Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 57
Текст из файла (страница 57)
*) Более подробно снз Соколов А, А., Тернов Н, М. Релятнвнстскнй влек. трон. — Мл Наука, 1974 г. Если мы выберем волновую функцию как сумму состояний, обладающих различной энергией (в том числе и отрицательной), то при вычислении средних значений временнйе члены исчезнут, так как оператор обобщенного спина коммутирует с гамильтонианом. Некоммутатнвность же друг с другом различных операторов, являющихся в то же время интегралами движения (т. е.
коммутирующими с гамильтонианом), говорит о том, что система является вырожденной (заданному импульсу и энергии могут соответствовать различные направления спина), н поэтому средине значения вектора ео зависят от различных комбинаций амплитуд С1 и С 1. Можно показать, что вектор ео является трехмерным единичным вектором, так как (зо)2 + (зо)2 + (ео)2 = =(С,"С,+С',С,)2=1, а его компоненты при лоренцевых поворотах преобразуются по закону ,о о о Е3 =ЗЗСОЗУ+ 8181П Уу ко о о .,о о (22.20) з1 =езсозу — езз1пу, зз =зз ввлятивистскля квднтовля мвххникх !ч.
и з4з где р, — р сов о рл/! — р, мя е соз у= в в з!п у=— В= /(!3, — рсозб)'+р'(1 — !1») з!и'6. я Здесь ср4 — — с — — скорость частицы в первоначальной системе К координат направлена по оси г, причем с8 — скорость штрихованной системы координат, составляющая с осью г угол О,— должна лежать в плоскости гх. Под зз следует понимать продольную составляющую спина относительно нового направления импульса. Отсюда видно, что трехмерный единичный вектор в результате лоренцевых преобразований остается трехмерным единичным вектором.
Определим спиралькогть, т.е, вращение вектора поляризации относительно импульса, когда зь = 1 (С, = 1, С , = О). В этом случае, как видно из (22.18), „ьф уоьф к у (22.21) (22.21а) Учитывая еще зависимость волновой функции от времени е-""', находим, что вращение будет совершаться в плоскости ху (от оси х к оси у), расположенной перпендикулярно к импульсу (ось г). Следовательно, в правой системе координат случай зь=1 описывает правовинтовую спиральность, а в левой системе координат — левовинтовую.
Этот результат является вполне естественным, так как в скалярном произведении зс= (з'йь) вектор й' — единичный полярный вектор импульса, а з" — единичный аксиальный вектор спина. При переходе от правой системы координат к левой направление йь изменяется на противоположное, а зь остается без изменения,т.е.в этом случае изменяется лишь математическая форма описания спиральности. Е = — сИС. (22.2!б) Заметим, что решения с отрицательной энергией являются характерными не только для теории Дирака — они должны появляться в любой релятивистской теории, включая датке классическую. В самом деле, в релятивистской механике энергия свободной частицы, как известно, связана с ее импульсом и массой в) Состояния с отрицательной энергией.
Диракозская теория «дырок». Открьятие позитрона. Наряду с состояниями с положительной энергией (е = 1) (см. решение (22.18)) теория Дирака допускает также решения, соответствующие отрицательным энергиям (е = — 1) 349 ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ РРйВНЕНИЯ ДИРйКй покоя соотношением, допускающим два равноправных решения: Е= ~ Ьгснрй+ т'с', причем две области значений энергии (положительных и отрицательных) оказываются разделенными интервалом 2тосй (рис.
22.1). Состояния, соответствующие отрицательной энергии, с первого взгляда кажутся нереальными, поскольку область отрица- Е тельных энергий простирается до бесконечности (Е = †), и поэто- еггг му не должно существовать наинизшего энергетического состояния. Е=~7 Зто означает, в частности, что ин -гггнаа одно из обычных состояний не может быть устойчивым, ибо всегда возможен спонтанный переход в бо- ЛЕЕ НИЗКОЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ СОСТОЯ- Рис.
224. Схема воамоинмх УРо. ние Кроме того частица с отрица вней энеРгии свобонной ниРановсной еастицм. тельной массой (отрицательной энергией) должна обладать рядом странных свойств: например, притягиваясь частицей с положительной массой, она должна отталкивать последнюю. В частности, при гипотетическом взаимодействии двух электронов, обладающих различным знаком массы, электрон с положительной массой должен «убегать», а электрон с отрицательной массой должен его «догонять», так чтобы центр тяжести (с учетом отрицательной массы) оставался неподвижным.
В классической физике состояния с отрицательной энергией вообще не имеет смысла рассматривать, ибо прн движении частицы ее энергия может изменяться только непрерывным образом и переходы из состояния с положительной энергией в состояния с отрицательной энергией, когда энергия меняется скачком на величину йЕ ) 2лйбсй, являются невозможными. Поэтому, исключив в начальный момент времени состояняя с отрицательной энергией, мы можем в дальнейшем их вообще не рассматривать. Совершенно иное положение в квантовой теории, согласно которой возможны переходы между состояниями не только непрерывного, но н дискретного спектра. Теперь состояния с отрицательной энергией не могут быть механически исключены, так как вероятность перехода между уровнями с энергией +пйбсй н — гпвсй оказывается отличной от нуля.
