Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 56
Текст из файла (страница 56)
17) следовательно, дополнительная энергия взаимодействия электрона с ядром за счет вакуумных колебаний равна азов 4 Г а тз 2лз ЬУ = — — о (Ьг)зЧ'Ф = — Лета ~ — ! 1п — Ь (г). (21.18) б 3 о !ч ш~с ! (Ла)з ') Заметим, что более аккуратно пределы измеиенки частот м„„и м,„, могут быть определены в теории регулиризаиии. Однако, поскольку величина смещении (2!Лз) логарифмически зависит от м ,„ и м „„ то неточность в ил определении в нашем приближенном расчете несущественна, примет теперь вид У+Ь" еак= — евФ(г+Ьг) = — ее[! + (ЬгЧ) + 2 (ЬгЧ) +...1 Ф(г). (21.!6) Усредним это выражение по дрожанию электрона с учетом соотношений Ьг = О, (Ьл)з = (Ьу)т = (Ьз)т = 3 (Ьг)з. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [ч.
!г 342 При получении последнего равенства учтено, что потенциал кулоновского поля ядра атома водорода удовлетворяет уравнению Пуассона ЧзФ = — 4ИЛеоб (г). (21.19) Для того чтобы найти окончательное выражение для сдвига уровней в атоме водорода, необходимо усреднить величину 6Р.„ по соответствующему состоянию атома ар(г). Тогда формула для сдвига уровней примет вид 6~как ~ ф (~) 61 вакф(~)а( Л= 3 Хеопс ( ) ! ф(0) ! !П 3 а а (21.20) т. е.
этот сдвиг, который получил название лэмбовского смен(ения, определяется значением волновой функции в начале координат. Поэтому он имеет место толькодля з состояний, а для других состояний (! = 1, 2, ...) величина !аР(0) !з в рассматриваемом приближении обращается в нуль. Но для з-состояния (см. (12.40)) )ф (О) г=— (21.21) икзаз ' о где ао= йз/пзоез, — боровский радиус, а п — главное квантовое число.
Если теперь подставить это значение в (2!.20), то для сдвига з-уровней получим формулу 6Евак 3 и Ю(п а, в г 2,а (21.22) впервые установленную Г. Бете (1947 г.). В этой формуле 1т = лз,е'/2йз — постоянная Ридберга. Как видно, лэмбовское смещение уровней водородоподобного атома по отношению к энергии невозмущенных уровней имеет порядок аадаГга !Е! каха (21.23) По отношению к расщеплению уровней ЬЕвь соответствующему тонкой структуре (20.16) и имеющему порядок атй24аз, лэмбовский сдвиг оказывается в а раз меньшим.
Рассмотрим состояния 2з,, и 2р, в атоме водорода (2 = 1). Даже с учетом тонкой структуры они обладают одинаковой энергией, так как соответствуют одинаковым значениям квантового числа ! = '/з. Вакуумное взаимодействие приводит к лэмбовскому сдвигу уровня 2з,, так что уровень 2з, будет лежать выше уровня 2р, .
Такое положение этих уровней и было экспериментально обнаружено в опытах Лэмба и Ризерфорда (1947 г.) (см. 5 20). ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИЕХКА 343 Численная оценка результата (21.22) для 23-состояния (п = 2): ЬЕ„„= 17,8Д = 1040 МГц (2! .24) показывает сравнительно хорошее согласие с последними экспериментальными данными для лэмбовского сдвига уровней (бЕ = 1057,86 МГц). Заметим, что полное исследование сдвига уровней атомных электронов, проведенное на базе релятивистской квантовой теории поля, дает значительно лучшее количественное совпадение результатов теории и эксперимента, чем по полуклассической формуле (2!.22). Расхождение составляет менее 1О-ь МГц.
й 22. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В настоящем параграфе мы хотим более подробно исследо. вать полное решение уравнения Дирака, учитывая состояния не только с положительной, но и с отрицательной энергией. В связи с этим заметим, что анализ решений с отрицательной энергией привел к предсказанию существования позитрона, т. е. к открытию нового фундаментального свойства элементарных частиц, а именно к существованию античастиц и возможности превращения одних элементарных частиц в другие. а) Решение уравнения Дирана для свободной частицы с учвтог4 положительных и отрицательных энергий. Исследуем прежде всего уравнение Дирака для свободной частицы, которое имеет вид (-! й-Н) ф=0 (22.1) где гамильтониан определяется выражением Н= А." (и1!)+ Р п4 с'.
(22.2) Свободное движение можно рассматривать как частный случай движения под действием центральных сил, и поэтому должен соблюдаться закон сохранения полного момента (см. (!9.4)) ,! = (тр) + — Ьо = сопз!. (22.3) На языке квантовой механики это означает, что полный момент количества движения должен коммутировать с гамильтонианом. Мы можем избавиться от орбитального момента [тр), если возьмем проекцию полного момента на направление импульса, поскольку проекция орбитального момента на направление РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВА!!ТОВАЯ МЕХАНИКА 344 импульса обращается в нуль: (р(гр)) = р„(ур, — ерт) + рк (гр„— хр,) + р, (хрк — ур„) = О. Для дальнейших расчетов нам более удобно ввести оператор проекции момента количества двнження иа направление импульса (в единицах !/Тд) 8=2 — Р (22.4) ВР ~/Ч' Ы ' где импульс р = йя, а собственное значение оператора т!В равно — ФВ.
