Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Поэтому изображаемое ею состояние не является допустимым этой теоремой. * Вообще под координатами частицы здесь надо понимать совокупность трех пространственных координат ха, ра, га и спиновой координаты оа. 199 Этот результат не подтверждается опытом, так как оказывается, что теплоемкость металла определяется только ионными колебаниями решетки и электроны проводимости ничего не вносят в теплоемкость. Легко видеть, что формула (45.28) получена нами при неявном использовании (45.21), так как предполагая, что средняя энергия электронов в У раз больше, чем средняя энергия одного изолированного электрона, мы фактически считаем, что среднее число пропорционально вероятности.
Итак, формула статистики Вольцмана в ряде случаев дает ошибочные результаты при низких температурах. Очевидно, для системы с целым спином (например, фотоны или и-мезоны) вместо (45.5) надо брать сумму вида ~', Р1Р, л (46. 1) где Р— операция перестановки координат частиц, Ч'— волновая функция, изображаемая формулой (45.5), причем суммировать необходимо по всем возможным перестановкам частиц. В частном случае двух частиц (46.1) приобретает вид 1(1)1(2)'1(1)1(2) Т' 2 Для систем же с полуцелым спином (например, электроны или нуклоны) вместо (45.5) надо взять сумму ч22 дЧ2 1зе1 ( ч'2 (и) ) ~и' (46. 3) тн (,) ,(,)- ,(,) н ( .) 1 2 Если система описывается волновыми функциями (46.1) или (46.3), то любые перестановки координат частиц не меняют вида этих функций и лишь могут изменить знак функции в случае (46.3). Следовательно, перестановки не дают новых физических состояний системы, так как волновая функция, умноженная на любое число, в том числе и на минус единицу, изображает то же самое квантовое состояние.
Таким образом, состояния, описываемые функциями (46.1) или (46.3), являются невырожденными и поэтому, в отличие от систем, описываемых функциями (45.5), величину д (и,, и„...) не надо полагать равной (45.8), а считать ее равной 1. Нет необходимости также при переходе к большому ансамблю умножать вероятность на 1/У!, т. е. учи- 2ОП где Р и Ч" — те же, что в (46.1), но знак плюс надо выбирать для перестановки, полученной четным числом транспозиций координат, а знак минус — для перестановки, полученной нечетным числом транспозиций. Иначе говоря, (46.3) является детерминантом, составленным из элементов ам —— Ч", (г;). В частном случае двух частиц (46.3) сводится к И, 2~« 1 а распределение (45.13) с неопределенным числом частиц будет а+ ~, 'и (о — е) 1=О )21(по, и;, ...)=е в .
(46.6) Для систем, описываемых антисимметричными волновыми функциями, необходимо еще учесть ограничение, накладываемое принципом Паули. Если в выражении (46.4) положить 1, = 1„то Ч' (г„г,) =О. То же самое имеет место и для функции многих частиц (46.3), т. е. общая функция системы становится тождественно равной нулю, если хотя бы две нз входящих в детерминант (46.3) функции одинаковы. Но тождественное равенство нулю волновой функции означает, что вероятность такого состояния также равна нулю, т.
е. такое состояние неосуществимо. Следовательно, в случае антисимметричной волновой функции числа заполнения и, не могут быть большими, чем единица, так как уже при п, = 2 в произведении (45.5) две функции одинаковы, т. е. имеет место принцип Паули. Учет принципа Паули в распределениях (46.5) и (46.6) можно осуществить, умножая их на П (бое1+ бге1) 1=О (46. 7) так как в силу свойств Ь-символа это выражение равно еди- нице, если все п, (2, и обращается в нуль, если хотя бы 201 тывать неразличимость при перестановках частиц, понимаемых как перестановки г„, 1, и гь 1ь поскольку при описании системы функциями (46.1) илн (46.3) «различимостье частиц теряет какой бы то ни было физический смысл. Учитывая вышесказанное, для систем, описываемых симметричными волновыми функциями (46.1), распределение (45.9) с фиксированным числом частиц приобретает вид ч" — Л ее 1=О )о'(по, пм" )=е (46.
5) ж Х' о,е, г=о Ю'(п„пг, ...)=е е 6 ~„П (6„„,+6„„,), (46.8) а распределение (45.13) с неопределенным числом частиц как Я -,'- д', о (о — ой г=о СО (ог(п„пг, ...)=е П (6,„,+6,„,). г=о (46.9) Принято называть формулы, получающиеся из (46.5) или (46.6), формулами статистики Базе — Эйнштейна, а формулы, получающиеся из (46.8) или (46.9), форлгулами статистики Ферми — Дирака. Следовательно, системы одинаковых частиц целого спина (фотоны, п-мезоны, й-мезоны) описываются формулами статистики Бозе — Эйнштейна, а системы одинаковых частиц полуцелого спина (электроны, нейтрино, р-мезоны, нуклоны, гипероны)— формулами статистики Ферми — Дирака.
