Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для этого распределения внутри области ЬГ, очевидно, (Х) = бз (Х),-',—,, (38. 14) а вне этой области ш (Х) = О. 171 В силу условий нормировки '1 ю(Х) дХ= ~ ш,(Х)ИХ=1. (38,15) ьг ьг Используя это условие и доказанное в ~ 36 неравенство (36.12), получаем ~ !п ю(Х) ш(Х) с(Х вЂ” ~ 1и ш,(Х) ю,(Х) пХ= лг лг = ~ [1 и ю (Х) ш (Х) — 1и ы, (Х) ю, (Х) -Наг, (Х) — ю (Х))г(Х = лг е (х) ацх> 1 ~ 1 ш (х) 1 ~1п — — — 1п - -+ —,- — — — ~дХ = лг ' лг лг 'лг лг лг ь'г -,- ~ (1пФ(Х) Ф(Х)+1 — Ф(Х)1 дХ г О.
лг Таким образом, мы доказали неравенство ~ 1паз(Х) ш(Х) ЛХ~~1пшо(Х) ы~о(Х)дХ, (38.16) т. е. в соответствии с (38.1) 8о. (38.17) Аналогичным путем неравенство (38.1?) можно доказать и для исходного канонического равновесного распределения. В этом случае необходимо, однако, использовать дополнительное условие, чтобы средняя энергия неравновесного распределения равнялась средней энергии по равновесному распределению. Таким образом, неравновесным ансамблям соответствует меньшая энтропия, чем равновесным. Но неравновесный ансамбль содержит большую информацию о системе, чем равновесный.
Следовательно, чем меньше энтропия, тем большую информацию мы можем иметь о системе, Поэтому отрицательную энтропию или негаэнтропию можно рассматривать как меру возможной информации о системе. Поскольку равновесное состояние содержит минимальную негаэнтропию, постольку в ш, (Х) содержится и минимальное количество информации о системе. Поэтому за начало отсчета количественной меры информации можно принять негаэнтропию равновесного состояния ( — Я,). Тогда, обозначая через ( — Ян) негаэнтропию неравновесного состояния, задаваемого фиксацией физической величины Р, величину 1» = ( — 8н) — ( — 3о) = 8о — Яа (38.18) аг можно определить как информа«ию о системе относительно величины г".
Следовательно, согласно (38.1), эту информа- цию можно определить так же, как !г=й) ~ (1пшг(Х))шг(Х)ЙХ— !!х> — ~ (!п и, (Х)1 ю, (Х) г(Х~, <х~ (38. 19) 173 или для квантовой системы как 7 А ~ Х ~ ! и У ~ 1 Р ~ Х 1 ! и К ~ 1 Р ) 1 где (Г~г> и )р)"' означают, соответственно, вероятности состояния при дополнительном фиксировании величины г и в состоянии равновесия. Введенное таким путем понятие информации полностью совпадает с понятием информации вводимой в кибернетике, т. е.
в общей теории связи и управления. Максимально возможная информация, передаваемая прн помощи какой- либо совокупности сигналов, также определяется формулой (38.19), причем за равновесное состояние принимается естественный шум, вызываемый тепловыми флуктуациями. Таким образом, всякую передачу негаэнтропии в термодинамически-статистическом смысле мы можем рассматривать как передачу некоторой информации в кибернетическом смысле. И, наоборот, передачу информации при помощи сигналов надо рассматривать как процесс передачи негаэнтропии от передатчика к приемнику. Следовательно, только такой физический процесс может быть использован для сигнализации, который переносит нсгаэнтропию.
Установленная выше связь энтропии с информацией подчеркивает статистический характер энтропии. Энтропия, как и всякая величина, определяемая статистически через вероятности, имеет относительный характер. Нельзя спрашивать; «какова энтропия этой системы?», це оговаривая одновременно тех сведений, которые у нас имеются об этой системе. Если нам априори известно, что система находится в равновесном состоянии, то, интересуясь ее энтропией, мы имеем в виду ее равновесную энтропию. Если же о системе у нас имеются дополнительные сведения и мы намерены использовать эти сведения, то можно интересоваться неравновесной энтропией системы, при этом существенно то, что потеря (забывание) этих сведений илн просто их игнорирование приводит к иному (равновесному) значению энтропии.
И в этом нет ничего удивительного, так как вообще в теории вероятностей вероятности мгновенно переоцениваются, как только мы пожелаем использовать дополнительные сведения, полученные из наблюдений. Зто скачкообразное изменение таких, казалось бы, чисто физических величин, как энтропия, только в результате изменения нашего желания использовать дополнительные сведения происходит вследствие того, что любая статистическая теория есть лишь особый, вероятностный способ познания объективных закономерностей природы, т. е. особый, статистический способ отражения в нашем сознании возможных объективных, протекающих независимо от нашего сознания физических процессов.
ЗАДАЧИ Ч-1. Выразить корреляцию плотности числа частиц реального газа через бинарную плотность вероятности. Ч-2. Выразить уравнение состояния реального газа через бинарную плотность вероятности. Пользуясь результатами й 16 гл. П1, найти бинарную плотность вероятности для разреженного газа с короткодействующими силами взаимодействия. Ч-3. Показать, что для однородного газа условие минимума Н-функции (максимума энтропии) при заданных средней энергии и числе частиц приводит к распределению Максвелла — Больцмаиа. (Сравни с задачей 1Ч-17.) Ч-4. Показать, что при наличии внешнего поля стационарным решением уравнения Больцмана является распределение Максвелла — Больцмана.
