Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 58
Текст из файла (страница 58)
е. электрон находится как бы в диэлектрике), благодаря чему возникает дополнительная энергия взаимодействия, определяемая выражением )А . = — — е'а ~ — ) б (г). э.-п 1в 0 ~ мое ) (22.27) находится в хорошем согласии с экспериментальными данными, полученными с помощью радиоспектроскопических методов (см. (20.35) ) . Сопоставляя последнюю формулу с формулой (21.18), мы видим, что сдвиг уровней, связанный с флуктуациями электромагнитного поля, имеет по сравнени1о с (22.27) противоположный знак.
Особенно сильное влияние электрон-позитронный вакуум оказывает на магнитные свойства электрона, благодаря чему магнитный момент электрона, как показал Швингер, становится несколько ббльшим, чем магнетон Бора: р — — (1+ —,„). (22.28) Дополнительная поправка к магнитному моменту электрона, вычисленная с учетом следующих членов: 51А,, „= — ( —" — 0,328~, + 0 13 ~, ) 1»о= — 0 001!5961»о (22 29) Ф зз! . полноя нншвння згзвнзиззя днгзка 353 д) Волновое уравнение для позитрона. Для выяснения физического смысла решений с отрицательными значениями для энергий при наличии электромагнитного поля наряду с основным уравнением Днрака — д — еФ вЂ” с [а, ( з д, — — А„) + а, ( а —,— — —; Л„) + + аз ( д Л')1 — Рзнз,с'~ ф .= 0 (22.30) запишем также и комплексно-сопряженное уравнение (! д! еФ+с[а!(' д + '1") аз(' д +~А )+ + <зз (; д + Л )] рзо!ос'~ зР' = О, (22.31) (22.32) как видно, отличается от эрмитово-сопряженной "1! 'з 11 тззРззР4)' !22!33) Заметим, что комплексно-сопряженное уравнение совершенно эквивалентно эрмитово-сопряженному уравнению зр ((- —.
— — еФ) — с [а, ( — — — — ' А„) + + а, ( —, — „— —, А „) + аз ( —, — — —, А, ) 1 — рзтдс~)~= О, (22.34) в чем нетрудно убедиться, если расписать в виде системы четырех уравнений как уравнение (22.31), так и уравнение 122.34), и учесть при этом правило действия оператора, стоящего после волновой функции: + д дз! + д дз)!+ зр д! д! ' дх дх (22.36) Сделаем Дирака замену в комплексно-сопряженном уравнении ф = зазр.зр. 122.36) !з А.
л. соколоа н зр. которое легко может быть получено, если учесть, что а!=а, а.',= — а„а'=а, р'=р, а комплексно-сопряженная волновая функция !у! зрз '1'з 354 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАН1!КА Тогда, учитывая правило коммутации матриц Дирака, мы най- дем для волновой функции уравнение д1+егр [а1(~ д + — А„)+а2(Т д + — А„)+ + аз ( — ",. д„+ —' ,А,)~ — рзтсс'~ 2р = 0 (22 37) которое описывает движение позитрона, поскольку отличается от основного (22.30) заменой заряда е нз — е.
Кроме того, прини1Е1 — 1— мая во внимание, что состояние Ч1(г, Г)=е " 2Р(г) трактуется как состояние с положительной энергией, а состояние 1Е1 211'(г, г)=е " 2р*(г) — как состояние с отрнцательной энергией, мы должны у функции 2р трактовать знак энергии иначе, чем у функции 2р". Иными словами, состояние с положительной энергией уравнения (22.37) следует отнести уже к позитронам, а состояния с отрицательной энергией — к электронам. е) Понятие о теореме Людерса — Паули. Заметим, что уравнение Дирака должно быть инвариантным относительно слабого обращения времени (СТ-преобразование), сводящегося к совместному зарядово-сопряженному преобразованию (е -ь — е, С-преобразование) и сильному обращению времени (Г— Ф -~- — Ф, Т-преобразование).
В самом деле, в случае СТ-преобразования уравнение (22.30) принимает вид ( —. дг — еФ вЂ” с[а1( ~ 1 + — сАс)+ а2 1,—. д + — А„) + + аз ( д + А*)1 — рзе1~с2~ 2р = О. (22.38) Последнее уравнение в результате замены 2р- о22р' переходит в комплексно-сопряженное уравнение (22:31) (аналогично комплексно-сопряженное уравнение переходит в основное). Можно также показать инвариантность уравнения Дирака относительно инверсии пространства (г -Р— г, А -+ — А, Р-преобразование). В самом деле, в результате Р-преобразования уравнение Дирака принимает вид [ — —.
—, — еФ + с [а, (-, — — — А „) + а, ( —, — — —, А„) + + аз ~ — — — — А д — рзтсс ~ 2Р = О. (22.39) ГВ д е тт 2 де с *лл Сделав в этом уравнении замену 2р-Рр22р, мы преобразуем его к первоначальному виду (22,30). ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА Ф м! Таким образом, уравнение Дирака должно быть инвариантным относительно совместного тройного СТР-преобразования (теорема Людерса — Паули). ( — с (о'р)) <р = О. (22. 40) Это уравнение, в противоположность уравнению Дирака, не инвариантно относительно инверсии пространства, поскольку после замены р -Р— р мы никакими преобразованиями волновой функции не сможем вернуть его к первоначальному виду.
