Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(12.12) ): и! С,г'+'+ Сог '. »»о Исключим неограниченно возрастающее при г = 0 решение, полагая Со = О, и выберем С! = 1, тогда и! г'+', г-»0. (15.2) НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 262 Будем считать, что величина ! может принимать также и про- извольные комплексные значения, тогда выделить второе реше- ние на фоне первого можно только, если Ке (! + 1) > Ке ( — !), где Ке — действительная часть, т. е. Ке (1+ сст) > О. (15.3) ссси — „'+й'ис=О КсА (15.4) Обсцее решение этого уравнения и, — с,(йэ)а-сАТ 1,,(ьэ) мТ Г+ (15.5) описывает асимптотическое поведение любого решения уравнения (15.1) и, в частности, искомого, удовлетворяющего граничному условию (15.2).
При этом считается, что поле к'(г) убывает на бесконечности быстрее кулоновского. Поскольку уравнение (15.1) и граничное условие (15.2) содержат зависимость от параметра ! аналитическим образом, то решение ис(г) также должно быть аналитической функцией переменной !. При вещественном ! и й') О из вещественности функции ис следует, что А =7с. (15.6) Если же ! комплексно, то из условия (15.2) получаем и,.
(г) = и', (г), (15.7) и поэтому в случае Сст > О соотношение (15.6) заменяется следующим: ас. = 7,*. (15.8) Если же Ке(!+ с/В)(О, то второе решение убывает быстрее первого и его всегда можно добавить к первому, не изменяя характера асимптотического поведения функции ис при малых г. Ясно, что в этом случае теряется однозначность выбора решения. Итак, уравнение (15.1) и граничное условие (15.2) с учетом (15.3) определяют функцию ис единственным образом. Рассмотрим теперь асимптотическое поведение ис при больших значениях г. При г-«оо потенциал У(г) -«О и в уравнении (15.1) можно пренебречь членами, пропорциональными !с(г) и 1(1+ 1)/гт, тогда мвтод гаджи в твовин влссвяния 263 При этом необходимо отметить, что для комплексных значений 1 фаза 5] уже не будет вещественной.
Сравнивая (15.9) с (15.5), для функции 5] — — е (15. 10) входящей в разложение (14.33) амплитуды рассеяния 1(О) по парциальным волнам, получим следующее выражение: 5]=е ]= — — е мв е] ил \ (15.11) определяющее аналитическое продолжение функции 5с на комплексную область переменной 1. Учитывая связь (15.8) при комплексных 1, вместо условия ( 5] ']э = 1 будем иметь 5]5] = 1. (15.12) Функция и](г), а вместе с ней 1] и й] представляют собой, как уже отмечалось, аналитические функции 1 в полуплоскости Ке1) — '/ь Поэтому функция 5] в этой же области не может иметь никаких особенностей, кроме полюсов в тех точках, где 1] обращается в нуль: 1, (йэ) = О. (15.
13) Решения этого уравнения будем нумеровать индексом й 1 = а, (я~). (15.14) Полюсы функции 5~ в комплексной 1-плоскости обычно называются полюсами Редже. Функции а](яэ), определяющие движение полюсов Редже в 1-плоскости при изменении энергии, называются траекториями Редже. Покажем теперь, что при я~ ) О полюсы Редже расположены в верхней полуплоскости 1гп1) О. Для этого запишем уравне. нне (15.1) и аналогичное уравнение с комплексно-сопряженным значением 1. Умножив первое уравнение на и„, а второе на иь вычтем одно из другого: и,— — и] — „,* =(1 — 1)(1+1 + 1) „а ° (15 !5) С другой стороны, согласно полученному ранее выражению (14.32) функцию и] = г)с] при г-~ оо можно записать в виде я] и] (г)=С] з]п ]гяг — — + Ь,) = Г+В 2 С] -]ми+]а] г -мг -ы]+ам] мт) (15 9) = — — е 2] ]]е — е е НЕРВЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !ч. ! Проинтегрируем зто равенство по г в пределах от О до оо, учи- тывая, что Подстановка нижнего предела г О, благодаря условию Йе 1 ) †'/В дает нуль, а на верхнем пределе подставляем асимптотическое выражение (15.5) ея! Ягн и! — — и, — = 2!й (й,~„— д!„~!).
Лг ! ог Принимая во внимание соотношение (15.7), в результате находим Ю 21т1 ° Ке(1+ '!!) ~ -+-йг= й (д,~,. — д!.1!) (15.16) о Интеграл в левой части равенства сходится, так как на нижнем пределе согласно (15.2) и (15.3) имеем — ж г!', Йе21 ) — 1, г! а на верхнем пределе и~ при йэ ) О осциллирует по закону (15.5) . Пусть 1 лежит на траектории Редже 1= а!(й!) прн йэ ) О, т. е.
Е ) О, что соответствует несвязанным состояниям в задаче о рассеянии. Тогда, вспоминая равенство (15.8) и принимая во внимание, что на траекториях Редже ~~ О, получим 2 1!и 1 )те (1+ '/!) ~ — е(г = й ~ д, !'. (15,17) Г1,!! о Отсюда, очевидно, следует неравенсгво 1гп1) О, если й ) О и йе1) — '/В Рассмотрим теперь траектории Редже в области отрицательных энергий Е ( О, когда йэ ( О и следует положить й=!к, к > О. (15.! 8) В этом случае вместо решения (15.5) будем иметь при г — «оо и! (г) =д!( — кэ)е "г+1!(-кэ)е"'.
