Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Как известно, введение спина связано с введением четвертого кван- тового числа, которое должно характеризовать внутренние свой- ства электрона. Волновая функция ф частицы может зависеть только от трех квантовых чисел, соответствующих квантованию трех пространственных координат. Для описания спина и вве- дения четвертого квантового числа Паули вводит вместо одной волновой функции ф две волновые функции % и Чгь В этом слу- чае одна волновая функция будет описывать состояние с одним направлением спина, а другая — с противоположным; само же волновое уравнение должно представлять собой систему двух уравнений.
Как известно, система двух уравнений, например анЧ'~+ амЧ'а=О, амЧ'~ + амЧ"з = О, может быть представлена одним уравнением в матричной записи: негелятивнстскхя квлнтовАЯ мвхАннкА 274 !ч. ! Паули предложил выбрать волновую функцию Ч' в виде матриг ч', т цы с одним столбцом Ч'= ~ ч, ). а собственный магнитный момент электрона положить равным !4 = — роа (16.25) где р4 — магнетон Бора, а' — три двухрядных матрицы Паули а! = ( ! о ) ' а! = (! о ) ' аз = ( о ! ) ' (16.26) которые будем обозначать буквой а,' (той же буквой без штриха описываются четырехрядные матрицы Днрака). Матрицы (16.26) характернзу!от проекции вектора спина на оси координат.
Используя правила умножения матриц (16.24), легко показать, что матрицы Паули обладают следующими свойствами. 1) Квадрат каждой матрицы равен единице: (16.27) о,о' = — о'а' = !а„ 2 ! а~а~ = — а!а~ = !а!, / / а!а! а аз ! з (16.28) Учитывая значения матриц, нерелятнвнстское уравнение Паули можно представить в виде ((Š— Н )(,' ',) — 4(',,'17б.+(',,')М,+ + ( о, ) Уе,1 ~ (,„' ) = О.
(16.29) Это матричное уравнение эквивалентно системе двух обычных уравнений: (Š— Н вЂ” р4Мя) % — ро (Як — !'Иу) Ч!! = О (16.30) (Š— Н + роМ.) Ч'! — 144(Мх+ !Мт) ту! = О. В частности, рассмотрим случай движения электрона в магнитном поле, направленном по оси г (Ж = М! — — О, М, = 7а). Учитывая прн этом гамильтониан уравнения Шредингера при наличии магнитного поля (16.8), находим для описания движе- где через 7 обозначена двухрядная единичная матрица ~ / г! ох ~о 1). 2) Различные матрицы антикоммутируют друг с другом, причем 275 атом в могннтном поле % !о! ния электрона два уравнения: Р' ~ Е + еоФ вЂ” !срЯт — !соЗП вЂ” 2, ~ Ч', = О, (16.31) (Е+ еоФ вЂ” !соМт+ !соМ вЂ” Р ~~ Ч'о =О 2осо > где энергии роют и ~-1срЯ характеризуют соответственно взаимодействие орбитального и спииового моментов с магнитным полем М.
В частности, для з-состояний магнитное квантовое число т равно нулю, и поэтому уравнение Паули принимает вид рр (Е + еоФ = !соМ вЂ” — ) Ч"! = О (16.32) (Е + еоФ + РоМ вЂ” 2, ) Ч"р = О. т. е. волновая функция Ч'! описывает состояние, в котором собственный механический момент электрона (т.
е. спин) направлен по оси г, а волновая функция Ч'о — против оси г. Эти две возможные ориентации собственного магнитного момента, направленного антнпараллельно механическому, и наблюдались в опытах Штерна и Герлаха. В качестве функции Ч"+ Паули предложил выбрать так называемую эрмитово сопряженную волновую функцию, т.е, матрицу Ч' = (%, Чгр), элементы которой не только комплексно сопряжены, но и транспонированы, т.
