Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Таким образом, реально измеримые флуктуации определяются не вторым, а первым членом, т. е. формула для измеряемых флуктуаций имеет вид (Р— Р)з = — Π—. дР др' Обратим внимание на интересную связь формул (22.1) и (22.19). Если флуктуации малы, то зависимость Р (Р) практически не отличается от зависимости Р (г). Поэтому можно считать дР дР— ° — = 1. ди дР (22.20) Но в этом случае согласно (22.1) и (22.19) имеем б ($') Л (Р) = 9. (22.21) % 23, Вычисление плотности веролтнастн иронввальной абеба(инной координаты Метод Гиббса, как мы уже отмечали в О 21, позволяет вычислить корреляционные моменты обобщенных координат не только второго, но и высших порядков.
Но знание 11В Это соотношение по форме напоминает соотношение неопределенностей Гейзенберга, существенно отличаясь от него тем, что Ь (Ь') и б (Р) имеют конечные значения при фиксированных Р и Р' соответственно (см. также примечание на стр. 59). К(Р) = ~ 6(Р— Р(Х)1ш(Х'((Х. (23.1) (х> Подставляя вместо Р (Х) обобщенную координату () (Х), вместо и> (Х) — каноническое распределение, получаем ч — и (х> У(())= ~ 6(() — ()(Х))е е ((Х. (23.2) (х> Но 6-функцию можно представить в виде интеграла Фурье +О» б Ы=~- ~ е(В %, (23.3) и, следовательно, (23,2) записать в виде +' ч — н(л> (В»(д)=-„- ~ ~ е(В>'>-е(~»((В е е ((Х.
(23.4) (Х) — »» Или, вводя обозначения ЛЧ' = Ч' (а) — Ч", а = >0$, 'Р(а> „ Н (Х)-(-ад(К) е "=)е е ((Х, ( ) (23.о) (23.6) (23.7) )(у (()) можно записать так: +»» ()= -~ '" ~ь (23.8) Если игнорировать то обстоятельство, что а — мнимая величина, то формально Ч' (а), определяемое формулой (23.7), можно рассматривать как свободную энергию си- 11В всех возможных корреляционных моментов всех порядков эквивалентно знанию самой плотности вероятности распределения обобщенной координаты д.
Покажем, что действительно возможно вычислить )>т (()), если известно среднее значение () как функции внешней силы — а. В соответствии с формулой (2.37) плотность вероятности заданного значения произвольной величины Р (Х) выражается через плотность вероятности ш (Х) в виде стемы с дополнительной постоянной внешней силой — ае. Но тогда среднее значение координаты д (Х) по равновес- ному ансамблю Гиббса с гамильтонианом Н (Х) + ад (Х) равно — е дог (а) да (23.9) как это легко проверить дифференцированием (23.7) по а. Следовательно, а ЛЧ"=Чг(а) — Чг(0) =~ д с1а. (23.10) о Таким образом, мы получаем следующий рецепт для вычисления ))У (д): 1) зная зависимость среднего значения — а координаты д от внешней силы — а, т.
е, д, определяем по формуле (23.10) ЛЧг (а); 2) заменяем а на Ю5 и подставляя ЛЧг (Ю$) в формулу (23.8), получаем тг' (д). Так вычисляется равновесная плотность вероятности заданного значения координаты д, если известна зависимость от внешней силы а среднего значения этой координаты. Зная же В'(д), можно вычислить любые средние, в том числе любые моменты д. % 24, Оооовная аадача творнн бротновоното двнн1вння ' Точнее эту свободную энергию назвать термодинамическим потенциалом в узком смысле. 111 В отличие от предыдущей задачи, где вычислялась равновесная плотность вероятности для координаты д или среднее квадратичное уклонение Л (д) независимо от выбора момента времени измерения, в теории броуновского движения необходимо определить возможное смещение обобщенной координаты а за определенный промежуток времени Лу или, более детально, найти плотность вероятности перехода системы ич состояния с фиксированным значением координаты д (Х) = до в момент 1, в состояние, когда д (Х) = д в момент времени г.
Фиксирование в начальный момент то координаты д (Х) в системе, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, означает учет некоторой новой информации о состоянии системы, ведущий к переоценке первоначальной плотности вероятности, или, иначе говоря, к выбору подансамбля, отвечаюшего добавочному требованию <) (Х) = = <)о. В МОМЕНТ Го, ОЧЕВИДНО, ПЛОтНОСтЬ ВЕРОЯтНОСтИ таКОГО подансамбля имеет вид ог — и <х< юо (Х) = В (<)о) б (<)о — <) (Х)) е е, (24. 1) где В (<)о) — нормировочный коэффициент, который в соответствии с условием нормировки функции и<о (Х) и выражением (23.1) определяется из соотношения ч — и<х> ,( ) = ~ 6(<)о — <)(Х))е е <(Х=Ж'о(<)о) (24 2) <х< где 1)7о (<)о) — очевидно, равновесная плотность вероятности заданного значения координаты <)о.
