Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 52
Текст из файла (страница 52)
На больших атомных расстояниях (порядка )О-я и !О-а см) короткодействующее сильное взаимодействие обращается практически в нуль. (ч. и РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА З20 интерпретацию отдельных членов как результат проявления ре- лятивистских или спиновых свойств электрона. б) Учет релятивистских и спиновьгх эффектов, Как следует из 5 19 (см. (19.24) и (19.25)), волновая функция частицы с учетом спина имеет вид у! (20.2) Здесь уг — шаровой спннор, причем при 1' = !+ '/, спин па(л раллелен орбитальному моменту, а при ! = ! — '/з — антипараллелен; )чзг — радиальная часть волновой функции.
Хотя решение (20.2) формально относится к нулевому приближению, однако оно может быть использовано для определег о чз ния энергетических уровней с учетом членов порядка !ч — г), ко- С торые содержат спин-орбитальное взаимодействие пропорциональное (!.3) (см. (19.64)). Это.связано с тем обстоятельством, что с оператором спин- орбитального взаимодействия коммутирует лишь составляюгцая полного момента )з (см. (19.11) и (19.12)), а решение (202) как раз и является собственной функцией этого оператора е).
Поэтому решением (20.2) можно пользоваться, когда на атом не действуют еше какие-то внешние возмущающие силы, по порядку величины превышающие спин-орбитальные. Иначе спин- орбитальная связь, как говорят, рвется, и соотношение между шаровыми функциями, входящими в (20.2), должно быть установлено, исходя из новой постановки задачи. Шаровые спиноры, так же как и шаровые функции, удовлетворяют уравнению Ч~ Уьа = — 1(1 + 1) У/' (20.3) поэтому, учитывая равенство (10.21), для определения радиальной функпии в равенстве (20.2) находим то же самое уравнение, которое было установлено в нерелятивнстской теории Шредингера: г 2шоЕ~ 2гпо Хсо ((!+ !) т Г ') В связи с этим заметим, что решение в нулевом приближении мы могли бы выбрать также в виде ф т!ягуг (20.2а) где У'" — шаровая функция.
Однако выражение (20.2а) является собственной функцией оператора ! м который не коммутирует с оператором спин-орбнталь. ного взаимодействия. Позтому решение (20.2а) оказывается непригодным для вычасления тоакой структуры, обязанной, в частности, спин-орбитальному взаимодействнкь то1!КАя стРуктуРА спектРА зщ Волновая функция (20.2) полностью определяет правила отбора для всех квантовых чисел: правила отбора для квантовых чисел 1, 1 и т; задаются формулой (19.38), а правила отбора для главного квантового числа п, очевидно, будут такими же, как и в теории Шредингера (см.
(12.68)), Учитывая все это, приходим к следующим правилам отбора в теории водородоподобного атома с учетом спиновых эффектов: Л1=-~-1, Л1=0, ~1, Лт! —— О, ~1, (20.4) Ла — люоое целое число. В данной задаче, зная нулевое приближение волновой функции (20.2), а также дополнительную энергию взаимодействия, описываю!цую релятивистские (см. (19.59)) и спиновые (см. (19.64) и (!9.65)) эффекты, мы можем найти соответствующую поправку к энергии (20.1) нулевого приближения. Согласно формуле (19.59) релятивистская поправка к энергетическим уровням равна ЛЕР = — ~ (Ч™) Р Ч"! 'С( х. зиРс~ о (20.
5) В рассматриваемом случае (20.6) это дополнительное взаимодействие не зависит от сферических углов О,!р. Поэтому, учитывая, что при интегрировании по телесному углу ~,(12 (У!!!)+ У!л (20.7) = — — ИЕс)э+ 2Ес Хе!(г ') + Асе4(г-а)1= (20.8) сс ! т где а = — — — постоянная тонкой структуры. ас !37 !! А. А. Соын1св с АР, для дополнительной энергии, характеризующей релятивистские эффекты, получаем Релятз!вистскАя квАнтовАя мехАникА 1ч.
и 322 При выводе последней формулы мы воспользовались равен- ством (12.40а), согласно которому 2 ! 2зсА2 ( -'>= — — = —, а аз е аз о о Г 2 Хз 1 2А2'тз (г е) х ) ,, 1 + , — А , 1 +, Формула (20.8) точно совпадает с вьзражением для допол- нительной релятивистской энергии, которая была вычислена в том же приближении при помощи релятивистского уравнения Клейна — Гордона (см. (17,31) ).
Аналогичным способом с помощью формулы (19.64) найдем дополнительную энергию, обязанную спин-орбитальному взаимо- действию г ЬЕ' '= — (8.1,)(г '). ге 2азезсз Воспользовавшись далее для (г-') выражением (12.40а) г-3 ~2'~е 1 ( )-~ — а.~ ач(+А>1~+1) а для (ЗА) — выражениями (19.28) и (19.18а) 1 Ае (Зе.) = — з1 при 1Ф О, 0 при 1=0, получим для энергии (20.9) следующее значение: 2ае 10 1 У)0 ( 1) (20.10) В последних формулах при 1=1+ 1/м 4 = 10+ 1) — 1(1 + 1) — з (з + 1) = 4 — (1+ 1) р 1=1 — 'Й (20.1!) а величина 0 при 1МО, бзо = 1 при 1= О. (20.12) где ( Р(О) Г=Л'„(О) И"'УЙ (20.13) Наконеп, для энергии, соответствующей контактному взаимодействию, согласно (19.65) получаем ЬЕ"' = и — ! зР (0) 1, 2т с о ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПИ(ТРА 323 Принимая далее во внимание выражение для ! )хл! (О) ! = — об!о ( — ) (см.