Этот оператор, очевидно, должен коммутировать с гамнльтонианом (22.2), в чем нетрудно убедиться с помощью непосредственной проверки Н8 — ЗН = О. Частное решение уравнения Днрака мы будем искать в виде тр (ь) — ЬВ-иек!+!Аг (22.5) ! А гдв (22.6) — четырехрядная матрица, Е — объем основного параллелепи- педа, а составляющие волнового вектора й(йь йм Ьз) связаны с целыми числами пь пм и, = О, ~1, 1-2, ~3..., соотношениями зп Ь1= — и! и т.
д. (см. $4, решение уравнения Шредингера в случае свободного движения). Энергия Е связана с величиной К- Я4-К, где Ь=1/Ь!+ ЬВ+/г~з и Ь — — — ", соотношением а Е = сйВК, (22.7) причем параметр В остается пока что неопределенным. Учитывая коммутацию оператора 8 с гамильтонианом (22.2), мы можем волновую функцию подчинить дополнительному усло- вию: (оя)) Ь = О, Р!Я Р Ь )Ь= Π—, !р (й) = з!Ь (й), (22.8) где величина з представляет собой собственное значение оператора (22.4). Подставляя волновую функцию (22.5) в уравнения (22.8) и (22.1), мы найдем для определения матрицы Ь следующие два уравнения: (22.9) (22.1О) О 221 З45 ПОЛ||ОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА Учитывая значения для матриц о„и р, (18.9) и (18.10), а также равенство (22.6), мы запишем два последних матричных уравнения в виде системы уравнений: (зй — Ьз) Ь4,з= ЬИЬг,о, (ей+ Ьз) Ьг,о = Ь|А,з (ЕК ло) Ь|,г=зЬЬз,о (ЕК+Ьо) Ьз.4=зйЬг,ы (22.11) где Ь!2 = |42| + 1442, й|2 = й! (йг ь = (," ) = —,' ("„' ь* ) .
(22. 12) Тогда для определения А||о и В|,2 получаем: (зй — Ьз) В| й|2В|, (ей+ Йз) Вг = Й~2В|ь (ЕК вЂ” йо) А, = зЬАг (ЕК+ Ьо) Аг= зйА|. (22.13) (22.13а) Из равенств (22.13) легко найти собственные значения для з: а=~1, (22. 14) а из (22.13а) значения для е: е=-с1, (22,14а) т. е. параметр е определяет знак энергии.
Учитывая далее условие нормировки Ь Ь = Ь!Ь| + Ьгйг + Ь|Ьз + Ь|Ь4 "= = '/4 (А|А| + АЯАг) (В|В| + В|Во) = 1, (22.15) Найдем: А|= Аг 1+о — ° Аг=ез 1 — е — '., го оо К В, = зе-' 'о 1/1 + з соз б, в,— 'ьи Оь — й О, (22.16) Последним уравнениям мы сможем удовлетворить, если положим 1ч. !! РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 346 Ь(й, э=1, В= ~= 1) =— 1 Я/2 (22.17) Ь (й, з = — 1, В = -1- 1) =— 1 у~2 Решение с э = 1 описывает случай, когда спин направлен по импульсу, а с э = — 1 — против импульса.
Знак величины е определяет знак энергии. Нетрудно показать, что эти матрицы удовлетворяют условию ортонормированности Ь+(й, е', е')Ь(й, э, В)=Ь Ьыс б) Исследование спиновых свойств свободного электрона, Исследуем прежде всего спиновые свойства частиц, органичиваясь лишь состояниями с положительными энергиями (В = 1).
Тогда волновая функция (для случая, когда импульс направлен по оси г) принимает вид ф(й, В=1)= /, А, о А, 1 = =с! !".ЛЧ/2 е-!ек!+!Ал (22 13) +с ! Оказывается, можно ввести такое понятие спина, когда не только его составляющая вдоль импульса, но и вообще любая составляющая спина (без орбитального момента) остается интегралом движения. Этот сохраняющийся в случае свободного где б и !р являются сферическими углами волнового вектора й (йы = й з!п бе!Ф, йз = й соз б). Для анализа полученных решений, не нарушая общности, мы направим импульс по осн з (6 = 0, !р =О, /г, = йг = О, йк = й). Этому импульсу соответствуют четыре решения, отличающиеся друг от друга знаком или энергии (В= ~1), или спина (э = ~1), которые дают следующие значения для матриц Ь: ПОЛНОЕ РЕШЕНПЕ УРАВНЫ1ИЯ Ш2РАКА 4 221 347 движения спин равен (в единицах 1/291) ') а (ол) ооз — а (оо) оо= — +р (22.19) Сохранение спина, определяемого равенством (22.19), следует из того обстоятельства, что любая его составляющая коммутирует с гамильтонианом (22.2).
Если импульс направлен по оси г, то составляющая оператора по по импульсу о,'и составляющие, направленные перпендикулярно к импульсу, о'„' и оо, соответственно равны оо = — = о, оо = р ег, оо-р а . (о()) О З з З1 у 32 Обозначая собственные значения этого оператора через зо, находим: для продольной составляющей зз= ~ зр+аззре( х=С1С1 — С 1С 1., для поперечных составляющих зо = ~ зр+р а12рс('х = С 1С1 + С,С „ ео =1 (С" 1С1 — С;С,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