Чтобы избежать перехода электрона в состояние с отрицательной энергией, Дирак предложил (193! г.) считать все УРовни с отрицательной энергией заполненными электронами РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАР!ТОВАЯ МЕХАНИКА, зоо !ч. н (рис. 22.2), благодаря чему электроны с положительной энергией не могут в обычных условиях переходить на эти уровни. Допустим теперь, что гамма-квант с энергией Е ) 2лу,ск, действуя на электрон вакуума, т. е. на электрон с отрицательной энергией, переводит его в состояяие с положительной энергией. лглсл -лтлпр Рис.
22.2. Схема нулевого свето~и ин електрои-позитронного вакуума. Рис. 22.2. Схема образованна нары злектраи — познтрон. а «нулевой» заряд равен е„,= — д, ео я (22.23) Таким образом, когда реальная частица отсутствует, с точки зрения теории «дырок» это означает, что все состояния с поло-' жительной энергией свободны, а все состояния с отрицательной энергией заняты. Это состояние мы примем за нулевое состояние (рис. 22.2). В случае же перехода электрона из состояния с отрицательной энергией п в некоторое состояние с положительной энергией и+ общее изменение энергии системы глЕ=Е„+ ~~' ń— ~ Е„т, (22.24) л л В этом случае вместо поглощенного, например, ядром, гамма- кванта (рис.
22.3) появляются электрон с положительной энергией и одновременно «дырка» в фоне заполненных электронами отрицательных энергетических уровней. Решающий успех гипотезы Дирака заключается в том, что эту «дырку» он интерпретировал как частицу с положительной массой, равной массе электрона, но с зарядом, противоположным заряду электрона (позитрон).
Действительно, пусть в начальный момент частицы отсутствуют, тогда «нулевая» энергия фона Е.„равна сумме энергий электронов в отрицательных энергетических состояниях и Е„„= г Е„г, (22.22) л ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА а 221 ИЛИ ЬЕ=Е„~ — Е„=Е„+ ~Е„ (22.25) будет уже соответствовать сумме положительных энергий двух образующихся частиц*). Аналогичные рассуждения, проведенные в отношении заряда, показывают, что знак заряда одной из образовавшихся при этом частиц, соответствующей «дырке», противоположен знаку заряда электрона: т'«« е= — е — ~„ее+ ~', еа — — — е» + е, = — ео+ еа.
(22.26) т » » г) Понятие об электрон-позитронном вакууме, Формула (21.22) для лэмбовского сдвига уровней была получена в результате учета взаимодействия электронов с электромагнитным «) Штрих у символа суммы Д ) означает, что суммирование произ« ~одится по всем состояниям», за исключением состояния» =и, ") Заметим, что, используя методы квантовой теории поля, можно построить симметричную относительно знака заряда теорию электрон-позитронного вакуума, Однако даже с помощью данной, несимметричной относительно элекгронов и позитронов, теории (электрон — частица, позитрон — «дырка») удается весьма наглядно объяснить многие явления, связанные с превращением частиц, Таким образом, переход электрона из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией (очевидно, в результате поглощения гамма-кванта с энергией, большей чем 2птссз) ведет к рождению двух частиц.
В этом случае незаполненное состояние электрона с отрицательной энергией («дырка») может рассматриваться как состояние, занятое частицей с положительным зарядом +еа и положительной энергией '*). Такая частица, предсказанная Дираком, получила название позитрон и была открыта Андерсоном (1932) в составе космических лучей.
Теперь теория Дирака естественным образом включает в рассмотрение, наряду с электроном (частицей), позитрон (античастицу), волновая функция которого подчиняется уравнению Дирака с положительным значением энергии и положительным знаком заряда (см. ниже). Последняя теория не исключает возможности процесса, обратного только что рассмотренному: при наличии «дырки» электрон с полохсительной энергией может перейти на свободный уровень состояний с отрицательной энергией. В этом случае электрон и позитрон превращаются в гамма-кванты. Законы сохранения энергии и импульса, которые должны соблюдаться при этом превращении, требуют, чтобы число гамма-квантов было не менее двух. !ч и РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАИТОВАЯ МЕХАИИКА збз вакуумом, Но наряду с электромагнитным вакуумом существует электрон-позитронный вакуум и вакуум других частиц.
Метод вторичного квантования, являющийся в известной степени общим для всех полей, позволяет учесть влияние электрон-позитронного вакуума. В современной квантовой теории поля изучение свойств вакуума различных частиц играет исключительно важную роль. Вакуум обусловливает прежде всего взаимодействие между частицами. В частности, электромагнитное взаимодействие (закоя Кулона) можно рассматривать как результат взаимодействия между двумя зарядами через электромагнитный вакуум, когда один электрон испускает «псевдофотон», а другой его поглощает. Таким образом, электрическое поле представляет собой возбужденное состояние электромагнитного вакуума.
С другой стороны, вакуум представляет собой своеобразный резервуар, откуда «извлекаются» реальные частицы при их порождении и куда они «переходят» в результате аннигиляции. Электрон-позитронный вакуум по существу является знакомым нам фоном электронов в состояниях с отрицательной энергией. К сожалению, он не имеет классического аналога и поэтому не допускает полуклассической интерпретации, которая возможна в случае электромагнитного вакуума. Кулоновское поле ядра может поляризовать этот вакуум (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
