) совпадает со средним * Представление о «перемешивании» фазового ансамбля является весьма вероятной гипотезой статистической физики. Она была введена Гиббсом, для того чтобы в общем виде доказать закон возрастания энтропии. Зтот вопрос будет нами специально рассмотрен в $ 36, 126 по равновесному ансамблю с дополнительной силой— а, т.
е. с гамильтонианом (26.6). Подчеркнем, что это предположение является некоторой упрощающей гипотезой, позволяющей найти упрощенное уравнение движения для плотности вероятности перехода. Рассмотрим случай большой броуновской частицы, которую можно представить как шарик, находящийся в вязкой жидкости. Уравнение движения такой частицы с достаточной точностью можно представить в виде (26.7) -а аа дг) т~ +74а = — — — а, да (26.8) поскольку 11'(Г) =О, (26 ай) и в гамильтониане (26.6) содержится член, соответствующий наличию дополнительной силы — а.
Введем еще одно упрощающее предположение. Пренебрежем инерцией частицы, т. е. отбросим в уравнении Ланжевена член тд, тогда уравнение (26.8) приобретает вид уа'= У' — а, (26.10) где да ' (26. 11) Физически это упрощение означает, что мы не рассматриваем процессов, протекающих за очень короткие промежутки времени, когда силы инерции играют решающую роль, и ограничиваемся рассмотрением лишь вероятностей пере1гг где т — масса частицы, у — коэффициент трения, обусловленный вязкими диссипативными силами, (7 (а) — потенциал внешних сил, )(1) — сила случайных толчков окружающих частицу молекул, заставляющих ее совершать хаотическое броуновское движение, причем считается, что среднее от этой силы равно нулю.
Уравнение (26.7) называется уравнением Ланжевена. Это уравнение можно использовать для того, чтобы выразить а, входящее в (26.4), через другие средние величины. Действительно, принятая нами гипотеза означает, что (26. 15) поскольку, согласно (26.11), (26.16) В соответствии с выводом функция ()7, входящая в (26.15), является плотностью вероятности перехода, т, е. Ж'(г, 1; г„1,) (26. 17) Однако в силу линейности уравнения (26.15) любая плотность вероятности ((7 (г, 1), образуемая из (26.17), согласно (24.7), как (Р' (г, 1) = ~ )р' (г 1' г, 1о) )(г (гр) игр (26.16) сп также является решением уравнения Эйнштейна — Фоккера — Планка. Нетрудно видеть, что уравнение Эйнштейна — Фоккера — Планка имеет смысл уравнения непрерывности для плотности вероятности Р' (г, 1), так как оно эквивалентно уравнению даà — +б)то =О, др (26. 19) где (26.20) является плотностью потока вероятности.
в терлецкий я. п. Оно применяется к самым разнообразным случайным процессам для вычисления плотности вероятности перехода, поскольку предположения о безынерцвонпости процесса и о пропорциональности силы трения скорости, сделанные прн выводе этого уравнения, справедливы для очень широкого круга физических процессов.
Уравнение Эйнштейна — Фоккера — Планка легко обобщается на случай нескольких обобщенных координат. Так, например, если тремя координатами д» о,, о, являются координаты центра тяжести частицы х, д, г (т. е. радиус-вектор г), то уравнение Эйнштейна — Фоккера— Планка запишется в виде Если мы имеем вместо одной частицы й( совершенно одинаковых невзаимодействующих частиц, то средняя концентрация таких частиц будет пропорциональна плотности вероятности одной частице находиться в заданной точке * и поэтому уравнение диффузии для плотности числа частиц о не будет отличаться от уравнения Эйнштейна — Фоккера — Планка.
Таким образом, уравнение диффузии невзаимодействующих друг с другом частиц имеет вид (26.21) Входящая в это уравнение величина (26. 22) дт 0= —, апач ' (26. 23) поскольку у = блат) в соответствии с решением Стокса задачи о движении шарика в вязкой жидкости. В простейшем случае отсутствия внешних сил, т. е. 70 = О, это уравнение приобретает известный всем вид (26. 24) Такой же вид имеет в этом случае и уравнение Эйнштейна— Фоккера — Планка для плотности вероятности одной частицы. В заключение этого параграфа заметим, что обычно уравнение Эйнштейна — Фоккера — Планка трактуется как частный случай более общего уравнения Колмогорова, выведенного для определенного вида марковских процессов.
