Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика (1185095), страница 40
Текст из файла (страница 40)
е. находящиеся в объеме ОО' = о. Это число )т' равно произведению плотности числа частиц рс = 1.-4 на объем, численно равный скорости частицы ь с ь )У = — = —— зз зз (! 4.11) С помощью соотношений (14.9) — (14.11) для эффективного сечения рассеяния находим следующее выражение: О = — = $ о (б, ~р) сИ, где подынтегральное выражение, характеризующее число рассеянных частиц, попадающих в телесный угол с(14 (Жс = = в(п6 с(бс(у) (6 и у — сферические углы рассеяния, т. е. вектора й), называется дифференциальным эффективным сечением.
Оно определяется выражением О (6, ~Р) = ( — „', ) ( )г. (з. (14.13) В частности, когда рассеивающий центр обладает сферической симметрией, имеем з )г.= ~ 1/(г)г'с(где'"' ~И', о где сЯ' — телесный угол в пространстве вектора г, в то время как в формуле (14.12) с(й — телесный угол в пространстве вектора й'. Интегрируя последнее выражение по телесному углу, найдем У„= — ) г в1 п иг ° )з (г) з(г. 4н Г о где и = ( й — й' ( = 2Й в(п —, 2 ' (14.14а) Отсюда видно, что дифференциальное эффективное сечение упругого рассеяния равно а(4)) =! 1(Е) 1, (14.14) [ч. ! НЕРЕЛЯТНВИСТСКАЯ КВАНТ ТАЯ МЕХАННКА 244 а величина ОО 7 (о) = — —,' г з 1п яг ° Р' (г) дг а'н,Т о (14.15) где б) Рассеяние на потенциале Юкавы.
Как известно, потенциальная энергия взаимодействия, введенная Юкавой, имеет следующий вид: е -Аи' У вЂ” А— г (14.17) Т где А — некоторая постоянная, а величина — = а представляет ае собой эффективный радиус действия сил. Взаимодействие (14.17) может найти самое широкое применение. Этому закону удовлетворяет простейший потенциал ядерных сил (потенциал Юкавы). В этом случае величина А = йз, где а — ядерный заряд, превышающий электрический более чем в 10 раз, а радиус действия ядерных сил равен комптоновской называется амплитудой рассеяния. Формула (14.14) описывает упругое рассеяние частиц в первом приближении теории возмущений, которое носит название борновского приближения.
Заметим, что эта же задача может быть решена и по стационарной теории возмущений, так как потенциальная энергия взаимодействия не зависит от времени. Однако для получения эффективного сечения рассеяния мы испольэовали нестационарную теорию возмущений, математический аппарат которой обладает большей общностью. Он, в частности, позволяет решать многие задачи современной квантовой электродинамики с учетом взаимодействия электронов с вторично квантованным электромагнитным полем. Выражение для о(6), найденное по методу теории возмущений, имеет определенные границы применимости. В случае короткодействующих снл (ядерные силы, нейтральный атом, непроницаемая сфера и т.
д.), которыми на расстояниях г от центра, превышающих некоторый эффективный радиус а, можно пренебречь, величина эффективного сечения (даже когда эти силы создают барьер, абсолютно непроницаемый для частиц) не может превышать геометрического сечения области действия этих сил (если при этом не возникает резонансного рассеяния, см.
ниже). Поэтому для короткодействующих сил находим следующее условие применимости метода теории возмущений: о ( о', (14.16) $ м) ипрнгое рассеянии частиц силовым цинтпом 245 длине волны пи-мезонного поля где у — коэффициент порядка единицы. Наконец, полагая а- со, получаем потенциал кулоновского поля ядра, который также можно рассматривать как частный случай выражения (14.17). Подставляя (14.17) в формулу (14.14) и учитывая, что О х г и!пкг ° (Г(г)Ыг= — А ~ з!пкг ° е а" аг= — А о о н +доз' приходим к следующему выражению для дифференциального эффективного сечения упругого рассеяния: 4тпоа Азач ( ) й'(н'о' + )' ' Здесь согласно (14.14а) ка= 4йз и!п ' — = 4 — з!п'— о рз о 2 й' 2' (14.20) (14.21) где р — импульс частицы. При исследовании формулы (14.20) следует различать два случая: 1. Случай расеяния сравнительно медленных частиц, когда для любых углов рассеяния ка « 1.