е. строки заменены столбцамн. Иначе говоря, если Чг есть матрица — столбец, то Ч"+ будет матрицей — строкой с комплексно сопряженными элементами. Тогда для плотности вероятности будем иметь выражение Ч'+~=(Чг!Чг) (,р') =%%+%%, (16,33) в котором учтена возможность двух направленвй спина. Аналогичным образом должны образовываться и другие мат- ричные элементы. Например, Ч'+озЧ" = (Чс!'Рр) (Π— 1 ) ( с ) Чс!% — ЧгрЧгр, (16.34) т. е. Ч"!Ч"! и ЧсрЧгр характеризуют плотности вероятности состояний, в которых электрон имеет ориентацию спина соответственно по и против оси г. Зная выражение для собственного магнитного момента в теории Паули ера !а= — — 'н' 2щос негелятивистскАя кВАнтОВАя мехАникА ята т.
е. в согласии с другими опытными фактами проекция механического момента на ось г равна ~Й/2. Поскольку оператор спина выражается через матрицы Паули, его составляющие не должны коммутировать между собой, и для них с помощью равенств (16.28) и (16.35) можно найти перестановочные соотношения: ~е~е ~РЗ» 138ею З,~е — 8.3е=уйЗе. Зе3х — ЗАФе = 13ЗР. (16.36) Следует указать, что аналогичные перестановочные соотношения были установлены для составляющих орбитального момента (см. (10.75) и (10.76)), которые были операторами, составленными из производных. Заметим также, что в теории Паули абсолютное значение собственных механического и магнитного моментов вводится по существу эмпирически.
г) Разделение слиноеых и координатных функций. Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле ер". Покажем, что в этом случае решение уравнения Паули распадается на произведение координатной и спинозой частей. Для этого решение ищем в виде (16.37) Тогда легко показать, что «координатная» часть волновой функции ф(г,1) удовлетворяет обычному уравнению Шредингера, не учитывающему спин 1н дФ(г, 0 = Ншф(г 1) (16.38) а спиновая часть волновой функции может быть найдена из уравнения Вд (О'( )=РР(~'Ф)(,'(,)).
(16.30) а также соотношение между собственными магнитным и механическим моментами, которое следует из экспериментов Эйнштейна — де Гааза )р~ — — 8 ео жее находим, что В (16.35) АтОм В мАГнитнОм пОле $1В1 Нормировка спиновой части волновой функции будет (С1СВ) ( ) =С~С1+ СВСВ= 1. (16.40) В случае постоянного во времени магнитного поля в последних уравнениях легко вычислить еще и временную часть. Для этого следует положить (16.41) ( \ ~ ) Е А ( ~ 1 т ( 1 ) (16.42) Тогда для определения не зависящих от времени частей волновой функции, а также энергии Е, имеем (Š— Е,) 9 = Нш1р, (16.43) (16.44) Далее найдем собственные значения проекции спинового момента, если ось г направлена по магнитному полю. Тогда исходное уравнение принимает вид (16.45) где (16.46) Матричное уравнение (16.45) эквивалентно двум однородным алгебраическим уравнениям 1 — С, — ДС,=0, — С +КС =0.
1 (16.47) Нормированные решения этих уравнений имеют вид х= ~, С(я) (о) и Д= я ' С( — я) =( ). (1648) Первое, очевидно, соответствует случаю, когда спин направлен по оси г, второе — случаю, когда спин направлен против оси а. Согласно (16.44) энергия для обоих состояний соответственно равна Е, реФ для Д= — и Е',= — рВМ для Д= — —. (16.49) 1 1 !ч.
! нервлятнвнстскоя квонтовля мвхлннкл '278 д) Электрон в магнитном поле. Предположим, что электрическое поле равняется нулю, т. е. Ф = О, н имеется постоянное и однородное магнитное поле ео. В этом случае уравнение Шредингера для электрона, так же как и в задаче Кеплера, может быть решено точно.
