Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 23
Текст из файла (страница 23)
17 имеет диаметр о. Полагая, как и в предыдущем случае, (У вЂ” 1) = Л/, уравнение (30.9) для такой модели можно записать в виде и=1 з =/У 22' ~ ~ . " 12/7Г /1 '"=' 12,1 1.1 (32. 1) Подынтегральное выражение правой части этого уравнения отлично от нуля практически только на сферической поверхности радиуса а, описываемой вокруг фиксированной точки /, концом вектора /2, как это изображено на рис. 18, поскольку при упругом ударе (32 2) 1= 2= СО ПРИ ~ /1 /2 О 147 посредством короткодействующих сил с потенциалом вида (16.11). В этом случае движение каждой пары молекул обусловлено главным образом их парным взаимодействием и в малой степени зависит от других молекул. Картина движения молекул в таком достаточно разреженном газе мало изменится, если мы будем считать, что молекулы взаимодействуют друг с другом как абсолютно упругие шарики, т.
е, если заменить потенциал взаимодействия вида (16.11) на потенциал, изображенный пунктиром на рис. 17. Итак, в качестве модели нейтрального газа рассмотрим систему абсолютно упругих шариков, каждый из которых з (р" д1»7 Р" д~7» й» хы ) а» з,и т л»и а=» дс», два„д~/„, дЮ'„1 0 и»а З а и и З и ( (32.3) Для тех промежутков времени, в течение которых происходит столкновение шаров, определяющее изменение ))7»и, процесс можно считать практически стационарным, т. е. функцию ))а;и не изменяющейся со временем, и, следовательно, в уравнении (32.3) отбросить член †". Укоро»а тив таким образом уравнение (32.3), проинтегрируем оставшиеся члены 'по г, и р,, в результате чего получим и=1 Сии ~„» Э ~ ~р — ' — "+ Р—" — "~ с(р,йг,.
(32.4) а=»»„и»»»п» В силу того, что )Р'»и (так же как и К»и м) при бесконечно больших значениях импульсов должна обращаться в нуль, второй член левой части (32.4) после интегрирования по р, исчезает. Учитывая далее, что Ж'»и, определяемое процессом столкновения, может зависеть только от взаимного 14В где У, и Р„" — компоненты сил, действующих на первую и вторую частицы при их столкновении. Следовательно, правая часть (32.1) практически полностью определяется значением)Р'»и в непосредственной близости от этой сферической поверхности. Но у поверхности радиуса о бинарная функция распределения (а'»и определяется законом соударения только двух упругих шаров, поскольку одновременное столкновение трех и более упругих шаров — событие.
весьма маловероятное. Таким образом, функцию )Р'»м стоящую в правой части (32.1), можно с большой степенью точности заменить бинарной функцией, вычисляемой для системы, содержащей только два упругих шара. Но для такой системы Чг»и удовлетворяет, согласно (30.6), уравнению движения: расстояния между центрами шаров, т.
е. от ) г) — г, ), получаем д)Гм да)'!а дг", дг'.,' и поэтому подынтегральное выражение правой части (32.4) можно записать в виде а „адат д! аа Таким образом, уравнение (32.4) преобразуется в со- отношение Г ди„д(Г„- "гз (тРР = дг" др (Ра) (аа) (аа) , аа=! а=! (Ра) (32.5) Переходя к сферической системе координат с центром в точке ), т.
е. полагая 'г,— г,)=г, можно следующим образом преобразовать интеграл по г, в правой части (32.5): з (,) а=! — даг — ~ ~ —, в ~П~ У Ра !' — ой = ) ~(Р' до ') — "гз()г((й, (32.6) а а-м~ ( ! ' " ) — "а аР. (За.а! и дг Г Интеграл по г в правой части (32.7) надо, очевидно, брать в пределах от г = 0 до значений г ) о, т. е, иепосредствен- 149 где з — единичный радиус-вектор, направленный из точки г, в точку г,, ((й — элемент телесного угла, описываемого вектором з. Поскольку подынтегральное выражение в левой чанги (32.5) отлично от нуля только при ~ г, — г, ( = о (как это видно из (32.2), постольку и подынтегральное выражение правой части (32.6) может быть отлично от нуля только при г = о.