Плотность вероятности (24.1) уже не является равновесной, так как <1(Х) — не интеграл движения и поэтому согласно (8.1) и< (Х' () = юо (Х') где Хо = Х' (Х', <) (24 3) Нас, однако, интересует не плотность вероятности ц< (Х', <) в фазовом пространстве, а плотность вероятности координате <) (Х) приобрести фиксированное значение <) в момент времени <. Такая вероятность опять же вычисляется по рецепту (23.1), т.
е. (р (<), Г)= ~ б 1<) — <)(Х')(и<(Х', <) <(Х'. (24.4) <хц Подставляя в это выражение и< (Х', <) из (24.3), (24.1), учитывая, что Н (Х') = Н (Х') и обозначая вычисляемую вероятность через (р' (<), <; <)о, Го), получаем ч — и(х') К(<) (' <)о (о)= ~ 6(« — <)(Х')) к, ( ) 6(<)о — <)(Х'))<(Х'. (х') (24.5) Воспользовавшись теоремой,Лиувилля, согласно которой <(Х< = <(Хо, это выражение можно также записать в виде ч — и<хи 16'(<) г' <) г~)= ~ 6(<) — <)(Х')) ', 6(<) — <)(Х'))<(Хо. <х > (24.6) 118 Таким образом, мы получаем в самом общем виде выражение для плотности вероятности перехода равновесной системы из состояния, когда д (Х) = д, в момент 1,, в состояние, когда д (Х) = д в момент 1.
Легко видеть, что, зная плотность вероятности перехода, можно вычислить плотность вероятности заданного значения д в момент 1, если известна плотность вероятности Ю'(д,) начального значения д, в момент г,. Очевидно, Ж'(д, 1)= ~ )Р'(д, 1; 4„1„)(Р'(д,) ~)д,. (24.7) мл Следует заметить, что здесь В' (во) должно быть отлично от )г', (ц), так как в противном случае )р' (д, 1) окажется равным )р', (д), т. е. равновесной плотностью вероятности. Знание плотности вероятности перехода позволяет решать все задачи теории броуновского движения. Однако вычисление (Р' (д, 1; рм 1„) по формулам (24.5), (24.6) представляет практически неразрешимую задачу, так как нахождение .функций Х' = Х ' (Х', 1) или Х' = л (Х', 1) требует решения уравнений механики системы У взаимодействующих материальных точек, что практически невыполнимо. Следовательно, так же как и при отыскании равновесной плотности распределения )Р', (4), необходимо воспользоваться некоторыми эмпирическими данными о поведении некоторых средних величин.
% 25. Ойн(нй ывтвд вычнвлвннв врвывнныи иввдрвтнчных ивррвлвцнй Подобно тому как для оценки абсолютных величин флуктуаций и корреляций в большинстве случаев достаточно знание лишь квадратичных корреляционных моментов, для оценки отклонений броуиовской частицы можно ограничиться знанием квадратичных временных корреляционных моментов (д — д )' и (д, — д,) (д, — д,), как это отмечалось в Н 20. Если д (Х') обозначает истинное значение координаты д в начальный момент времени г = О, а д (Х') = д (.Т (Х', 1)) — истинное ее значение в момент времени 1, то средний квадрат смещения броуновской частицы,. случайно обнаруженной в термодинамически равновесной жидкости в два 11В последовательных момента времени О и 2, очевидно, равен ч — и<х > (<)т <)о)о ~ [<) < Хс) <) (Хо))е е а с(Хо (25.
1) <Хо> ч -н,<хо> ч — н,(л' <(хс О) и>(Х<, >)=в а =е а, (25.2) где Ч' определяется из условия нормировки в момент 2 = О. Поскольку после включения дополнительной силы функция Гамильтона системы становится равной Н, (Х) — а<',> (Х), уравнение (25.2) можно записать в виде ~ — н,<хс><- о<х'> — о<ха и>(Х', 2) =е (25.3) так как Но (Хо) — оЛ;>(Хо) = Н,(Х') — с<Я (Х') в силУ сохранения энергии, при этом Х' выражены через Х' посредством уравнений Х' = 2" ' (Х', 2), Среднее значение произвольной величины Р (Х, <х) по неравновесному ансамблю (25.3) в момент 2 запишется в виде ч — п.
<х > эоо<х > — о<х'> Гс = ~ г" (Хс, а)е (х') а с(Х'. (25.4) 120 где, согласно (6.5), Х' = Ю (Х', 2), Величину (25.1), очевидно, невозможно вычислить непосредственно, поскольку для этого потребовалось бы в явном виде записать решения уравнений Гамильтона Х' = = Х (Х', <), что практически неосуществимо. Поэтому, так же как и в э 21, мы можем рассчитывать вывести лишь некоторые простые соотно>пения, связывающие квадратичные временные корреляционные моменты с некоторыми неравновесными средними величинами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