(15.19) г"«со На траектории Редже 1 = а;( — к!) коэффициент ~~( — к!) = О, поэтому зкспоненцнально возрастающее решение отсутствует н метод гаджа в твояии гхссвяния остается только затухающее при г-~- оо решение и,(т)=д~е '". Г-+а (15.20) Условие (15.7) при й=1х (х) 0) дает ~*=С и тогда из соотношения (15.16), в котором сходимость интеграла очевидна из равенства (15.20), следует 1ш1= О, т. е. в этом случае полюсы Редже лежат на вещественной оси. При изменении вдоль вещественной оси величина 1=си( — х~) может принимать физические значения, т.е.
равняться целому неотрицательному числу 1=а,( — х) =О, 1, 2, ... (15.21) При этих значениях 1 функции и~(г) описывает связанные состояния системы, затухающие на бесконечности согласно (15.20)' и отвечающие дискретным уровням энергии Е(0, которые определяются из уравнения (15.21).
На одной траектории с номером 1 может лежать несколько связанных состояний, отвечающих значениям 1= 0, 1, 2, ... Они образуют семейство, характеризуемое квантовым числом й Полученные таким образом уровни энергии системы должны совпадать со спектром энергии, задаваемым решением уравнения Шредингера. Рассмотрим в качестве примера кулоновское поле, в котором, как было показано выше (см. (14.88)): ГО+1+М Г О+! — ет) ' где у=ЕЕ'е~и /йэй.
Как известно, гамма-функция обращается в нуль, когда ее аргумент равен целому отрицательному числу или нулю. Поэтому полюсы функции (15.22) будут лежать на траекториях 1+ 1 — 1у= — п,=О, — 1, — 2, ... (15.23) Как видно, на каждой траектории Редже имеется бесконечное число связанных состояний, которые характеризуются общим квантовым числом по т.
е. числом нулей радиальной функции Иь и разными значениями 1, так что при 1 = О, 1, 2, ... находим и, + 1+ 1 = л = 1, 2, 3, ... Пусть заряд ядра Е ) О, а заряд частицы Г ° — 1 (электрон). Поскольку / зтод й=! у —— $ ° а !Ч. 4 НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА то из уравнения (15.23) получаем энергетический спектр водородоподобного атома (12.41) г«о о о 4 2В'н' ' Таким образом, наряду с уравнением Шредингера мы получаем эквивалентный ему способ описания стационарных связанных состояний по траекториям Редже.
б) Резонансы. Заметим, что, помимо связанных состояний, полюсы Редже могут определять и так называемые квазистационарные состояния, или резонансы. Им отвечают комплексные значения «энергии» оказывается экспоненциально убываюгцим с течением времени (см. также $ 5, формула (5.130) ). При этом в асимптотическом при г — оо решении остается только расходящаяся волна Мг I 2Р4оЕ н=.тг ГФс '~/ Ао что как раз и соответствует тому, что в результате распада часгица уходит на бесконечность. Для того чтобы определить постоянную распада Л, предположим, что траектория Редже проходит недалеко от действительной оси рядом с физическим значением момента 6 — целым и положительным: а (Ео) = 1о = 1! + 4'1п (! 5.25) где 14 = Ре и(Ео) = О, 1, 2, ..., а мнимая добавка (п, согласно доказанному выше, положительна (1и ) 0) и при этом 1п « 1.
Тогда вблизи полюса 1о имеем разложение 1, (Е) ж ® (1 — 1о) + ( ') (Š— Ео). На траектории Редже ~, (Е,) =О, очевидно, (,Н ) с(1 + (ЕЕ) 44Е=-О, (15,26) т. е. Е = Ео — 4йЛ/2, (15.24) где Ео > О, а малая величина Л > 0 равняется вероятности распада резонанса, поскольку квадрат модуля волновой функции, Равный веРоЯтности исходного состоЯниЯ 4ео. 4ео = ! Ф )о = сопз1 е-ы 267 атом в млгнитном поло. Тогда в гочках 1 = 5 = О, 1, 2,... имеем )~ (Е) =(дЕ) ~Š— Ео+ 1174 дЕ Л ' (15.27) Как видно из этого соотношения, нулям функции )~(Е) соответствуют комплексные значения энергии вида (15.24), причем величина Х равняется '= ~"( — ':) (! 5.28) й 1а. АтОм В мАГнитнОм пОле Напишем уравнение Шредингера при наличии не только статического электрического поля (скалярный потенциал Ф), но и статического магнитного поля (вектор-потенциал А).
При этом будем исходить из классического выражения для энергии ро Е= — +еФ, 2мо (16.1) где Р = р — — А е е (16.2) — кинетический импульс. Для того чтобы сделать переход к квантовому уравнению, мы должны, как обычно, в (16.1) вместо импульса р подставить оператор р-~р= — ИЧ Для того чтобы состояние было затухающим во времени, производная да/дЕо должна быть положительной. Таким образом, траектория Редже, проходя через положительные целые значения 1 на вещественной оси при отрицательных значениях энергии, определяет связанные состояния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