Следовательно в правой части (32.6) г' можно заменить на о', т. е. положить но за поверхностью г = о. При г = О, очевидно, В'„= = О, так как частицы не могут вообще сблизиться ближе, чем до г = о, а при г ) о функция К„слагается из двух членов: одного, выражающего бинарную плотность двух частиц до их столкновения, и другого, выражающего эту плотность после столкновения. Обозначая первый член (до столкновения) через К11 и второй (после столкновения) — через Ю'11', интеграл (32.7) можно записать в виде 1 от ~ ~(Р ~ ~))Г +(Р и ~) Ж'Д~гй (32 8) т т Учитывая, что К11' отлична от нуля только для сближаю- шихся частиц, т. е. когда (р, — р,, з) ( О, а )Р'11 — только для удаляющихся, т, е, когда (р, — р„з) ) О, последний интеграл можно записать в виде 1 = о1 ~ ~ (р1 ) ' ~) ' (Ю'11' — %',Д 1(11. (32.9) Поскольку Ю'„(р„р,) в соответствии с (32.3) мы считаем определяемой только двумя сталкивающимися частицами, не взаимодействующими друг с другом до и после столкновения, постольку Ж'4 можно представить как )им = )и1(Р1) ')г1(ра) (32.
1О) а функцию ))711,,' как (32. 11) Р1 + РЯ Р1+ Р2 0 ')' (р')' 01 )' (р )' 2т 2т 21л 2т ' (32.12) где р,' и р,' — импульсы первой и второй частицы после их столкновения, которые надо рассматривать как функции импульсов р, и р, до столкновения. Последнее справедливо в силу общих уравнений движения фазового ансамбля в функциональной форме (8.1).
Очевидно, р,' и р.,' выражаются через р, и р, в соответствии с законами соударения упругих шаров, выводимых из законов сохранения импульса и энергии, т. е. из соотношений Итак, подставляя (32.10) и (32.11) в (32.9), а затем полученное выражение для 1 в (32.5) и наконец (32.5) в (32.1), получаем з д(г(101,)+ у (рз,д(о,(рй м,д~г(,(р,)~ д! 2~.( (о( д»а Д а дра !2 =1 = Л(оз ~ ~ '(р' р' )'()р'!(р!) )р'2(рз)— (р",! и — )У» (р!) )Рз(рз)) ((1) ((рз. (32.13) Полученное кинетическое уравнение приобретает более простой вид, если от функции Ж'„из!еющей смысл плотности вероятности данной частице иметь заданные координату и импульс, перейти к функции распределения » (», о, !). Согласно (15.10) и (29.1) ~(», о, Г)=тзЛ(К!(», р, Г), (32.14) Замечая далее, что г(рз = т' (!оз, рз — р, = т (о, — о,), и вводя обозначения !' =~(гз оз, г), )2=("(»1, оз, г), 1;=!'(»1, о!', 1), /2=('(»1 о,,', (), (32.15) получаем вместо (32.13) уравнение з а=! =о ~ ~;(о,— о„.) (1Л вЂ” )112) (оз'г(а, (32.15) (2 ! называемое г а з о к и н е т и ч е с к и м у р а в н е н нем Больцмана.
Очевидно, уравнения (32.12), определяющие аргументы функций )'; и 12', можно записать в виде о! + о:! = о! + оз (о,')'+ (о.,')' = (о,)'+ (о,)'. (32, 17) Разрешая эти уравнения относительно о,' и о,', получаем: о! = о1 — 3 (3, о! — оз), оз о2+ а (з о! о2)' (32.18) 121 Итак, уравнение (32.16) может рассматриваться как исходное для решения задач о нахождении неравновесной функции распределения газа, молекулы которого взаимодействуют по закону соударения упругих шаров, т. е. посредством короткодействующих сил. % 33, ьтацнонарное решение рраенеиня Беянцшаиа В качестве простейшего решения газокинетического уравнения Больцмана рассмотрим его стационарное решение в частном случае отсутствия внешнего поля, т. е.