Общим выражением распределения вероятностей для систем с переменным числом частиц является (45.13). Для того чтобы получить из него распределение вероятностей Бозе — Эйнштейна, надо положить а(п„п„...) =1. Распределение вероятностей Ферми — Дирака получается при ~(по, пг, ")=Ц (боо,+61.,) (4611) 1 О И, наконец, выражение, которое можно назвать распределением вероятностей Больцмана, получается из (45.13), если положить ! гз(п„п„...) = Очевидно, выражения для среднего числа частиц в случае статистики Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака буд) т отличаться от случая статистики Больцмана, т. е. от (45.21). 202 одно из чисел и, ) 1.
Таким образом, для систем, описы- ваемых антисимметричными волновыми функциями (46.3), распределение (45.9) с фиксированным числом частиц можно записать как Так же как в случае статистики Вольцмана, для вычисления п, воспользуемся искусственным математическим приемом замены р на ре Тогда вместо (45.19) в случае статистики Бозе — Эйнштейна, согласно (45.15) и (46. 10), получим д' ,лс(л,— ес) с=о Я= ~~~~~) ...е ле л, (46.13) откуда и — ес~ ()=с9 'У', 1п )1 — е (46.14) Следовательно, согласно (45.18), получаем для случая ста- тистики Бозе — Эйнштейна распределение средних чисел заполнения: (46. 15) е — л с е — 1 е Химический потенциал р в распределении (46.15) может быть определен из условия ~~ "с=йс. с=о (46.
16) л (и — е) с — о Б= ~~~ ~ ...е л, се, с ссс — ес, / лс — е '~ =П Х ° ' =П11+ ' / (46.17) с=ол=о с=о 203 Аналогично, в случае статистики Ферми — Дирака, сосласно (45.15) и (46.11), откуда и — е) 11 = — 9~ 1п (!+е в,~. (46.18) ! Подставляя полученное 11 в (45.18), получаем для случая статистики Ферми — Дирака 1 и = е — и 1 е +1 (46.19) где р, так же как и в предыдущем случае, определяется из условия (46.16).
Легко видеть, что при е~ — р)) сг (46. 20) распределения (46.15) и (46.19) переходят в распределение статистики Больцмана (45.21). Таким образом, вообще говоря, не отражающие действительность формулы статистики Больцмана становятся истинными при выполнении условия (46.20), когда опи превращаются в асимптотические выражения для формул статистик Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака.
% 47. Прнлангенне стнтнсгннн Базе — Эйнштейне н фатаннагеу гезу Фотоны имеют спин, равняй единице, поэтому для них надо использовать формулы статистики Бозе — Эйнштейна. Следовательно, для среднего числа частиц, имеющих заданную энергию, надо брать формулу (46.15), а не формулу (45.24) статистики Больцмана. Специфическим для фотонного газа является отсутствие какого-либо закона сохранения, фиксирующего число частиц. Иначе говоря, фотоны могут поглощаться н излучаться без всяких ограничений, т. е. их число не фиксировано, и условие (46.16) для них не имеет места.
Из термодинамики известно, что равновесное излучение (т. е. фотонный газ, находящийся в состоянии равновесия) является системой с одной степенью свободы. Иначе говоря, состояние равновесного излучения полностью задается температурой, т. е. все внутренние параметры — давление, энергия, среднее число фотонов и т. д. — могут зависеть только от температуры. Следовательно, среднее число фо- зае тонов )у= 'г', е — 1 или, согласно (45.23) (47.
1) ! ле = е е — 1 Используя эту формулу, а также (45.23), получаем и (е) сГе = ап, ЙЛГ (е) = ез Ле е — ! (47.4) (47.5) или, согласно (45.22), и (м) йв = Ьа (47.6) формулу Планка, а не формулу при использовании формул ста- т. е. получаем правильную Вина, как это имело место тистики Больцмана. % 48, Применение статистики Ферми — Янрана к элентронномр гаер е металле Электроны проводимости в металле могут рассматри- ваться как почти свободные, т.
е. как электронный газ. Электроны имеют спин, равный половине, и поэтому к эле- эее У= ~, „, ~ ~ (47.2) может быть функцией только температуры. Но в выражение (47.2), кроме температуры, входит также параметр р. Поэтому, очевидно, что Л1, определяемое формулой (47.2), будет зависеть лишь от О, т.
е. не будет зависеть от р только в том случае, если 1! = О. (47.3) Е такому же выводу можно прийти непосредственно из того факта, что термодинамический потенциал равновесного излучения равен нулю (см. 1.29). Следовательно, для фотонного газа среднее число фотонов с данной энергией а определится как ктронному идеальному газу применимы формулы статистики Ферми — Дирака. Согласно формуле (46.19), среднее число частиц, находящееся на заданном энергетическом уровне, не может превышать единицу. Последнее видно также из кривой, изображающей зависимость п„от е (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