Ч-5. Внутри шара радиусом а с постоянной плотностью р, распределены частицы с массой т при температуре 1 Т = — Вь В момент 1 = О оболочка шара исчезает, и начил нается свободный разлет частиц. Найти плотность числа частиц р (г, () на расстоянии г от центра шара в момент 1. Столкновениями пренебречь. Глава Ч) Квантовая втатистииа 5 39. Нваетовав модель вещества Мы уже видели, что при достаточно низких температурах классическая статистика, т. е.
статистическая теория, основывающаяся на классической модели вещества, как правило, оказывается ошибочной, т. е. приводящей к выводам, ие подтверждаемым опытом. Но положение исправляется и теория вновь совпадает с опытом, если от классической статистики перейти к квантовой статистике, т. е. к статистической теории, основывающейся на квантовой модели вещества.
Под квантовой моделью вещества понимается опять же система материальных точек, изображающих молекулы, атомы или отдельные элементарные частицы, или система абстрактных осцилляторов поля, однако, в отличие от классической модели, движение этих точек или абстрактных осцилляторов рассматривается как квантовомеханическое, т. е. по законам квантовой механики. Принципиальное отличие квантовой модели от классической состоит в том, что сама квантовая механика является статистической теорией, и поэтому статистика, неизбежная при исследовании систем с большим числом степеней свободы, накладывается на статистику, возникающую в объектах микромира в силу специфического, квантового характера их движения.
Квантовые законы движения выражаются посредством математического аппарата квантовой механики. Этот аппарат позволяет вычислить: 1) возможные значения физических величин 1дискретные или непрерывные), или иначе, спектр значений физических величин; 2) вероятности или плотности вероятностей заданных значений различных физических величин и их средние значения; 176 3) изменение вероятностей или средних значений со временем. Согласно правилам этого аппарата, каждой физической величине ставится в соответствие линейный оператор Х.
Например, оператор координаты д„ = да, оператор импульса ра = ; — †, оператор энергии Й ч' 1 (у(9)- а д Рь 1 да~' ~ 2т а2 чт д' = — ~— ~, д,, +(У(Ч» ", Ьк) и т. д. Спектр возможных т~~ да значений величины Хопределяется из задачи на собственные значения: Средние значения вычисляются по правилу (39. 1) Ф)=$Ф*И)~Р(9)й9, (39.2) откуда плотность вероятности д равна )В'(9) = ф" М ФИ).
(39.3) Изменение ф (д, 1) со временем определяется посредством решения уравнения Шредингера: — Т-, =йж а д~р д~ (39.4) Состояние квантовой системы считается заданным, если задана волновая функция системы. Например, если волновая функция системы равна ф,(д)е " '~, где фх Е, находятся из задачи на собственные значения: Йф, = Еаф„ (39.5) (39. 6) 11В то считается, что система находится в состоянии с заданной энергией. В статистической физике, однако, каждому состоянию приписывается определенная вероятность, обусловленная макроскопическим состоянием системы.
Следовательно, квантовый статистический ансамбль должен описываться не одной волновой функцией фт а набором таких функций и соответствующим набором вероятностей состояний, определяемых этими функциями, т. е. таблицей Среднее значение величины Х по квантовому статистическому ансамблю определится, очевидно, как Х= ~, В'л(Х)л=~,'К„~$$Хф,Щ (39,7) Это среднее может быть также определено при помощи матрицы плотности о(д д)=,У,(Р'Д)$(д')ф,(д) (39.8) посредством формулы Х=~ (б(д — д)Х®9(), д) (д (д, (39.9) которая также может быть написана в виде ~= ~Ф9' ~ (~'~~! ц")И" ~р~Ч)й7" =3р Фр), где (39. 10) (ц 'Л ~Ч") = Г 8(ц — Ч') ~(9) б() — с(™) (с( (Ч ~Р~Ц)=Р(9 Ч ). Выражение (39.9) или (39.10) является квантовым аналогом фазового среднего в классической статистической механике. Матрица же плотности, рассматриваемая как функция времени, удовлетворяет следую|цему квантовому уравнению движения: до гН "~ (39П1) где 1Н р) — квантовые скобки Пуассона.
В несимволиче- ском виде это уравнение эквивалентно — — = ~Н (д) — Й (о')1 р (д', о, Г). (39.12) Ш Уравнение (39.11) является квантовым аналогом классического уравнения движения фазового ансамбля (8.8), Можно показать, что как квантовые статистические средние (39.9), так и уравнение движения квантового статистического ансамбля (39.12) в пределе при й- 0 переходят в выражения (5.3), (8.8), аналогами которых они являются.
% 40. Неснтаеае нананнчеснае ресаределенне Так же как и в классической статистике, равновесный квантовый статистический ансамбль получается из условия -Р =О, д) (40. 1) или, согласно (39.11), (39.12), из условия (Н (д) — Й (д')1 р (у', у, Е) = О. (40. 2) ка ттта=е (40.3) Правильность такого выбора проще всего проверить, доказав, что Чг обладает свойствами свободной энергии, а 6 — свойствами абсолютной температуры, хотя возможен и иной вывод, аналогичный классическому выводу, приведенному в конце а 11. Согласно условию нормировки 1(па=1, и=о (40.4) откуда чг, е, ее ~е в=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
