Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(14.!5) ): [ (б) = — — „,' ~ г з! и нт ° У (г) Йг. (14.39) г) Рассеяние потенциальным барьером. Исследуем рассеяние частиц сферически-симметричным прямоугольным потенциальным барьером, когда потенциальная энергия изменяется по закону: (то пРи г(а, О при г>а. (14.40) )!= — ' » 2па. 2н А (14 41) Этот пример имеет большое методическое значение, так как он допускает точные решения и позволяет выйти за рамки борновского приближения. Конкретно теория рассеяния потенциальным барьером находит свое применение в ядерной физике. При не слишком высоких энергиях результаты исследования с короткодействующими ядерными силами практически не зависят от формы потенциального барьера и в основном зависят от его высоты (т.е.
Ро) и радиуса действия (т. е. расстояния а). Поскольку прямоугольный потенциальный барьер (или потенциальная яма) представляет собой простейшее описание короткодействующих сил, то, естественно, им и следует аппроксимировать ядерные силы. Исследуем случай, когда йа «1. Физически он означает, что дебройлевская длина волны много больше радиуса потенциального барьера % и! УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 25! где Ао 3 (14.44) Отсюда видно, что основной вклад вносит з-волна (1= 0). Парцнальные волны с 1=! (р-волна), 1= 2 (о(-волна) и т. д.
дают вклад, примерно в (Йа)" меньший по сравнению с бо, и поэтому в первом приближении ими можно вообще пренебречь. Эффективное сечение, которое дает з-волна, согласно (14.35) равно !В„мо!гово 'Го = ва4 (14.45) Оно фактически и определяет полное эффективное сечение. Аналогичный результат мы получим, если вычислим о в борновском приближении с помощью формулы (14.12). Наконец, найдем фазу рассеяния из точных уравнений. При этом мы ограничимся вычислением фазы для з-волны (1 = 0), которая, как было указано выше, дает при еа « 1 основной вклад в эффективное сечение. Согласно (1!.53) для радиальных функций при наличии потенциальной энергии (14.40) имеем уравнения: и" + й'и = 0 при г ) а, ~о и" — х и=О при г <а, (14.
46) где и = г)7о, й' = †,' Е, х' = †,,' (!го — Е) = х' — ео. (14.47) Кроме того, мы введем условие, что "о) Е) О. Решение уравнений (14.46) можем записать в виде и=Аз!п(йг+5) при г)а, и = В з(т х'г при г< а. (14.49) Решения выбраны таким образом, чтобы функция и при г-ьО обратилась в нуль. Прежде всего с помощью приближенной формулы (1!.60) найдем фазу бо рассеяния в зависнмости от 1. Прн малых значениях аг < йа функцию Бесселя, входящую в (11.60), мы можем представить в виде ге, ~с+ ь ! /е (Ат)оыьеГп У!+м(хг) ~ — г! 1,! +, 1 = у — „! + . (!4.42) Тогда для фазы Ь, находим з г е'и ош+3 ~(ш+!)!) ( (! 4.43) нерелятинистскАя квантовАя мехАникА 1ч.
1 2б2 Приравнивая на границе области г = а волновые функции и их производные, легко сможем найти искомую з-фазу бо — — агс(и 1ч —,1)1 х а) — йа. г'йа ~ Ъ ч х'а (14.50) Последнее выражение мы можем упростить при ха» йа ()го» Е)' божйа( — „, — 1). (14.50а) где 2шо$'0 ха= чг — Аг — а. (14.51) Подставляя (14.50а) в (14.35а) и учитывая, что при йа (( 1 основной вклад дает з-рассеяние, найдем следующее выражение для эффективного сечения: ао=4хал( —,— 1) . (14.52) В случае можно положить (14.53) — ж 1 — — (ха) . 1'н ха 1 ха з Тогда, подставляя последнее выражение в (14.52), найдем эффективное сечение для оо, соответствующее борновскому приближению (см. (14.45) ).
При ха» 1 (например Уо-~ со) эффективное сечение (14.52) достигает своего максимального значения и становится равным (см. также (14.16)) с'о = 4яаз, (14.54) т. е. эффективное сечение в четыре раза превышает классическое значение, равное площади поперечного сечения, образуемого сферическим потенциальным барьером (о„=паз). Причина этого, на первый взгляд парадоксального, результата заключается в том, что рассеяние следует учитывать дважды: первый раз — непроницаемой сферой (классический результат); второй раз — в теневой области, возникающей благодаря тому, что рассеивающая сфера вырезает в пучке падающих частиц цилиндр с основанием наз и нарушает равномерность распространения плоской волны. Если бы рассеивались классические частицы, то после прохождения сферы они продолжали бы двигаться равномерно и прямолинейно, оставляя пустым это цилиндрическое пространство.
