Терлецкий Я.П. Статистическая физика (1973) (1185097), страница 22
Текст из файла (страница 22)
д., т. е. основой неравновесной термодинамики. Теория может, очевидно, опираться на уравнение движения статистического фазового ансамбля (8.8). Однако ясно, что в задачу теории не может входить отыскание точных решений этого уравнения, так как если бы даже и (Х,в) как точное решение (8.8) была найдена, то вряд ли ее возможно было бы использовать для вычисления наблюдаемых на опыте макроскопических величин вследствие зависимости точной плотности вероятности со (Х, 1) от всех начальных значений переменных Х', которые макроскопически в опыте не задаются. Большинство задач теории неравновесных процессов может быть, однако, решено, если нам будет известна неравновесная средняя плотность числа частиц т в фазовом р-пространстве, определяемая формулами (15.9) и (15.10).
Те же результаты можно получить, зная неравновесную функцию распределения, определяемую соотношением Г(х, у, г; $, т), ~; 1) = нгч(х, у, г; р„, рд, р;, 1), (29.1) согласно которому 1 с(х с(у дг с(в с(т1 с(с = т дх ду с(г др,. с(р„др„ откуда ) 1' (г, о, 1) с(г с( = ~ т (г, р, 1) с(г др = й(. (29 2) ыв Знание функции 1 позволяет определить основные макроскопические характеристики неравновесной системы, такие, как плотность массы о(», 1) =т~г(», о, () г(в, (29. 3) плотность потока массы (», г)=т)Ц(», о, г)»Ь, (29.4) плотность потока тепла ях(~ )= ~ з у(» ~ ) (29.5) и т.
и. Следовательно, если для функции распределения будет найдено уравнение движения, обычно называемое кинетическим уравнением, то большинство задач неравновесной теории сведется к задаче решения кинетического уравнения. Итак, перейдем к проблеме отыскания кинетического уравнения. % ЗО, Точные ураененнн ллн Фуннанн раеаределеннн Согласно (15.10) средняя фазовая плотность числа частиц пропорциональна плотности вероятности одной частице находиться в заданной точке фазового р-пространства. Следовательно, кинетическое уравнение для функции распределения можно получить, отыскивая уравнение для вышеуказанной плотности вероятности, которую нам удобно обозначать буквой В'„ т. е.
)Р1(»1 Р1 г) =~ш(»и, Рм' г)г('апР п»з "Рэ г(»м»1Рм. (30.1) Наряду с этой унарной плотностью вероятности нам потребуется ввести также бинарную плотность вероятности Ю'„, определяемую как Ф'ы~(»,, Р, »„р,, Г)=~ш(»,, ..., Рм, 1)дг,3р,...г(»мг(Рм. (30. 2) Можно ввести также плотности вероятности К, ..., (»и ..., р„г) более высокого порядка, определяемые как интеграл от ш по всем переменным, кроме»„..., Р,. 141 Для отыскания уравнения для Я2, продифференцируем (30.1) по времени и учтем уравнение (8.8) В результате получаем — '= ~ [Лш)дг,г(р,й,йр,...армс(рм.
(30.3) Но для рассматриваемой модели вещества как системы М материальных точек массы т, взаимодействующих лишь попарно, О = ~) — ~- + ~1~~~~ 0 (~ 7; — г~ ~) + ~~1 (l, (~ „) (30.4) а=1 н(м н поэтому, вводя обозначения координат и импульсов: ха=ты уа=гы за=та, ! 2 Ркь=Ро Ру,=РИ Р =Ра (30.5) получаем где использовано сокращенное обозначение ~ У((г; — 7„() при 2Ф/г, 0 при ю'= 7г. +~' а а — — — Й'= — а~~ =О, Р~ ды РЬ Наа щ„н а т ~сн- а +СО 142 Подставляя (30.6) в (30.3) и замечая, что на бесконечности в силу условия нормировки функция ш достаточно быстро стремится к нулю, вследствие чего получаем з дК', тГз ~ ( ра дза д1~~ д!а и=! ,д д,) (30.8) В силу полной тождественности частиц функцию гп можно считать симметричной относительно перестановок любых частиц *, поэтому все (А! — 1) членов суммы, входян(ей в подынтегральное выражение (30.8), одинаковы, и, следовательно, эта сумма может быть заменена одним членом (в котором положено ! = 2), умноженным на (А! — 1).
Таким образом, используя (30.1) и (30.2), получаем д(р! ~З ( ро д(уг! дып д(р! дт аЬз ( т дг!' дг" ,др", а=! д !' дУы + ()У вЂ” 1) — „1 — '„' )Ущ (г, НРв', (30.9) где )р'! — функция координат и импульсов первой частицы, а )р'та — функция координат и импульсов первой и второй частиц. Это точное уравнение для )р'! не является, однако, замкнутым, так как в него входит неизвестная бинарная ди Таким образом, если в начальный момент времени и=а, то =О д! и функция и остается неизменной и в последующие моменты времени. А зто означает, что симметричная в начальный момент!в (Х'!' Х"з', ...) остается симметричной и в последующие моменты времени.
143 " Легко доказать, что в силу уравнения (8.8) свойство симметрии функции щ (Х, 0 сохраняется во времени. Для доказательства этого утвержления рассмотрим функцию и(хи', х' ', ...)= (хн', х' ', ...) — (х' ', хи', ...), которая тождественно равна нулю лля функций ю (Хн', Х"', ...), симметричных по перестановкам канонических переменных первой и второй частиц, Хго и Х ", Для одинаковых частиц функция Гамильтона (30.4) симметрична, т. е. Н(Х г, Х~з, ...)=Н(х<з, Х~т~, ...). Следовательно, функция и также подчиняется уравнению (8.8), т. е.