(12.40)), а также, что 1 У! ~ = — „при 1= 0 и ) = !/з, на- П)з 1 ходим )„,(0)1 б! (2)' (20.14) т. е. (20.15) Отсюда для дополнительной энергии, в которой учтены релятивистские эффекты, а также спин-орбитальные и контактные взаимодействия, находим: бЕ Арво ) ДЕ«.-о. 1 ВЕ«онв 2«ао !" л 3 чл(1 — Ь!о) — +,,1(1+ У ) (!+1) п~!о~ Подставляя сюда значение о) из (20.! 1), имеем (20.!6) Учитывая оба результата (20.!) и (20.!6), получаем формулу тонкой структуры спектра водородоподобного атома Е,)=Е~~+ЬЕ 1= — —,(1+ — о(.+, — — )1. (20.17) Отсюда видно, что расщепление уровней пропорционально квадрату постоянной тонкой структуры. П р н меч а н не. Точное решение уравнения Днрака дает следующее об.
общение формулы (!7.30), учитывающей релятивистские эффекты, на случай наличия также н спина: ,„] тоао -ув Ел) глосо ! + я 1 — глосо. (20.17а) (и — ) — '/о+ Ч/()+ Уо)' — 2«ао) 1 ') Кстати заметим, что формула (20.13) для контактного взаимодействия может быть получена как предел выражения (20.!О) для спнн-орбнтального взаимодействия прн 1-»0, если в последнем отбросить множитель бм, огра. нвчнваоощнй его применимость. Поэтому многие авторы получают формулу тонкой структуры, совпадающую с (20.17) (см.
ниже), не вводя предположення о существовании контактного взаимодействия. Однако такое совпадение носит «случайный» характер, поскольку в числителе формулы (20.10) мы имеем для з.состояпнй всегда нуль, а в знаменателе нуль — только в нереля. тнвнстском приближении. В ряде другнх задач, например, прн наличии в атоме нескольких электронов, выражение для энергии, связанной с контактным взаимодействием, не может быть получено как частный случай спнн.орбнтзль.
ного взаимодействия. 11* (ч и РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХА!ИрКЛ 394 Формула (20.17) может быть получена из (20 17а), если последнюю разложить в ряд по ххах и ограничиться первыми двумя членами. Взяв минимальное значение 1 = '/х, мы найдем, что устойчивое движение в кулоновском поле точечного ядра согласно теории Дирака простирается до 3„ = 137, в то время как в теории Клейна — Гордона оно было ограничено 3нр = Чг.137 (см.
(17.33)). Такое увеличение Е„р связано с тем обстоятельством, что спиновые эффекты несколько компенсируют релятивистские. Таким образом, устойчивое состояние (включая наинизшее) электрона в кеэ 2 кулоновском поле р — (т, е. движение с отрипательной энергией г Е ( О) ограничено некоторым максимальным значением потенциаиьной энергии (3нр !37), что приводит к критической энергии Е„р = — гиосг. При 3 ) 3., в кулоновской потенциальной яме становится возможным появление электрон-позитронных пар (парадокс Клейна), и проблема одного тела теряет свой смысл. В связи с этим следует заметить, что мы сможем получить устойчивые связанные состояния (включая наиннзшее состояние) при любых энергиях, если поместям электроны в постоянное и однородное магнитное поле ').
в) Исследование тонкой структуры но теории Дирака. С уче- том тонкой структуры энергетические уровни атома водорода оказываются зависящими также от внут гугер .р„,* „„„„.„„;. С - ° . ствующие термы равны ку Енр! ге, гм,аг гг' ( г ( г)1 г.,гг и г Фею юе ру ур ° -*р д р! лишь от главного квантового числа а и а,у ур г.о ра тального же квантового числа 1, в протнРнс. 20 !. Схема анергегннесхнх уровней атома водо- Воположность бесспиновой теории Клей роза.
на — Гордона, тонкая структура уровней не зависит. Из приведенной на рис. 20.! схемы видно, что все термы являются двукратно расщеплен- ными, так как каждому значению 1 соответствуют два значе- ния 1; например, вместо одного терма 2р (1= !) имеем теперь два терма: 2р, и 2р,, Исключение представляют з-термы (1= 0), для которых 1 может принимать лишь одно значение (1= р/2).
Таким образом, учет релятивистских и спиновых эф- фектов несколько понижает, но не расщепляет з-термы (рис.20.!). Заметим, что благодаря расщеплению энергетических уров- ней кратность вырождения несколько изменяется. В самом деле, ') Более подробно смл Соколов А. Ао Тернов И. М. Релятивистский влектрон, — М.: Наука, 1974. ТОПКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА (линия слабой интенсивности, так как й1 = 0), оР~=(1з ) — (пр, ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