Волны же так распространяться не могут. Они частично начнут заполнять это пространство (дифракция), благодаря чему будет происходить новое их рассеяние. Это и увеличивает значение эффективного сечения. $ 14! нпртгов рассеянии частиц силовым цвптром 253 Дифра кционные явлания сохраняются и при больш нх энергиях )га л 1 ( а - О), приводя при учете всех и арцнальных составлявших к удвоенному, по сравнению с классическим, сечению рассеяния а = 2на'.
Выражение (14.54) не может быть получено в борновском приближении. Отсюда мы получаем критерий применимости бор- новского приближения 2нга)гана ха « 1, или — „, « 1, который для случая йа « 1 совпадает с соответствующим выра- жением, полученным нами выше (см. (14.28)). Последние формулы легко обобщить на случай рассеяния прямоугольной потенциальной сферически-симметричной ямой. В этом случае в формуле (14.40) следует сделать замену ко-ь — 'ко.
Если производить вычисления в борновском приближении, то мы получим результат (14.45), поскольку квадрат 1го при такой замене остается без изменения. Если производить расчет при больших значениях Уо, то при изменении знака у то мы должны в формуле (14.50) 'сделать ЗаМЕНУ Х-ь. 1'Х. Тогда для определения нулевой фазы вместо (14.50) находим выражение бо — — агс1п ( — ", 1а х'а) — йа, (14.55) где х"= — '(1' +Е)=х'+ йа аа Сопоставляя формулы (14.55) и (14.50), мы видим, что в области малых значений х'а получим одинаковые значения фаз, а вместе с тем и эффективных сечений.
При возрастании )го (а также х'а) в случае потенциального П1 н'а барьера величина —, монотонно убывает, в то время как соответствующая величина в случае потенциальной ямы 12 н'а н'а начинает изменяться периодически в пределах от 0 до со. В части и ности, при х а = — фаза обращается в — (з)п Ьо = 1), а для эффективного сечения (14.35), соответствующего з-волне, мы получаем резонансное значение 4наа ос= —, йааа которое при йа « 1 во много раз превышает классическое эффективное сечение.
Аналогичные резонансы должны иметь место при рассеянии других гармоник. Однако более детальные вычисления мы здесь опускаем. Основные особенности, которые на этом простом примере были нами установлены, в качественном нвгелятивистскля квантовая маханиях <ч. к отношении должны проявляться при рассеянии и от потенциалов других короткодействующих сил. д) Рассеяние в кулоновском поле. Рассмотрим теперь рассеяние потока частиц с зарядом Геэ в поле ядра с зарядом 2ео Энергия взаимодействия в этом случае определяется законом Кулона ~~ ~о $'(г) = (14Л6) Этот потенциал, в отличие от короткодействующих потенциалов типа потенциала Юкавы (14.17), слабо убывает с расстоянием г, что приводит, как мы увидим ниже, к существенным особенностям в поведении волновой функции в асимптотической области больших г. Задаче о рассеянии в кулоновском поле (14.56) в классическом случае соответствуют гиперболические орбиты и, соответственно, положительные значения энергии частицы Е ) О.
В квантовой механике эта задача, так же как и проблема Кеплера для Е ( О (см. 5 12), может быть решена точно. Поскольку рассеяние предполагает аксиальную симметрию относительно направления падающих частиц (ось г), то удобнее перейти от сферических координат г, О, у к параболическим $=г+г=г(1+ созб), и = г — г = г (1 — соз 6), ~р = агс1д —, у х ' в которых, как было показано в $13, уравнение Шредингера в случае кулоновского поля также допускает разделение переменных. Для аксиально-симметричного решения уравнения Шредингера угловая часть волновой функции Ф(~р) не должна зависеть от ~р, и поэтому мы положим Ф (<р) = сопз1 = 1, (14.59) — „'", (~-ф-)+~ — ", ~+Вф=о, НЧ (41 лп ) + ~ 4 11 + Вя1 (Я вЂ” — О.
(14.60) и, таким образом, полная волновая функция ~Р может быть представлена в виде произведения ф=1~6)1 (Ч), где функции 71($) и ~э(ч) удовлетворяют уравнениям УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 255 $ и] (14.61) Будем искать частное решение уравнений (14.60), которое для волновой функции ф (14.69) при г-4- — оо обеспечивает следующее асимптотическое поведение: ф е4А', г — — оо, (14.62) что соответствует плоской волне, падающей из бесконечности в положительном направлении оси г на кулоновский центр. В параболических координатах это условие примет вид ф е'А 44-'"~' (14.63) при т! — оо и произвольных значениях $.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
