Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Возводя обе части равенства (17.1) в (ч. и РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА квадрат, имеем: Ез — с'р' — ятзс' = О. а (17.3) Подставляя сюда значение операторов (17.2), мы найдем уравнение Клейна — Гордона для свободной частйцы *): (' '- А- ° стязЧ2 — 62 — — ягзс') 2Р = О. В12 е (17.4) При наличии электромагнитного поля вместо (17.2) следует под- ставить обобщенные операторы '*): Е- Р= — —.— — еФ, А В д1 (17.6) р Р= — Ч вЂ” — А. а е 1 с Тогда получаем релятивистское уравнение нри наличии иоля ~( — —, —, — еФ) — с' ( —,. 17 — —, А) — ягэс') тР = О.
(17.6) В отличие от уравнения Шредингера релятивистское волновое уравнение (17.6), так же как и классическое выражение (17.!), инвариантно относительно преобразований Лоренца, поскольку время и пространственные координаты входят формально в уравнение (17.6) на равных основаниях, и равенство (17.6) может быть записано в релятивистски инвариантной форме (Рг — Р' — ятэс ) 2Р = О, где р Р,= —. с б) Плотность заряда и плотность тока.
Выражение для плотности заряда и тока найдем для случая отсутствия электромагнитных полей (Ф = А = 0). В= тгс Р +тес +еФ или г=зг(сР +тес, 12 2 24 12 2 24 что и эквивалентно введению операторов (17.5). ') В уравнении (17Л) волновая функция ф зависит не только от радиус- вектора г, но и от времени 1. Однако читатель легко может сообразить, зависит ли волновая функция от 1 (например, в уравнении стоит производная по времени). Поэтому в дальнейшем зависимость ф от 1 мы, как правило, будем указывать только в том случае, когда это не является очевидным. '") В классическом случае при наличии поля вместо соотношения (17,!) находим: УРАВНЕНИЕ КЛЕННА ГОРДОНА 291 Так же как и в теории Шредингера, в основу вывода положим уравнение непрерывности б!У 1+ — = О, др дг = (17.7) замечаем, что они удовлетворяют уравнению непрерывности (17.7) и, кроме того, образуют четырехмерный вектор: (!7.!2) где х4 = (сй ?з — — 1ср.
(17.!3) Формула для плотности тока (17.1!) совпадает с нерелятивнсгской формулой (2.26). Плотность заряда переходит в нерелятивистское выражение при и «с (см. (2.26) ). Действительно, воспользовавшись заменой й — -~ Е (см. (17.4) ), с помощью д д1 (17.10) для плотности заряда получаем выражение (17.14) которое в нерелятивистском приближении Е ж трсх переходит в обычную формулу р = еф*ф. Однако в релятивистской теории возможно и второе решение с отрицательными значениями Е (Е ( 0).
Тогда для плотности р мы получим знак, противоположный а. Таким образом, релятивистское уравнение в принципе может описывать частицы не только с отрицательным, но и с положи- имеющее, как известно, релятивистски инвариантную форму. Умножая уравнение (17.4) слева на ф', а комплексно-сопряженное уравнение (аналогичное (17.4), но с заменой $ на ф') — на ф, и производя вычитание, получаем . д' ф'ЧЧр — фрзф" — —, (ф' —,, ф — ф —,, ф') = О. (17 8) Последнее равенство можно преобразовать к виду 0!У(ф Ягабф — ф Кгаб ф)+ —,, д! 1ф дг ф — ф д, ф'~ =О. * 1 1 д <, д д (1?.9) Определяя теперь плотность заряда и плотность тока соответственно выражениями ~= —,'" [ф"рф -(?ф') ф), (17.!1) РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [ч. и 292 тельным зарядом (например, заряженные пи-мезоны, к которым применимо это уравнение).
Понятие же плотности частиц (в отличие от плотности заряда) по = — = — Р~" — — — Ф1 е 2тосе 1. д1 (17.15) в общем случае теряет свой смысл, поскольку это выражение не является положительно определенной величиной в отличие от соответствующего выражения нерелятнвистской теории *) Ро=ту 4Р.
(17. 16) в) Релятивистская теория водородоподобного атома (без учета спина электрона), Эту задачу мы должны решать с помощью волнового уравнения (17.6), в котором следует положить хе~о А=О, еФ= У= — —. (17.17) г Тогда имеем Четй + —;аг ((Š— )г)в — тесе) тР = О, (17.18) Поскольку потенциальная энергия в последнем уравнении от времени не зависит, можно перейти к стационарному случаю, выделив нз обшей энергии, которую мы считаем положительной Е + тосе ) О, собственную энергию частицы тос'[ тР (г, 1) = тр (г) ехр ~- — „(Е + тос') 11.
(17.19) *! Г!онятие рр можно ввести лишь условно, например, для случая, когда имеются частицы только с положительной энергией. Далее, учитывая действие оператора энергии Етй (г, 1) = (Е+ тес') тр(г) ехр ~- — „(Е+ тес') 11, (17.20) приведем уравнение (17.18) к виду Ртй+ —,„, ~ ~Е+т с + — ~) — твс4~4Р=О. (17.21) Так же как и в теории Шредингера, решение последнего уравнения ищем в форме тР=)((г) У[ (О, [р). (17.22) Тогда для радиальной части получим уравнение: 5 !7! 293 УРАВНЕНИЕ ХЛЕПНА — ГОРДОНА (17.25) Решение последнего уравнения ищем в форме !Гз = Сг'.
