Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Определить отношение вращательных критических температур для молекул Н», НР и Р„считая радиусы этих молекул одинаковыми и игнорируя спин и неразличимость ядер. Ч1-2. Определить отношение колебательных критических температур молекул Н„ НР и Р,, считая, что квазиупругая сила осциллятора во всех трех случаях одинакова. Ч1-3. Найти среднее квадратичное уклонение энергии квантовой системы, находящейся при температуре Т, если известна средняя энергия системы при этой температуре.
212 Ч1-4. Найти температурную зависимость среднего квадратичного уклонения полной энергии твердого тела, подчиняющегося закону Дебая. Ч1-5. Найти зависимость среднего числа фотонов равновесного излучения от полной энергии и объема. Ч1-6. Кривая закона равновесного излучения Планка имеет максимум при частоте в . Определить отношения частот а при различных температурах.
Ч1-7. Объяснить, почему для твердых тел, имеющих одномерную (нитевидную) и двухмерную (слоистую) структуру, теплоемкость Сг при низких температурах подчиняется не закону Дебая Сг — Т', а закону В. В. Тарасова Сг Т и закону Н. Н. Сироты ф— Т' соответственно. Ч1-8.
Найти связь между давлением и средней плотностью энергии для квантового идеального газа в нерелятивистском и ультрарелятивистском случаях. Ч1-9. Пользуясь большим каноническим распределением Гиббса, найти флуктуации чисел заполнения для квантового идеального газа. Ч1-1О. Вычислить первую поправку, обусловленную квантовой статистикой, в уравнении состояния идеального газа. Ч1-11. Оценить электронную теплоемкость сильно вырожденного идеального газа Ферми.
Ч1-12. Найти отношение температур вырождения электронов и протонов внутри звезды, состоящей из полностью ионизированного водорода. Ч1-13. Вычислить температуру вырождения и давление для ультрарелятивистского газа Ферми. Ч1-14. Пользуясь большим каноническим распределением Гиббса, выразить энтропию идеального газа Бозе— Эйнштейна и Ферми — Дирака через средние числа заполнения и,; рассмотреть случай, когда л, 1. Ч1-15. На основании результатов предыдущей задачи показать, что энтропия квантового идеального газа имеет максимум (при заданной средней энергии и заданном среднем числе частиц), если средние числа заполнения удовлетворяют распределениям Бозе — Эйнштейна и Ферми— Дирака. Ч1-16.
Обобщить форму Найквиста на случай квантовых линейных систем. Ч1-17. Рассмотреть броуновское движение электрона, испытывающего радиационное трение, под действием тепловых флуктуаций напряженности электромагнитного поля. Пользуясь обобщенной формулой Найквиста (см. задачу Ч1 — 16), получить формулу Планка для спектральной плотности энергии электромагнитного излучения. Ч1-!8. Ввести и исследовать микроканоническое распределение для квантовой системы. Ч1-19.
Найти плотность вероятности координаты квантового осциллятора, находящегося в равновесии с термостатом, имеющим температуру Т. Ч1-20. Вычислить среднее квадратичное уклонение энергии равновесного излучения абсолютно черного тела, приходящейся на частотный интервал Йо. Ч1-21. Вычислить среднее квадратичное уклонение чисел заполнения энергетического уровня в случае статистики Больцмана, Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака. Рассмотрим случай вырожденного ферми-газа и случай конденсированного бозе-газа. ~лаос р() Некоторые общие проблемы статистической физики % 50. Граиииы иримеиимости илассичесиор термолииамиии При построении математичесного аппарата статистической физики мы рассматривали лишь такие макроснопические системы, для которых справедлива классическая термодинамика, т.
е. та известная нам термодинамика, основные положения которой изложены в С 1. Вопрос о возможности иных макроскопичесних систем, не подчиняющихся классической термодинамике и нуждающихся в построении иной, обобщенной термодинамики, нами не поднимался, хотя и делались отдельные замечания о возможных классах механических систем, для которых невыполнимы основные аксиомы о существовании термодинамического равновесия и об аддитивности.
Следовательно, о механических (илн квантовомеханическнх) моделях макроскопических систем явно или неявно нами делались такие ограничивающие предположения, которые заведомо гарантировали выполнимость аксиом классической термодинамики. Таким образом, мы не отступали от того пути, который был проложен еще Больцманом и Гиббсом и по которому следовали другие известные авторы, излагавшие статистическую физику. В статнстической теории, развитой Больцманом и Гиббсом, содержится, однано, и иная возможность, когда микроскопическая модель макроскопической системы выбирается, исходя из чисто динамических, а не термадинамичесних соображений и при этом оказывается, что построенная на основе такой модели статистическая теория не удовлетворяет основным аксиомам классической термодинамики.