Как видно из формулы (14.20), при этом величина а(0) не будет зависеть от угла 0 и становится равной 4то~А а с (0)= (14.22) ') Результаты других аппронсимаций мало отличаются от (14Л7) вследствие норотиодействующего характера снл, а в задаче рассеяния аппронсимация (14,17) является более удобной для расчета, чем другие. = —.,с-10 "см (14.18) Точно так же при рассеянии быстрых электронов (или альфа- частиц) нейтральным атомом потенциальную энергию, следующую из модели Томаса — Ферми, можно аппроксимировать выражением (14.17) "). В последнем случае величина А = Ее~ ~(где 2 — порядковый номер атома), а эффективный радиус атома в модели Томаса— Ферми равен (см.
ниже (25.66)) (14.19) 2'Л ' нерелятивистскАя кВАИТОВАя мехАникА [ч. ! 246 Независимость сечения рассеяния от угла О (изотропность) является характерной чертой рассеяния частиц сравнительно низких энергий центром короткодействующих сил. 2. При рассеянии сравнительно быстрых частиц для углов, удовлетворяющих условию на» 1, дифференциальное эффективное сечение не будет зависеть от величины радиуса действия сил а н становится равным 4та~А о(0) = Е4НФ (14.23) Отсюда видно, что для таких углов рассеяние на потенциале Юкавы будет таким же, как и при рассеянии на кулоновском центре. Поэтому при рассеянии быстрых электронов или и-частиц нейтральным атомом на сравнительно большие углы атомные электроны особой роли не играют, а рассеяние определяется лишь потенциалом ядра. Полагая в (14.20) А =2е' и н= — з1п —, приходим к фор2р .
6 В 2 ' .муле Резерфорда хаа4ща е(4)) = (14.24) 4р4 зщ 2 Из формулы (14.24) видно, что для сил с большим радиусом действия имеет место сильная зависимость сечения от угла рассеяния. Однако для любых больших значений волнового вектора л = — „найдутся такие малые углы Ф, при которых будет вы- Р полняться неравенство — щп — «1. 2ра . 6 (14.25) В частности, при 0- 0 формула Резерфорда дает для о(О) расходящееся значение; в этом случае должен сказаться короткодействующий характер сил, что обусловлено экранируюшим действием электронной оболочки. Условие (14.25) в этом случае определяет область, где формула Резерфорда неприменима.
Из равенств (!4.19) и (14.20) при О = О, т. е. для рассеяния вперед, находим следующее выражение для дифференциального эффективного сечения: оа, (О) = 4у'а,'лч а,'Т'. (14.26) (14.27) Для полного эффективного сечения согласно (14.21) после Интегрирования по углу О получим выражение 16ВМ~~А а Л' 4Иа'+ 1 ' Э 341 УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 247 Отсюда с помощью формулы (14.16) можно найти следующие пределы применимости метода теории возмущений для нашей задачи в двух крайних случаях: гпоаА у,= „, «1 при йа«1, (14.28» уя — — —,,' «1 при йа»! о), (14.29» т.е. при йа « ! параметром разложения является величина уь а при йа » ! — величина уя. Только при этих условиях мы можем ограничиться борновским приближением.
В противном случае следует использовать более точные методы решения задачи (см. ниже). в) !4арциальноое эффективные еечеиил. Для того чтобы найти эффективное сечение рассеяния не только при малых, но и при больших значениях у4 и уя (см. (14.27), (14.28), (14.29))г мы должны искать решение в виде суммы парциальных эффективных сечений, каждое из которых зависит от орбитального квантового числа 1. Тогда мы должны прежде всего падающую плоскую волну фсоа Егаа — Еыг соо О (14.30» Для частицы в потенциальном поле )г(Г) асимптотическое выражение для волновой функции следующее (см. (11.45) и (!1.58)): ош (йг — + 64) Ф..
