Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 21
Текст из файла (страница 21)
др (27. 1О) Следовательно, интегрируя (27.10), получаем '(х — хо)' = 20 (à — 1о) (27.11) т. е. формулу Эйнштейна, полученную уже нами иным методом в предыдущем параграфе. 1ао Таким образом, измеряя смещения частицы за заданный интервал времени, можно по формуле Эйнштейна определить Р, а отсюда, зная а, Ч и Т, определить по формуле (26.23) константу Больцмана й. Получение таким путем правильного значения константы Больцмана явилось, как известно, решающим аргументом в пользу всей концепции статистической физики. Н 28, Формула Найвваота Уравнение Эйнштейна — Фоккера — Планка и формула Эйнштейна могут быть применены к тепловым электрическим флуктуациям в проводниках.
Такие флуктуации создают в радиотехнических устройствах «шумы», т. е. хаотически изменяющиеся токи и напряжения. При этом с радиотехнической точки зрения важнее знать не средние квадратичные уклонения зарядов, токов и напряжений, а их спектральные характеристики, т. е. не случайные функции и их характеристики, а их фурье-образы, поскольку радиотехнические устройства выделяют, усиливают и измеряют сигналы определенной частоты.
Рассмотрим броуновскую частицу, находящуюся под действием случайных сил, обусловленных тепловым движением окружающих молекул. Механическое движение такой частицы приближенно описывается уравнением Ланжевена (26.7): т х' (1) + ух (г) = .У + 1' (1), (28Л) Электрическим аналогом такой системы будет цепь, состоящая из последовательно включенных самоиндукции („ сопротивления К и емкости С. При этом роль координаты х будет играть заряд 1',1, протекающий через какое-либо сечение цепи. Соответствующее уравнение Ланжевена имеет вид ~А2(г)+Ф~(1) = с +н Ю' (28'2) где Н (() — случайные флуктуационные напряжения, Я = = у — сила тока в цепи.
Остановимся, однако, на самой простой системе, описываемой уравнением Ланжевена: ух (1) = у (1), (28.3) или, соответственно, дур)=Н(г), (28.4) 134 Рассмотрим временную корреляцию случайной силы. Очевидно, З со ) (())с(г ( т) ~ ~ грь (в') <р (в) сл го — соэ 'сос Дв г(в' (28 8) Если броуновская частица движется в термодинамически равновесной системе, то начальный момент 1 ничем не выделен по отношению к другим возможным начальным моментам, и, следовательно, рассматриваемая временная корреляции не должна зависеть от 1. Она является функцией лишь т, т. е. Р (1) 1 (с + т) = к (т).
(28.7) Но правая часть (28.6) не будет зависеть от г только в том случае, если подынтегральное выражение будет отлично от нуля лишь при в = в', т. е. если функция Чс" (в) гр (в') имеет вид р*( ) ср (в') =, 'р(в) ~зб(а — '), (28.8) откуда и'т) =Г(1))(1+т) = ~ ~ср 'е'~'бв. (28.9) Последнее соотношение называется теоремой Винера— Хинчина. Таким образом, величина ~ гр (в) ~' является спектральной характеристикой случайной силы ( (1). Эту величину 1ВЬ т. е.
рассмотрим безынерционную броуновскую частицу, не подвергающуюся воздействию внешней потенциальной силы, илн соответственно, ток, протекающий через омическое сопротивление. Для конкретности в дальнейшем будем иметь в виду броуновскую частицу. Соответствуюшие же формулы для электрической системы будут получены в самом конце посредством замены механических величин на электрические согласно аналогии, следующей из уравнений (28.3) и (28.4). Случайная сила Г" (1) может быть разложена в интеграл Фурье: Есо Есо 1" (1) = ~ ~р (в) е'"' йв = ~ ~ро (в) е-'сос г(в. (28.5) можно вычислить, исходя из формулы Эйнштейна для среднего квадрата смещения броуновской частицы (27.11), (25.15), Согласно (28.3), ,(~)=, ~1()й~, о (28.10) откуда в соответствии с (27.11) ' имеем хв (!) = †; ~ ~ ~ (б) ~ (д') с(б с(б' = 20!.
(28.1 1) о о Дифференцируя это соотношение по 1, получаем — У(!) ~(б)+1(б) 7(!)) с(6 =27) = — (28 12) ~(х(д — !)+х(! — д)) с(6=2!Эу, (28.13) о или, заменяя переменную интегрирования б на т = д — ! в первом члене и на т = ! — д во втором члене, получим ~ х ( с) с(т = 207. (28. 14) В силу обратимости во времени уравнений механики временные корреляции должны быть симметричными функциями промежутка времени т, т. е. (28. 15) х(т) =х( — т). Следовательно, единственной функцией, которая может удовлетворить условию (28.14) при произвольнол! 1, может быть лишь функция х ( с) = 26!уй (т), (28.16) ибо правая часть (28.14) не зависит от 1 и поэтому подынтегральное выражение левой части должно равняться нулю при любых 1, отличных от нуля.