при У, =- О. В стационарном случае функция распределения 1 не зависит явно от времени, т. е. ~1~~ — =О. д~ (ЗЗ. 1) (33.6) !ея Кроме того, в силу отсутствия внешних сил, нет выделен- ных точек пространства и поэтому функция 1 не должна зависеть от координат, т. е. можно положить а( — О (33.2) 1 Таким образом, вследствие (33.1), (33.2) при У, = О вся левая часть уравнения (32.16) равна нулю и функция 1 определяется укороченным уравнением ~'(п2 — и,, з)!(Я; — 1,Ц~Ь,~(()=О.
(33.3) «а" Частное решение последнего уравнения может быть, очевидно, найдено из условия (1112 1112) О (33. 4) илн, согласно (32.15), из функционального уравнения 1(~;) 1 (и') = 1 (и,) 1(~,). (33.5) Прологарифмировав последнее уравнение и присовокупив к нему уравнения (32.17), связывающие скорости до и после соударения двух молекул, получим следующую систему уравнений !п1(п,')+!п1(о,') = — 1п1(п,)+!п1(п,), "ю + пв = ог+ оа (о')'+ (о')'= Р )'+(о )' Нетрудно убедиться в том, что последней системе уравнений удовлетворяет функция ! и 7 (о) = ао+ Ьо + с = Ь(о — о)'+ А, (33.7) где а, Ь, с и ом А — константы. Итак, частным стационарным решением уравнения Больцмана является 1 (о) = Ве'(" — ")*, (33. 8) т.
е. распределение Максвелла в системе отсчета, движущейся со скоростью о,, поскольку Ь вЂ” константа, которую т можно выбрать равной — —, а  — константа, определяе- 2еТ' мая из условия нормировки. Остается лишь выяснить важный вопрос, является ли распределение Максвелла (33.8) единственным стационарным решением или имеются какие-либо иные стационарные решения, удовлетворяющие уравнению (33.3), но не удовлетворяющие уравнению (33.5).
Для решения этого вопроса необходимо обратиться к Н-теореме Больцмана. % 34. и-Теорема Бальцмана Рассмотрим функцию времени Н(1)= ~ ~ 7'(г, о, О1п~(г, о, 1)((г(Ь, (34.1) (г) (г) называемую Н-функцией Больцмана . Докажем, что в силу уравнения (32 . 1 6) эта функция может быть только убывалп ющей со временем, т. е. — - (О. Считая переменные интегрирования о, входящие в (34.1), относящимися к индексу 1, и дифференцируя это выражение по времени, получим — „= ~ ~ (1п~ -„", +-,~) (гс(о„(34.2) (г) (м) где использованы обозначения (32,15). Второй член этого интеграла, очевидно, равен нулю, так как в силу условия нормировки для функции распределения имеем ~ а(т с(г(Ь(=ь( ~ ~ 7(((г((о( = Ь( =О.
(34.3) (г) (м) (Б (~~) 1ьз Первый же член в (34.2), используя уравнение Больцмана при (), =- О, можно записать в виде (34. 4) Первая часть этого выражения кольку +СО 1п 1, — )г ((г~ = 1п ~, ° 7, также равна нулю, пос- й — ', ((г" = +ОЭ = (") (1п (') — 1) ~ = О. (34. 5) Таким образом, согласно (34.2) — (34.5): 0 1 1 1 1 ~ (О 2 3)(!П()Уп) (1(2)((о ((о (( и Ф й (сьй) М (34.6) Легко видеть,' что меняя индексы 1 и 2, этот интеграл можно записать также в виде — 7 — — о' ~ ~ ~ ~ ,'(о„— ом з)',!п(а(((() — 7)Ц((о,()й,(Я((г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