Тогда для определения з получаем уравнение з(з+ 1) — !(!+ 1)+ 22а2= О (17.26) с решением Й 2 /2~1(!+ /2) В этом случае Яз = С,гп + С,г'ч Если Яа ('/2, (17.27) (17.28) то оба корня з, и 22 при любых значениях !=О, 1, 2,, будут вещественными величинами и мы можем ограничиться решением 2!о, для которого г!(2 не расходится в нуле, т. е. можем положить С2 = О.
Кроме того, при Е (О (когда А ) О) в выражении для волновой функции при à — со следует ограничиться экспоненциально убывающим решением. Здесь а= — „— — является безразмерной величиной, поЛучившей название постоянной тонкой структуры; А= — „", ~1-(!+ —,,)~, в= — '„,' ~! + —,,1. При с2 — 2. ОО последние выражения точно переходят в соответствующие выражения нерелятивистской теории (см. 5 !2). Несколько уточненные (путем учета релятивистских эффектов) значения для постоянных А и В не могут каким-либо обрззом сказаться на характере решении релятивистского волнового уравнения по сравнению с решением уравнения Шредингера.
72а2 Появление же в уравнении (17.23) дополнительного члена можно формально рассматривать как введение дополнительной релятивистской потенциальной энергии притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния, которая может прн некоторых условиях изменить характер решения, что будет более подробно проанализировано ниже.
Прежде всего исследуем асимптотическое решение !Га при г -2- О. В этом случае уравнение (17.23) принимает вид ! и (Гп,) Г(!+ — г2а2 ЛГ2 Г2 )Г = О. о— РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1ч. и (17.31) Сравнение результатов с данными эксперимента показывает, что истинная величина расщепления для серии Бальмера оказывается примерно в три раза меньшей, чем это следует из формулы (!7.32). Причина этого противоречия заключается в том, что тонкая структура уровней атома водорода не исчерпывается релятивистской зависимостью массы от скорости. Как будет показано ниже, при этом следует учитывать также и спин электрона, т.е.
собственный механический момент. Вначале предполагалось, что уравнение Клейна — Гордона пригодно для описания релятивистского электрона. Однако это — уравнение движения частицы со спином, равным нулю, в то время как спин электронов оказался равным 1/ь Уравнение Клейна — Гордона, Ограничение с обеих сторон убывающими решениями дает для определении спектра энергии такое же выражение, какое было получено по теории Шредингера (см. уравнение (12.32), если в последнем 1 заменить на з1). Тогда для определения собственных значений будем иметь уравнение — =и, + 1/1+ 1/(1+ 1/1)' — 2'а'.
(17.29) ч/Л Подставляя сюда вместо постоянных В и А их релятивистские значения (17.24), получаем (и = и, + 1+ 1) ААаА ф ~д Е, —— ,И[1-~-,] —,'. Я730) 1, .~- ч, .~. ~Р .~- ър — ею ' Разлагая последнее выражение в ряд по Л'и' и оставляя первые два не обращающиеся в нуль члена, находим спектр энергии Первый член совпадает с соответствующим выражением нерелятивистской теории; второй член, пропорциональный квадрату постоянной тонкой структуры а яв 1/!37, дает релятивистские поправки.
Учет релятивистских поправок для атома водорода (2 = 1) интересен в том отношении, что он снимает вырождение по 1, благодаря чему уровни с заданным значением и расщепляются на и близких (ввиду малости аэ) подуровней, поскольку орбитальное квантовое число 1 может принимать и значений (! = О, 1,2,..., л — 1). Для сравнения с экспериментом можно рассчитать дублетное расщепление для серии Бальмера (и = 2). Для величины этого расщепления с помощью (!7.31) получим А =3 16 (17.32) й !а! УРАВНЕНИЕ РИРАКА по-видимому применимо для пи-мезонов — частиц со спином, равным нулю.
Оно, в частности, может описывать движение отрицательных пи-мезонов вокруг ядра. Подобные так называемые пи-мезоатомы уже получены экспериментально. Пр н меч а н пе. Наконец, рассмотрим другой случай, когда в уравненнн (17.27) й !8. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА Как было указано в предыдущем параграфе, в основе построения квантовой релятивистской механики лежит известное релятивистское соотношение между энергией Е, импульсом Р н массой покоя частиц то (см. (17.1) ).
Для того чтобы избавиться от квадратного корня, можно обе части равенства возвести в квадрат. Этим способом было получено уравнение Клейна — Гордона, которое описывает движение бесспиновых частиц. Поэтому оно не применимо к электронам, спин которых равен '/т (в единицах Й). Другой путь был предложен Дираком в 1928 г. Он сводится к «линеаризации» соотношения (17.1). Это привело к открытию релятивистского волнового уравнения для электрона со спииом '/э.
Следует заметить, что после уравнений классической электродинамики Максвелла — Лоренца следующий важный этап развития учения об электроне связан с уравнением Дирака. Нерелятивистская квантовая механика Шредингера и уравнение Паули могут быть получены как некоторые приближения уравнения Дирака. а) «Линеаризация» оператора энергии.
Для «линеаризации» релятивистского соотношения между энергией и импульсом или «извлечения» квадратного корня из четырехчлена представим (17.1) в следующем виде: з Е=сч,/Рт+ттст =с 2 а„р„, а о (18.1) где Ро = пгос~ Р! = Р» Рт = Рп Рэ = Рз (18,2) ха> Чз. (!7.33) Прн этом появляется принципиально новое решение. В самом деле, когда ! = О, оба корня з, и з, становятся комплексными, и поэтому аснмптотнческое решение (17.28) принимает впд Л»- — '(С,г'т+ С,г-'т), «/г »2~ !.М ( у уу " С О нлп С1 О, так нак оба решеннв имеют одинаковую сннгулярность прп г-»О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