Представляя б (1) * с!олагаем в формуле (27. ! Ц со = О, ко = О, !36 Согласно (28.7) это соотношение можно представить в виде в виде интеграла Фурье и приравнивання (28.16) и (28.9), получаем .~-со +СО 2Е17 — ~ е'"'да= 1 ~фее'"'г(а. (28.17) 2е Последнее соотношение можно удовлетворить только в том случае, если ( гр ~' не зависит от а и имеет численное зна. чение: ~<~,'2 т (28.18) Таким образом, мы получили формулу Найквиста для броуновской частицы. Если вместо координаты броуновской частицы к рассматривать заряд Я, протекающий через омическое сопротивление )с, то соответствующая спектральная характеристика ~ е ~' случайной электродвижущей силы Ж (1) аналогично (28.18) запишется в виде соответствующей формулы Найквиста: — ~~6 ) е '2 (28.19) При этом формула Эйнштейна, очевидно, имеет вид (28.
20) (28.21) Коэффициент два появляется в силу того, что определяют интеграл Фурье для случайной электродвижущей силы как е (1) = ~ е„е'"" да, о (28.22) т. е., в отличие от (28.5), нижний предел берут равным О, а не — со, и, кроме того, поде' понимается эффективный средний квадрат электродвнжущей силы. Тогда, очевидно, Же я ' е'",~= 2) е~е. (28.23) 131 Заметим, что в технических книгах формулу Найквиста для случайной электродвижущей силы обычно пишут в виде Согласно формуле Найквиста тепловые флуктуации электродвижущей силы в омическом сопротивлении представляют так называемый «белый шум», т.
е. хаотическую смесь гармонических колебаний всех возможных частот с равными в среднем амплитудами. Обобщением формулы Найквиста является флуктуациопно-диссипационная теорема, справедливая не только для классических, но и для квантовых систем (см. задачу Ч1-16). ЗАЙАЧИ 1Ч-!. Найти предел чувствительности пружинных весов с коэффициентом упругости а. 1Ч-2. Определить предел чувствительности зеркального гальванометра. Модуль кручения нити а и температура заданы. 1Ч-3. Определить средний квадрат заряда конденсатора емкостью С, замкнутого на сопротивление Я.
1Ч-4. Определить среднее квадратичное уклонение тока в цепи с самоивдукцией й при температуре Т. 1Ч-5. Найти корреляцию плотности числа частиц о (г) о (г') для идеального газа без использования общих соотношений (22.12) путем прямого вычисления среднего значения величины, определяемой в соответствии с выражением (16.9). 1Ч-6. Исходя из результатов предыдущей задачи, вычислить флуктуацию положения центра масс для идеального газа. 1Ч-7. Вычислить флуктуацию положения центра масс для идеального однородного газа, заключенного в сферический сосуд радиуса й.
!Ч-8. Вычислить флуктуацию г-координаты центра масс идеального газа, заключенного в цилиндре высотой й и площадью основания 5 и находящегося в поле силы тяжести, направленной вдоль оси г. 1Ч-9. Найти плотность вероятности заданного значения объема для идеального газа из Ч частиц, находящегося в равновесии при температуре В н давлении Р. !Ч-!О. Вывести уравнение Эйнштейна — Фоккера— Планка, представляя броуновские частицы как идеальный газ, подчиняющийся уравнениям гидродинамики идеальной изотермической жидкости, который движется сквозь неподвижную среду, Возникающее при движении трение 138 пропорционально скорости.
Жидкость находится под действием сил внешнего силового поля У (г). Силами инерции пренебречь. 1Ч 11. Оценить среднее расстояние, на которое за время 1 продиффундирует газ, состоящий из больших молекул, выпущенных из точечного источника в жидкость с коэффициентом внутреннего трения т! при температуре Т. Радиус молекул равен а. )Ч-12. Исходя из уравнения Эйнштейна — Фоккера— Планка, определить средний квадрат смещения броунов- ской частицы, находящейся в поле силы тяжести. 1Ч-13.
Как зависит от высоты относительная флуктуа. ция числа частиц в элементе объема ЬУ для идеального газа в поле силы тяжести? 1Ч-14. Частицы диффундируют в стационарном режиме через одномерный потенциальный барьер У (х). Найти плотность потока частип, если известна плотность числа частиц в сечениях х, и х,. !Ч-15. Определяя неравновесную свободную энергию Ч'(1) с помощью соотношения Гиббса — Гельмгольца как Ч=б — ТЯ, где У= ~(l (г) )Р'(г, 1) бр, а энтропию 5 как 5 = — й! п )Р' = — й 1 )Р' 1п )Р' д Ч, доказать, исходя из уравнения Эйнштейна — Фоккера — Плана% ка, что -„- <О.
1Ч-16. Используя данное в задаче 1Ч-15 определение Ч', доказать, что условие минимума неравновесной свободной энергии с учетом условия нормировки приводит к распределению Вольцмана. 1Ч-17. Обобщить формулу Найквиста на случай произвольных линейных систем. Вычислить с ее помощью корреляцию скорости для броуновской частицы, учитывая инерцию последней. 1Ч-18. Исходя из формул (25.19) и (25.8) доказать справедливость общего соотношения используя которое обосновать симметрию кинетических коэффициентов (25.25). Глава р Клаооичеоиая отатиотичеоиая теория иеравиовеояых процеоооо % 29, Нвравнвввснав орннннн раснрвдвлвннв Статистическая теория неравновесных процессовдолжна быть осн .вой всех феноменологических макроскопических теорий неравновесных процессов, таких как теплопроводность, диффузия, вязкое трение, электропроводность и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