= ~' С4РГ(соз(У) (14.32» 4=о «) Критерий (14.29) йа Ъ 1 может быть применен и для кулоновского потенпиала (а-+-сс). Полагая А = Еео, йй = шоср = тоо, найдем, что бор- т новское приближение применимо для не слишком малых скоростей еа то= — «1, ео где а = — — — постоянная тонкой структуры. сз 137 для частиц, распространяющихся вдоль оси г со скоростью ай Ъ в = —. разложить по сферическим волнам, т. е. согласно шо ' (1!.52) представить в виде н1 а!п (йг — — ) егьа, ж ~~~ 14 (21+ 1) Р4 (соз 6). (!4 31) с-о НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА !Ч.
2 248 причем в первом приближении фазу 82 можно определить формулой (11.60). Однако в некоторых частных случаях она может быть найдена более точно (см. ниже). Рассеянная волна, очевидно, определяется формулой 2-4 дс ~ ы~ ,2с', '!е' ~ ' ' ~~С2е"2 — 1'(21+ 1)~ — е '~" ' У[СЕВ "' — 1'(21+!)21! ' Неизвестный коэффициент С~ может быть найден нз условия, Чта ФУНКЦИЯ аРРасс ДОЛжиа ПРЕДСтаВЛЯтЬ СОбОЙ РаСХОДЯЩУЮСЯ сферическую волну. Для этого коэффициент при сходящейся а1 '! 2 сферической волне е ' В ' необходимо положить равным нулю.
Тогда С,=1'(21+!)еы2, и для рассеянной волны получим = — Е'А'. 1(б! Расс г Функция 1(6) является амплитудой рассеяния (см. (14.15)), для которой по точной теории находим ) (6) = —,.А ~~' (21+ 1) (е ' — 1) Р2 (соз б). (14.33) 2=4 Как известно, дифференциальное эффективное сечение, характеризующее рассеяние частиц на угол б, равно отношению вероятности рассеянной частице пройти в единицу времени через элемент сферической поверхности с(Я = гтаЯ а(Р" „, = оф'„,ф „,г2 а!1 = о ! ! (6) Г а!1 к падающему потоку, т. е. к числу частиц, падающих в единицу времени на единицу поверхности, перпендикулярной их скорости: 1' аад вфаадфаад Отсюда для дифференциального эффективного сечения находим выражение да= — =! ~(б) ~222 з!п ЮЮ, (14.34) УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ 249 он! Здесь, предполагая аксиальную симметрию рассеивающего поля, мы положили телесный угол равным о(АА = 2п з!и О дО.
Подставляя сюда полученное значение для амплитуды рассея- ния и учитывая при интегрировании по углам условие ортого- нальности для полиномов Лежандра Рс(соз О)Р1 (созО) з!ПОГ(О= + Ьи, 2 о где парциальные сечения равны 4я О = —., (2!+1) з(побп (14.35а) При ! = 0 имеем е-рассеяние, при ! = 1 имеем р-рассеяние и т. д. Сопоставляя друг с другом формулы (!4.35) и (14.33), а также учитывая, что Р~(!) = 1, докажем так называемую оптическую теорему с = ,~ У (0) — Г (0)) = †„ 1гп У (0) устанавливающую связь между полным эффективным сечением а и мнимой частью (1гп) амплитуды !(О), соответствующей рассеянию вперед, т.
е. О = О. Заметим, что точное выражение для амплитуды рассеяния (см. (14.33)) переходит в приближенное, найденное в борновском приближении (см. (14.15)), когда выполняются следующие два условия: 1) 61 « 1, и поэтому для амплитуды рассеяния (14.33) можем написать: 1 (О) = — ~~~ (21+ 1) 51 Р1 (соз О); 1-О (14.35б) 2) для бо имеет место приближение (11.60), согласно которому Ь1 = — — „,' ~ (г (г) г! 1+1, (кг) й'. (14.36) о находим следующее выражение для полного эффективного сечения: ) О=ХО1, (!4.35) 1-О неРелятивнгтскАя квонтовАя мехАникА [ч. ! 250 В самом деле, подставляя (14.35) в равенство (14.356), находим )(б)= — — „,' ~г$I(г)Й ~~ — „(21+1)Р[(созб)У[оА (1437) [=о Принимая во внимание далее соотношение А ~ (21 + 1) Р, (соз б) У!он ([ог) = — — "', (14.38) [-о где о[= 2н з[п —, Ю 2 ' амплитуду рассеяния (!4.356) можно привести к виду, найден- ному в борновском приближении (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