С другой стороны, для частиц с то = 0 четырехкомпонентное уравнение Дирака разбивается на два независимых волновых уравнения. Для первого решения выбираем Е во з !Е1' (22. 4! ) т. е, будем считать, что частицы с положительной энергией е=1 (нейтрино) обладают левой спиральностью, а с отрицательной е = — 1 (антинейтрнно) — правой. Тогда для второго решения имеем Е зо = е = з )Е1' (22.42) т.
е., наоборот, частицы с положительной энергией е = 1 (нейтрино) должны обладать правой спиральностью, а с отрицательной (антинейтрнно) — левой. Соотношения (22.4!) и (22.42) остаются инвариантными относительно преобразований Лоренца. Это видно из равенств (22.20) и (22.21), где следует положить р, = 1 В связи с открытием явлений, известных под названием несонраненил четности, что оказалось связанным со спиральностаю нейтрино, Ли и Янг, а также Ландау предложили массу нейтрино положить равной нулю, а для его описания взять двух- компонентное уравнение Вейлзв 12' ж) Волновое уравнение длл нейтрино. Для описания движения частиц со спином, равным половине, и массой покои, равной нулю (нейтрино), можно использовать либо уравнение с двухрядными матрицами Паули (уравнение Вейля), либо уравнение Дирака, расщепляющееся на два независимых уравнения. В самом деле, как видно из (18.!), квадратный корень при то = 0 может быть извлечен с помощью двухрядных матриц Паули, и поэтому вместо уравнения Днрака можно написать уравнение с двухкомпонентной функцией ~р = ( ~' 1 (уравнение — (,) Вейля): Релятивистскля квАнтоаля мехАникА !ч.
м Неинвариантность уравнения Вейля относительно Р-преобразования они предложили скомпенсировать неинвариантностью относительно С-преобразовання (при переходе нейтрино к анти- нейтрино спиральность нейтрино должна измениться). Таким образом, уравнение Вейля должно остаться инвариантным относительно совместного СР-преобразования (комбинированная инверсия), а также Т-преобразования для того, чтобы выполнялзсь теорема Людерса — Паули (СРТ = сонэ!).
С другой стороны, для описания нейтрино можно также взять уравнение Дирака с массой покоя, равной нулю, и выделить в пем нейтрино определенной спиральности. Однако в четырех- компонентной теории наряду с одним решением (нейтрино — левовинтовое, антинейтрино — правовинтовое) имеется второе совершенно равноправное решение (нейтрино — правовинтовое, аптинейтрино — левовинтовое). Было бы весьма странным, если бы второе решение не имело никакого физического применения. Недавно наряду с электронным нейтрино (т.е.
нейтрино вылетает с позитроном, а антинейтриио — с электроном) было открыто второе, так называемое мюонное нейтрино, которое, повидимому, и описывается вторым решением уравнения Дирака. В этом случае с отрицательным мюоном должно вылетать правовинтовое нейтрино, а с электроном — правовинтовое анти- нейтрино.
По этой теории электроны (е-) и отрицательный мюон (р ) должны обладать различным лептонным зарядом (электрон — нейтринным; а отрицательный мюон — антинейтриниым), н поэтому распад !А-- е-+ у должен быть запрещенным. з) Вторичное квантование уравнения Дирака. Ограничимся рассмотрением случая свободного движения. В этом случае полное решение уравнения Дирака может быть записано в виде (см. (22.5)) ф(т, г)= —. ~~~ Ь(й, з, в)С(й, з, е)е ь"кты ' (22 43) Ь% где Ь(Ь, з, е) — матрицы (22.!2), удовлетворяющие условию нормировки Ь+(й, з', а')Ь(й, з, а)=б„б (22.44) а С(й, з, е) — амплитуды (не матрицы), квадраты модулей которых определяют вероятность нахождения частицы в состоянии (й, з, е). Если уравнение Дирака рассматривать как результат первого квантования, то ф(т,!) описывает состояния одной частицы, причем постоянные амплитуды С(Ф, з, е) являются обычными числами (с-числа), т.
е. должны коммутировать друг с другом. звт ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИРАКА % 22) Вычисляя средние значения по состоянию (22.43), мы получим; для функции Гамильтона и = ~ вг'вн2) вгх = ~ слеКс+с; (22.45) в. в. в для трехмерного импульса частиц 6= ') вр~р$Нвх= ~~ ЛйС~С; (22.46) для заряда частицы Я = е ~ вг+2) с(~х = е,) С+С; (22.47) Ф. в, в для проекции спина на направление импульса (см. (22.4)) 5 = ~ 2(2+ —. $д'х = ~~~ зС+С, (22.48) где (22.49) С=С(й, з, е).
При получении выражений (22.45) — (22.48) мы использовали решение (22.43) и учли соотношение 3 е2 (в-вч,(2, =б,б,б, = б,, Г (22,50) — г ') в2в2 взвз взвз аа > а также условие ортонормированности (22.44). Для вторичного квантования уравнения Дирака, т. е.
для описания системы с переменным числом частиц, мы, аналогично квантованию электромагнитного поля (см. $9), воспользуемся квантовыми скобками Пуассона (см. (6.45) ), которые имеют вид — 1сКеС = — (НС вЂ” СН), ! л (22.5!) где С'=С(й', з', е'). Для того чтобы удовлетворить соотношениям (22.51) н (22.52), мы должны написать следующие перестановочные т. е. — 1сКеС= — „— ~~~ сбе'К~(С'+А + СС'+) С'— в', в'. в' — С'+ (СС'+ С'С) 1, (22 52) РВлятиВистскАЕ кВАНТОВАя мехАникА' 388 соотношения: С"С+ сс'+ = бяв б„б„, С'С+ СС' = О, С'+С+ + С+С'+ = О, (22.53) т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