При этом спииовая часть волновой функции и соответствующий член в энергии определяется формулами (16.48) и (16.49), полученными в предыдущем п. г). Рассмотрим уравнение Шредингера (16.3), в котором положим Ф = О, и, кроме линейных, учтем также квадратичные члены по вектор-потенциалу А. Тогда с помощью соотношений (16.5), в которых для потенциальной энергии следует взять значение заряда ядра 2 = О, получим следующее уравнение: р еЖ еога 2т + Зе, са (г + У ) + 2т с !'е ~ф = Еф. (16.50) 2тас Решение этого уравнения, в которое вектор-потенциал А подставлен в симметричном виде (!6.5), необходимо искать в цилиндрических координатах г, ф, г.
Они связаны с декартовыми координатами х, у, г соотношениями к=гсозф, у=гз!пф, а=а, (16.51) так что го = ла + уо (16.52) Принимая во внимание общие формулы для лапласиана в криволинейных координатах (10.14), в цилиндрических координатах с помощью (16.51) уравнение (16.50) запишем в виде Ла Г д' ! д ! да да д ч — — ~ — + — — + — — + — — у'го+ 21у — ~ф=ЕФ 2та ! дг' г дг га дф дга де 3 (16.53) где у = еорэ/2гсс. Решение последнего уравнения ищем в виде, явно учитывающем разделение переменных: епо ем а = Е (г), где 1 — азимутальное квантовое число, принимающее значения 1 = О, ~ 1, .+2, ..., йа — проекция волнового вектора на ось г. Тогда для определения радиальной функции !с(г) получаем уравнение (; да ! д Р о а 2таЕ ах — „, + — — — -э- — 2у1 — у г + —,' — йа) Я=О, (16.55) которое можно привести к более удобной форме, вводя безразмерную переменную р = уге: ( да р !ах р — + — +Л вЂ” — — — — — ~Я=О, (16,56) др' д~ 2 4 4рг' зтом в млгнитном поля 9 и! 279' где 7! — 4 аз (16.57) Будем вначале считать, что орбитальное число 1 ) О, тогда решение уравнения (16.56), учитывая асимптотическое поведение радиальной функции )т' е з!з (р-~ос), Я рнз (р-+0), (16.58) может быть выражено через функции Лагерра, введенные в 9 13 (см.
(13.24)). Таким образом, решение (16.56), конечное в нуле и на бесконечности, будет следующим: Я„,(р) = сопя! 7„,(р), (16.59) где функция Лагерра равна 1, (р)= — е ~~р Я, (р), '!Я!5! (16.60) а Я," * — полипом Лагерра (см. (12.36)). Решение (16.59) характеризуется радиальным квантовым числом з = О, 1, 2, ..., задающим степень полинома Я," '. При этом для того чтобы остающаяся после выделения асимптотик (16.58) функция были полиномом, как было показано в 9 12, коэффициенты уравнения (16.56) должны быть связаны с з со- отношением !+1 7! — — — — =з 2 2 (16.61) т. е.
7!=1+э+ — =и+ —, где п=1, 1+1, 1+2, ! ! главное квантовое число. Подставляя сюда значение Х из (16.57), получим уравнение для энергии 2т Е азйзз ! — +— (16.62) азаз 6(1( + х+ з 2 2то (16.63) где Я = езМ/лззс — циклотронная частота, а Мз — значения (непрерывные) проекции импульса на ось г вдоль направления магнитного поля ( — оо ( йз ( оо). Первое слагаемое в формуле (16.63) + 2) (16.64)~ Из последнего равенства находим спектр энергий электрона в магнитном поле НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 280 представляет собой энергию поперечного движения, которая, в отличие от энергии свободного продольного движения й йо~12то, г о! квантуется. Таким образом, для поперечной энергии в магнитном поле мы получаем дискретные уровни (Ландау, !930 г.), которые задаются главным квантовым числом и (уровни Ландау). Полное нормированное на единицу решение уравнения Шредингера для электрона в магнитном поле, после объединения равенств (16.54) и (16.59) и введения нормировочной постоянной сопз1= 1/2у, принимает вид Еае Еооос (! 6.65) Отсюда видно, что спектр энергий (16.63) вырожден, так как он не зависит от радиального квантового числа з, входящего в волновую функцию (16.65).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