ди дт — = (Ни). функция %'тя. Лля этой функции аута также можно вывести точное уравнение, которое будет содержать неизвестную функцию Ут'тза (г"„рт; г„р;! 7„рз! 1). Эта функция в свою очередь подчиняется точному уравнению, содержащему фУнкцию )Раааа и т. д. Таким обРазом, мы полУчим цепочкУ уравнений, 5-й член которой имеет вид $ 1Н Р 1 + 3 а +()Ч ) ~ ~Р ~ лт!!' л1р - е( -т( - (30 )0) а=! !=! т. 1 гДе %'та,=~ и!(гх, ..., Рл! 1) с(г,~;...АРм — плотность ве- роятности для з частиц; И, = ~~!', ',— '+ у',у' и,,-+ 'у' и,(г!) е=! !(!С!(5 е=! — функция Гамильтона для з частиц. Квадратные скобки, как и раньше означают скобки Пуассона. В конце этой цепочки оказывается исходное уравнение (8.8), т. е. З1гхз л д! где %"хз ...
л совпадает с сп (Х, !). Эта последовательность уравнений называется цепочкой уравнений Боголюбова. Совершенно ясно, что отыскание точного решения для функции Ю'! эквивалентно решению всей цепочки уравнений, т. е. решению уравнения (30.1!). Последнее, однако, практически неосуществимо, так же как неосуществимо решение уравнений механики М материальных точек *". Таким образом, практическую ценность для отыскания функции )!'; может представлять неточное уравнение (30.9), а некоторое приближенное уравнение, в котором входящая в (30.9) функция )е'та приближенно выражается черезфункцию Tх. ь Следует заметить, что если бы даже удалось точно решить уравнение (30.11), то это решение практически невозможно было бы использовать для нахождения функции ут, так как ат„а, должно зависеть от 6!у начальных значений всех канонических переменных и о них пришлось бы делать какие.то произвольные предположения.
144 Для получения такого приближенного уравнения необходимо сделать для функции 1Г„некоторое упрощающее предположение, характер которого должен зависеть от физических свойств системы, т. е, от вида потенциала парного взаимодействия У ( ~ г; — г„~ ). Мы рассмотрим два таких упрощающих предположения, одно из которых приводит к кинетическому уравнению самосогласованного поля (уравнение Власова), другое к газокинетическому уравнению Больцмана.
При этом первое предположение оказывается эффективным для дальнодействующих сил взаимодействия между молекулами, второе — для короткодействующих сил. й 31. Кииотичосиав иравивиив саввосогласоваииого поля Предположим, что силы взаимодействия между отдельными частицами газа являются дальнодействующими, т. е, достаточно медленно убывающими с расстоянием (например, кулоновские или гравитационные силы, убывающие с расстоянием как 1/г'). Такие силы действуют, например, между ионами и электронами в ионизированном газе, т.
е. в электронной плазме. Если силы достаточно медленно убывают с расстоянием, например, как 1/г', то на каждую частицу одновременно эффективно действуют как близко расположенные к ней частицы, так и удаленные на значительные расстояния, поскольку число частиц, лежащих в интвервале дг, растет пропорционально г'. Следовательно, движение выбранной пары частиц будет обусловливаться не столько их парным взаимодействием, сколько взаимодействием каждой из двух частиц со всеми остальными частицами. В силу этого обстоятельства движение выбранных двух частиц можно практически рассматривать как движение статистически независимых друг от друга материальных точек.
Но в этом случае можно положить )р'„(гм р,; ).„р2; Г)=К~(~'„рм Г) (И',(7„рм Г). (31,1) Подставляя (31.1) в (30.9), получаем з а З1~/ (31.2) и(.,)=и,(.)+ +(М вЂ” 1) 5('12() 1 — 2 ) И'2(г2 рй)( 2 р2' / 145 Или, переходя от Ю',(г,, р,, 1) к функции распределения 1(», о, 1) =Мт')В»(», р, 1), получаем д~ + оч+ -- 7,1 = О, Г (») = — 7, ((у, (») + ~ () (, '» — »',) 1(»', о', г)»(»' Ы!, где .д .д д д +1д +ад —.д тд — д ;+)д + д'' д; При выводе этого уравнения считается, что число частиц достаточно велико, в силу чего (Ф вЂ” 1) можно заменить на й. Уравнение (3!.3) легко обобщается на случай газа, состоящего из нескольких сортов частиц. Так, например, для полностью ионизированной плазмы, состоящей из электронов и положительных ионов, в соответствии с (31.3) можно написать следующую систему уравнении: д'+ о,7,1,+ --7,»р.
7„1„,=0, д-, + оГ.1; — — - т,~р 7,1; = О, Ч=е '(' "';О-);(' "' ') (»,(о-, (31.4) ~/ — Г' где 1, — функция распределения электронов и 1; — функция распределения ионов. При помощи этой системы уравнений, впервые полученной А. А. Власовым, обычно исследуются неравновесные процессы в весьма разреженной плазме. В случае же более плотной плазмы, в которой невозможно пренебречь процессами ионизации нейтральных молекул и рекомбинации электронов и ионов, эта система уравнений должна быть дополнена членами, учитывающими не только коллективные взаимодействия, но и парные соударения. % 32, Гавенннетнчевнав враввевне Бельвмана При средних температурах, когда ионизация пренебрежимо мала, газ можно рассматривать как состоящий нз нейтральных молекул, взаимодействующих друг с другом 14В 771/1 / / / 1 Рис. 18 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