Последнее может иметь место, например, в следующих случаях. . ! . Динамическая система не имеет мини.каленой энергии Ее, вопреки тому, что предполагалось для всех рассматриваемых в гл. 1Н систем. В этом случае поверхности заданной энергии, Е (Х, а) = Е, не обязательно замкнуты, в противоположность тому, что мы неявно предполагали в С 1О. При незамкнутых же поверхностях заданной энергии дГ (Е, а) не существует интеграла Г (Е, а) и его производной Я (Е, а) = дЕ определяемых выражениями (!О.б) и (10.3).
Но в этом случае не существует и микроканонического и каноничесного стационарных распределений (10,2) и (! 1,27), т, е, система не имеет термодинамически равно- 215 весных состояний и для нее невыполнима аксиома классической термодинамики о существовании состояния термодинамического равновесия. 2. Энергия гзаимодейстгия макроскопических частей сравнима с их внутренними энергиями. В этом случае не выполняется условие аддитивности энергий и, следовательно, не может быть введено понятие температуры как интенсивного параметра, определяющего термодинамическое равновесие системы с другими телами, находящимися с пей в тепловом контакте.
При зюм каноническое распределение не является уже равновесным распределением для любых подсистем большой системы, поскольку предположение о пренебрежимости энергией взаимодействия не может быть оправдано. Как первый, так и второй из рагсмотренных выше возможных случаев динамических систем не запрещается классической или квантовой механикой. Однако в статистической физике такие системы игнорируются. Они фактически негласно запрещаются как противоречащие классической термодинамике, которую приняю считать ненарушающейся для любых макроскопических систем.
Представление о неограниченной применимости классической термодинамики к любым макроскопическим системам опирается на повседневный земной макроскопический опыт. Однако было бы весьма недальновидным считать это представление абсолютной истиной и полностью игнорировать возможность наличия определенных границ примени»»ости классической термодинамики, т, е. возможность существования не подчиняющихся ей макроскопических систем. Известно, что общие соображения о вечном круговороте движения материи во вселенной предполагают именно такую возможность, как зто было показано Энгельсом в его «Диалектике природы».
Итан, дальнейшее развитие статистической физини может быть связано с одной из двух противоположных концепций — термодинамической или дина.чической. Согласно термодиномической концепции все основные постулаты термодинамиии, перечисленные в $ 1, должны выполняться для любых макроскопических систем. Нарушение некоторых из этих постулатов, например закона возрастания энтропии, возможно лишь для весьма малых систем, содержащих небольшое число молекул, для которых лишь и возможны заметные относительные флуктуации. Следовательно, в любых макроскопических, адиабатически изолированных объектах энтропия может только возрастать или, достигнув максимального значения, оставаться неизменной. Иначе говоря, все макроскопические веобратимые процессы протекают так, что с течением времени, отсчитываемом в одном и том же направлении, все макроскопические системы переходят от состояний менее равновесных к состояниям более равновесным.
Противоположно направленные во времени макроскопические процессы исключаются термодинамической концепцией. Термодинамическая концепция запрещает такие динамические микромодели реальных объектов, поторые нарушают основные аксиомы термодинамики. Следовательно, на классическую или квантовую механику накладываются определенвые ограничения, Запрещаются, например, системы, не имеющие минимальной энергии или системы с такими дальнодействующими силами взаимодействия, для которых невыполнима аксиома аддитивности. Таким образом, термодинамической концепцией исключаются какие бы то ни было частипы отрицательной массы, так как их кинетическая энергия может принимать неограниченные отрицательные значения, и поэтому полная энергия системы, содержащая такие частицы, не ограничена каким-либо минимальным конеч- 216 ным значением.
Эта концепция ограничивает также применимость закона тяготения Ньютона только теми случаями, когда гравитационная энергия мала по сравнению с внутренней энергией системы, ибо, в противном случае не обеспечивается аддитивность энергий ". Таким образом, многие запреты, обычно накладываемые по тем или иным соображениям на микроскопические законы движения и динамические модели макроскопических систем, вытекают в конечном счете из термодинамической концепции, которая принимается как некоторый самоочевидный постулат. Очевидно, принимая термодинамическую концепцию, надо отназаться от постановки вопроса об определении границ применимости классической термодинамики к макроскопнческим системам.
Ибо, согласно этой концепции, отступление от классической термодинамики возможно лишь в микроскопических масштабах, когда система содержит относительно небольшое число степеней свободы. Противоположная, динааическая концепция исходит из возможности нарушения классической термодинамики в манроскопических масштабах. Согласно этой концепции, динамические законы микроскопического движения являются первичными, а законы термодинамики представляют лишь следствия статистической теории динамических систем с большим числом степеней свободы. Таким образом, любые ограничения динамических законов микроскопического движения н динамических микромоделей могут вытекать лишь из самой динамической теории, но не из законов термодинамики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