Если система с течением времени проходит через последовательность состояний, образующих цепь Маркова, т. е. каждое последующее состояние полностью определяется каким-либо одним предыдущим и не зависит от пред- 1аа называется коэффициентом диффузии. Для броуновских частиц, которые можно рассматривать как шарики радиу- сом а, взвешенные в жидкости с вязкостью гь коэффициент диффузии шествующей истории, то плотность вероятности перехода для такого Марковского случайного и р оц е с с а удовлетворяет у р а в н е н и ю С м о л уховского )Р(У', 1; д", 1а) = )р (Д 1! оп 1,) )р' Ф' 16 уи 1а) г(у'~. (26.25) ад Если рассматриваемый случайный процесс удовлетворяет предельным соотношениям вы ( ~-(-~,Лз А (д', 1) = ! нп ч ч , 2В (о', 1) = !нп ч 1 а а 8л-т л л )!ш'ч ' ' =О, (26.26) ~«а то, как показал Колмогоров, плотность вероятности перехода !Г (у, 1; д„1а) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению (26.27) д1 + д — (А )Р) — д— ,, (В И') = О. В случае нескольких переменных оо ..., д„, определяющих состояние, последнее уравнение легко обобщается и принимает следующий вид: Л и а д! + Х д (АаЮ') — ,'~ ~ д д (Вм(р)=О, (26.28) а=! а=!А=! где Ал=р ' ', 2Вм=!пп ~-а т ~-а Уравнение (26.28) называется уравнением Колмогорова.
Уравнение же Эйнштейна — Фоккера — Планка получается из уравнения (26.28), если положить 1д11 8 А, = — — --, Ви, = — бм. тдга' ' т Следует однако заметить, что последний вывод уравнения Эйнштейна — Фоккера — Планка опирается на гипотезу марковости процесса движения броуновской частицы, б" 1Э! априори не очевидное допущение, хотя и весьма наглядное. Проведенный же нами в этом параграфе вывод, использующий гиббсовские представления, вообще не нуждается в априорном допущении марковости процесса.
В этом выводе требуется постулировать лишь уравнение Ланжевана (26,10). Марковость же процесса оказывается следствием этого постулата и общих законов статистической механики. % 27, Иоолелаеанне некоторых решеннй ураекеннк Эйнштейна †Фоккера †Пл 1. Равновесное распределение во внешнем поле. В случае равновесного, т. е. не изменяющегося со временем распределения, дК вЂ” =О, д1 откуда, согласно (26.19), Я = сопз1. (27.1) (27.2) 'О ~1п В' + ®] = О, (27.4) откуда В'=Ае (27.
6) где А — нормировочная константа. Таким образом, мы получили уже известное нам распределение Больцмана. 2. Случай отсутствия внешних сил. В случае У=сопз1 уравнение (26.15) приобретает вид = 0рЧР. дт Если в начальный момент 1, задана координата г„то общим решением этого уравнения является р — г,)' У (г 11 гю ~о) =, е 4ок — ьд (27 7) 14а0 Ы вЂ” ~о)1 и (27.6) 13а Полное равновесие, очевидно, будет иметь место в том случае, если поток Л вообще отсутствует, т.
е. 5 = О. Согласно (26.20), это требование означает, что Ю' 7()+В 7(Р =О. (27.3) Последнее уравнение легко преобразуется к виду Любые другие решения можно получить, умножая (27.7) на начальную плотность вероятности К'о (г,) и интегрируя по всем го. Особый интерес в рассматриваемом случае отсутствия внешних сил представляет средний квадрат смещения броуновской частицы за время (г — 1,) из точки г,.
Рассмотрим лишь смещение в направлении оси х, т. е. вычислим величину +со (х хо) =Ц)(х хо) Ж~(х, У, 2 г хо До зм го)охФйг. (27 ой) Возьмем производную этой величины по времени 1, т. е, (Х Хо) = ~ ~ ~ (Х Хо) +со = О ц г) (х — хо)о ро)Г йх йу йг. (27.9) Но +со -(-со дои дос 'сосо Г д1тс (х — х )о — йх = (х — х )' — . ~ — 2 ~ (х — х ) — йх = о дхо о дх' о дх ди' Н-со 1+ =(х — хо)'.д-~ — 2(х — хо)К'~ +2 ~ )Гпх; доУ ~ дУ ~~-со ~ докс „дУ ~жсо В силу того, что на бесконечности У' очень быстро убывает, первые два члена первого выражения, а также последние два выражения обращаются в нуль, и поэтому (27.9) принимает вид — (х — х,)' = 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
